選擇性必修第一冊(cè)第一章 1.2 第1課時(shí) 空間向量基本定理

1、1 / 13 1.2 空間向量基本定理空間向量基本定理 第第 1 課時(shí)課時(shí) 空間向量基本定理空間向量基本定理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握空間向量基本定理. 2.會(huì)用空間向量基本定理對(duì)向量進(jìn)行分解 . 知識(shí)點(diǎn)一 空間向量基本定理 如果三個(gè)向量 a，b，c 不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量 p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得 pxaybzc. 我們把a(bǔ)，b，c叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c 都叫做基向量 思考 零向量能否作為基向量？ 答案 不能. 零向量與任意兩個(gè)向量 a，b都共面 知識(shí)點(diǎn)二 空間向量的正交分解 1單位正交基底 如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都是 1，那么這個(gè)基底

2、叫做單位正交基底 ，常用i，j，k表示 2向量的正交分解 由空間向量基本定理可知，對(duì)空間任一向量 a，均可以分解為三個(gè)向量 xi，yj，zk 使得 axiyjzk. 像這樣把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解 1只有兩兩垂直的三個(gè)向量才能作為空間的一個(gè)基底( ) 2若a，b，c為空間的一個(gè)基底，則 a，b，c 全不是零向量( ) 3如果向量 a，b 與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有 a與 b共線( ) 4對(duì)于三個(gè)不共面向量 a1，a2，a3，不存在實(shí)數(shù)組(x，y，z)，使 0 xa1ya2za3.( ) 一、空間的基底 例 1 已知e1，e2，e3是空

3、間的一個(gè)基底，且oae12e2e3，ob3e1e22e3，oce1e2e3，試判斷oa，ob，oc能否作為空間的一個(gè)基底 解 假設(shè)oa，ob，oc共面 2 / 13 則存在實(shí)數(shù) ， 使得oaoboc， e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3) (3)e1()e2(2)e3， e1，e2，e3不共面， 31，2，21此方程組無(wú)解， oa，ob，oc不共面， oa，ob，oc可以作為空間的一個(gè)基底 反思感悟 基底的判斷思路 (1)判斷一組向量能否作為空間的一個(gè)基底，實(shí)質(zhì)是判斷這三個(gè)向量是否共面，若不共面，就可以作為一個(gè)基底 (2)判斷基底時(shí)，常常依托正方體、長(zhǎng)方體、平行六面體、四面體等幾

4、何體，用它們從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱對(duì)應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進(jìn)行相關(guān)的判斷 跟蹤訓(xùn)練 1 (1)設(shè) xab，ybc，zca，且a，b，c是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：a，b，x，b，c，z，x，y，abc，其中可以作為空間一個(gè)基底的向量組有( ) a1 個(gè) b2 個(gè) c3 個(gè) d0 個(gè) 答案 b 解析 因?yàn)?xab，所以向量 x，a，b共面 如圖， 令 aab，baa1，cad，則 xab1，yad1，zac， abcac1. 可知向量 b，c，z和 x，y，abc不共面，故選 b. (2)已知空間的一個(gè)基底a，b，c，mabc，nxaybc，若 m 與 n 共線，則 xy

5、_. 答案 0 解析 因?yàn)?m與 n共線，所以 xaybcz(abc) 3 / 13 所以 xz，yz，1z. 所以 x1，y1. 所以 xy0. 二、空間向量基本定理 例 2 如圖，在三棱柱 abc abc中，已知aaa，abb，acc，點(diǎn) m，n 分別是 bc，bc的中點(diǎn)，試用基底a，b，c表示向量am，an. 解 連接 an(圖略) amab12bcab12(bccc) ab12bc12ccab12(acab)12aa 12ab12ac12aa12(abc) anaa anaa12(abac) aa12(abac)a12b12c. 延伸探究 若把本例中“aaa”改為“aca”，其他條件不

6、變，則結(jié)果是什么？ 解 因?yàn)?m 為 bc的中點(diǎn)，n為 bc的中點(diǎn)， 所以am12(abac) 12a12b. an12(abac) 12(abbbac) 12ab12cc12ac 12ab12(acac)12ac 4 / 13 12abac12ac 12ba12c. 反思感悟 用基底表示向量的步驟 (1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底 (2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果 (3)下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底a，b，c可以表示出空間所有向量表示要徹底，結(jié)果

7、中只能含有 a，b，c，不能含有其他形式的向量 跟蹤訓(xùn)練 2 如圖，四棱錐 p-oabc 的底面為一矩形，po平面 oabc，設(shè)oaa，ocb，opc，e，f 分別是 pc和 pb的中點(diǎn)，試用 a，b，c 表示bf，be，ae，ef. 解 連接 bo， 則bf12bp12(boop) 12(baaoop) 12(cba) 12a12b12c. bebccea12cp a12(coop) a12b12c. aeappeaoop12(pooc) ac12(cb)a12b12c. 5 / 13 ef12cb12oa12a. 1下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( ) a三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們不共面

8、b兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線 c若 a，b 是兩個(gè)不共線的向量，且 cab(，r 且 0)，則a，b，c構(gòu)成空間的一個(gè)基底 d若oa，ob，oc不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則 o，a，b，c 四點(diǎn)共面 答案 c 解析 由基底的概念可知 a，b，d 正確，對(duì)于 c，因?yàn)闈M足 cab，所以 a，b，c 共面，不能構(gòu)成基底，故錯(cuò)誤 2已知 a，b，c是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是( ) a3a，ab，a2b b2b，b2a，b2a ca，2b，bc dc，ac，ac 答案 c 解析 對(duì)于 a，有 3a2(ab)a2b，則 3a，ab，a2

9、b 共面，不能作為基底；同理可判斷 b，d中的向量共面故選 c. 3在長(zhǎng)方體 abcda1b1c1d1中，可以作為空間一個(gè)基底的是( ) a.ab，ac，ad b.ab，aa1，ab1 c.d1a1，d1c1，d1d d.ac1，a1c，cc1 答案 c 解析 在長(zhǎng)方體 abcda1b1c1d1中，只有 c 中的三個(gè)向量d1a1，d1c1，d1d不共面，可以作為空間的一個(gè)基底 4正方體 abcdabcd中，o1，o2，o3分別是 ac，ab，ad的中點(diǎn)，以ao1，ao2，ao3為基底，acxao1yao2zao3，則( ) axyz12 bxyz1 cxyz22 dxyz2 答案 b 解析 a

10、cabbcabbbbcabaaad 6 / 13 12(abad)12(abaa)12(aaad) 12ac12ab12adao1ao2ao3， 對(duì)比acxao1yao2zao3，得 xyz1. 5在四面體 oabc 中，oaa，obb，occ，d 為 bc 的中點(diǎn)，e 為 ad 的中點(diǎn)，則oe_.(用 a，b，c 表示) 答案 12a14b14c 解析 oeoa12adoa1212(abac)oa14(oboaocoa) 12oa14ob14oc12a14b14c. 1知識(shí)清單： (1)空間的基底 (2)空間向量基本定理 2方法歸納： 轉(zhuǎn)化化歸 3常見(jiàn)誤區(qū)： (1)基向量理解錯(cuò)誤，沒(méi)有注意到

11、基向量的條件 (2)運(yùn)算錯(cuò)誤：利用基底表示向量時(shí)計(jì)算要細(xì)心 1設(shè) p：a，b，c 是三個(gè)非零向量；q：a，b，c為空間的一個(gè)基底，則 p是 q的( ) a充分不必要條件 b必要不充分條件 c充要條件 d既不充分又不必要條件 答案 b 解析 當(dāng)非零向量 a，b，c 不共面時(shí)，a，b，c可以當(dāng)基底，否則不能當(dāng)基底， 當(dāng)a，b，c為基底時(shí)，一定有 a，b，c 為非零向量 因此 pq，qp. 2已知 m，a，b，c 四點(diǎn)互不重合且任意三點(diǎn)不共線，則下列式子中能使向量ma，mb，mc成為空間的一個(gè)基底的是( ) 7 / 13 a.om13oa13ob13oc b.mambmc c.omoaoboc d.

12、ma2mbmc 答案 c 解析 對(duì)于選項(xiàng) a，由omxoayobzoc(xyz1)m，a，b，c 四點(diǎn)共面，知ma，mb，mc共面；對(duì)于選項(xiàng) b，d，易知ma，mb，mc共面，故選 c. 3.如圖，梯形 abcd 中，abcd，ab2cd，點(diǎn) o 為空間內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)oaa，obb，occ，則向量od可用 a，b，c 表示為( ) aab2c bab2c c12a12bc d.12a12bc 答案 d 解析 odoccdoc12ba oc12(oaob)12a12bc. 4已知a，b，c是空間的一個(gè)基底，若 pab，qab，則( ) aa，p，q 是空間的一組基底 bb，p，q 是空間的一組基

13、底 cc，p，q 是空間的一組基底 dp，q與 a，b，c中的任何一個(gè)都不能構(gòu)成空間的一組基底 答案 c 解析 假設(shè) ck1pk2q，即 ck1(ab)k2(ab)，得(k1k2)a(k1k2)bc0， 這與a，b，c是空間的一個(gè)基底矛盾，故 c，p，q是空間的一組基底，故選 c. 5.如圖，在三棱柱 abca1b1c1中，m 為 a1c1的中點(diǎn)，若aba，aa1c，bcb，則下8 / 13 列向量與bm相等的是( ) a12a12bc b.12a12bc c12a12bc d.12a12bc 答案 a 解析 bmbb1b1maa112(b1a1b1c1) aa112(babc) 12(ab)

14、c12a12bc. 6在空間四邊形 abcd 中，ac 和 bd 為對(duì)角線，g 為abc 的重心，e 是 bd 上一點(diǎn)，be3ed，以ab，ac，ad為基底，則ge_. 答案 13ac112ab34ad 解析 設(shè) ac 的中點(diǎn)為 f，則gegbbe23fb34bd2312(bcba)34bd 13(ac2ab)34(adab) 13ac112ab34ad. 7如圖，在正方體 abcda1b1c1d1中，用ac，ab1，ad1作為基向量，則 ac1_. 答案 12(ad1ab1ac) 9 / 13 解析 2ac12aa12ad2ab(aa1ad)(aa1ab)(adab)ad1ab1ac， ac

15、112(ad1ab1ac) 8.如圖所示，已知 pa平面 abcd，m，n分別是 ab，pc的中點(diǎn)，且 paad1，四邊形abcd 為正方形，以ab，ad，ap為基底，則mn_. 答案 12ad12ap 解析 mnmaappn maap12(paaddc) 12abap12(paadab) 12ad12ap. 9已知平行六面體 oabcoabc，且oaa，ocb，ooc. (1)用 a，b，c表示向量ac； (2)設(shè) g，h分別是側(cè)面 bbcc 和 oabc的中心，用 a，b，c表示gh. 解 (1)acacccocoaoobca. (2)ghgoohogoh 12(oboc)12(oboo)

16、 12(abcb)12(abcc)12(cb) 10.如圖，在平行六面體 abcda1b1c1d1中，aba，adb，aa1c，e 為 a1d1的中點(diǎn)，f為 bc1與 b1c 的交點(diǎn) (1)用基底a，b，c表示向量db1，be，af； 10 / 13 (2)化簡(jiǎn)dd1dbcd，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果 解 (1)db1dccb1dcbb1bcabc. bebaaa1a1ea12bc. afabbfa12(bc)a12b12c. (2)dd1dbcddd1(cddb)dd1cbdd1d1a1da1. 如圖，連接 da1，則da1即為所求 11點(diǎn) p 是矩形 abcd 所在平面外一點(diǎn)，且 pa平面 a

17、bcd，m，n 分別是 pc，pd 上的點(diǎn)，且pm23pc，pnnd，則滿足mnxabyadzap的實(shí)數(shù) x，y，z的值分別為( ) a23，16，16 b.23，16，16 c23，16，16 d23，16，16 答案 d 解析 取 pc 的中點(diǎn) e，連接 ne， 則mnenem12cd(pmpe)12cd23pc12pc12cd16pc 12ab16(apabad)23ab16ad16ap， 比較知 x23，y 16，z16，故選 d. 12.如圖，點(diǎn) m 為 oa 的中點(diǎn)，oa，oc，od為空間的一個(gè)基底，dmxoayoczod，則有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)_. 11 / 13 答案 12

18、，0， 1 解析 dmomod12oaod，所以有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)12，0， 1 . 13已知四面體 abcd 中，aba2c，cd5a6b8c，ac，bd 的中點(diǎn)分別為 e，f，則ef_.(用 a，b，c表示) 答案 3a3b5c 解析 如圖所示，取 bc的中點(diǎn) g，連接 eg，fg， 則efgfge12cd12ba12cd12ab 12(5a6b8c)12(a2c)3a3b5c. 14如圖，已知空間四邊形 oabc，m，n 分別是邊 oa，bc 的中點(diǎn)，點(diǎn) g 在 mn 上，且mg2gn，設(shè)oaa，obb，occ，則向量og_.(用 a，b，c表示) 答案 16a13b13c 解析 ogommg12oa23mn 12oa23(maabbn) 12oa2312oaoboa12bc 12oa23ob12oa12(ocob) 16oa13ob13oc16a13b13c. 12 / 13 15設(shè) oabc 是四面體，g1是abc 的重心，g 是 og1上的一點(diǎn)，且 og3gg1，若ogxoayobzoc，則(x，y，z)為( ) a.14，14，14 b.34，34，34 c.13，13，13 d.23，23，23 答案 a 解析 如圖所示，連接 ag1交 bc于點(diǎn) e，則點(diǎn) e 為 bc 的中點(diǎn)， ae12(