高中數(shù)學(xué)講義微專題61三視圖——幾何體的體積問題

1、- 1 - / 5 微專題 61 三視圖幾何體的體積問題 一、基礎(chǔ)知識： 1、常見幾何體的體積公式：（:s底面積，:h高） （1）柱體：vs h= （2）錐體：13vs h= （3）臺體：()121213vsss sh=+，其中1s為上底面面積，2s為下底面面積 （4）球：343vr= 2、求幾何體體積要注意的幾點 （1）對于多面體和旋轉(zhuǎn)體：一方面要判定幾何體的類型（柱，錐，臺），另一方面要看好該幾何體擺放的位置是否是底面著地。對于擺放“規(guī)矩”的幾何體（底面著地），通常只需通過俯視圖看底面面積，正視圖（或側(cè)視圖）確定高，即可求出體積。 （2）對于組合體，首先要判斷是由哪些簡單幾何體組成的，或是

2、以哪個幾何體為基礎(chǔ)切掉了一部分。然后再尋找相關(guān)要素 （3）在三視圖中，每個圖各條線段的長度不會一一給出，但可通過三個圖之間的聯(lián)系進行推斷，推斷的口訣為“長對正，高平齊，寬相等”，即正視圖的左右間距與俯視圖的左右間距相等，正視圖的上下間距與側(cè)視圖的上下間距相等， 側(cè)視圖的左右間距與俯視圖的上下間距相等。 二、典型例題： 例 1：已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_ 思路：從正視圖，側(cè)視圖可判斷出幾何體與錐體相關(guān)（帶尖兒），從俯視圖中可看出并非圓錐和棱錐，而是兩者的一個組合體（一半圓錐+ 三棱錐），所以12vvv=+圓錐棱錐，錐體的高計算可得6 3h =（利用正視圖），底面積半圓的

3、半徑為6，三角形底邊為12，高為6（俯視圖看出），所以112 6362s=三角形，2636s=圓，則- 2 - / 5 172 33vsh=三角形棱錐，172 33vsh=圓圓錐，所以136 372 32vvv=+=+圓錐棱錐 答案：36 372 3+ 例 2：已知一棱錐的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖和俯視圖都是等腰直角三角形，正視圖為直角梯形，則該棱錐的體積為 . 思路：觀察可發(fā)現(xiàn)這個棱錐是將一個側(cè)面擺在地面上，而棱錐的 真 正 底 面 體 現(xiàn) 在 正 視 圖 （ 梯 形 ） 中 ， 所 以()1424122s=+=底，而棱錐的高為側(cè)視圖的左右間距，即4h =，所以1163vsh=底 答案：1

4、6 例 3：若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是_ 思路：該幾何體可拆為兩個四棱柱，這兩個四棱柱的高均為 4（俯視圖得到），其中一個四棱柱底面為正方形，邊長為 2（正視圖得到），所以2112416vsh=，另一個四棱柱底面為梯形，上下底分別為2,6，所以()2126282s =+=，228 432vsh=。故幾何體的體積為1248vvv=+= 答案：48 例 4：如下圖是一個組合幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是_ 思路：從三視圖中觀察可得該組合體是由一個圓柱與一個躺倒的三棱錐拼接而成，對于圓柱可得其底面半徑為4（正視圖），高為8（正視圖），所以248128vs h=圓柱，而棱柱底面

5、為底是3（俯視圖），高為4（正視圖）的三角形，棱柱的高為6 （俯視圖），所以可得1=3 4 6362vs h= =棱柱，所以組合體的體積為12836vvv=+=+圓柱棱柱 - 3 - / 5 答案：12836+ 例 5：某幾何體三視圖如圖所示（正方形邊長為2），則該幾何體的體積為 . 思路：由正視圖與側(cè)視圖可得該幾何體的輪廓為一個棱柱，從俯視圖中可確定該組合體為正方體截掉了兩部分，且這兩部分剛好都是14個圓柱，可拼成12個圓柱。所以先計算出正方體的體積328v=正方體，而圓柱 的 底 面 半 徑 為1， 高 為2， 所 以11222vv=截圓柱， 所 以 組 合 體 的 體 積 為=8vvv=

6、正方體截 答案：8 例 6：某個長方體被一個平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為( ) a4 b22 c d8 答案：d 思路：由于長方體被平面所截，所以很難直接求出幾何體的體積，可以考慮沿著截面再接上一個一模一樣的幾何體，從而拼成了一個長方體，因為長方體由兩個完全一樣的幾何體拼成，所以所求體積為長方體體積的一半。從圖上可得長方體的底面為正方形，且邊長為2，- 4 - / 5 長方體的高為314+=，所以22416v=長方體，所以182vv=長方體 例 7：一空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為_ 思路：由主視圖觀察下方有圓弧形，所以判斷有旋轉(zhuǎn)體，結(jié)合側(cè)視圖

7、與俯視圖可判斷出幾何體下部為一個圓柱（圓柱體的一半），且圓柱的上方摞著一個長方體。所以12vvv=+長方體圓柱，長方體的長寬高分別為 2,2,4，則22416v=長方體，圓柱體的高為 4（側(cè)視圖看出），底面半徑為 2（由主視圖看出），則22416v=圓柱，所以11682vvv=+=+長方體圓柱 答案：168+ 例 8：已知四棱錐pabcd的直觀圖和三視圖如圖所示，則三棱錐cpbd的體積為_ 思路：要求三棱錐cpbd的體積，則要確定棱錐的高（p到底面bcd的距離）和bcd的面積，從主視圖中可判斷出棱錐的高2h = ，俯視圖體現(xiàn)出四邊形abcd為矩形，所以bcd的面積為11 212bcds= =，

8、所以1122 1333bcdvh s= = 答案：23 例 9：一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為_2cm 思路：從俯視圖可判斷出該幾何體的基礎(chǔ)應(yīng)為直三棱柱，但從側(cè)視圖與正視圖可以看出幾何體是直三棱柱切掉了一部分，其中側(cè)視圖體現(xiàn)出三棱柱從上底面一直切到下底面，而正視圖中的線恰好是截面與側(cè)面形成的棱（切痕），進而可作出直觀圖，從圖中可看出剩余的幾何體為一個四棱錐（頂點為b，所以acbed- 5 - / 5 13acdebacdevds=平面，棱錐的高是4（側(cè)視圖的左右間距），四邊形acde是邊長為6的正方形（由正視圖看出），所以2636acdes=，所以()2114 364833acdebacdevdscm= =平面 答案：48 例 10：如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形邊長為 1，粗線是一個棱錐的三視圖，則此棱錐的體積為( ) a. 83 b. 43 c. 4 3 d. 2 3 思路：本題很難直接看出棱錐的底面積與高，但通過觀察可看出此棱錐可能由正方體1111abcdabc d （棱長為 2）通過切割而成，所以先畫出正方體，再根據(jù)三視圖中的實線虛線判斷如何切割，正視圖中可看出正方體用前后面的對角線所在平面將下方完全切掉，從左視圖可看出正方體的右側(cè)面（虛線）有切痕，俯視圖體現(xiàn)出正方體的上底面有切痕。進而可得所求棱錐為一個四棱錐，底面是矩形11ab