高中數(shù)學選修一專題強化練5　圓的方程及其應用

1、1 / 9 專題強化練 5 圓的方程及其應用 一、選擇題 1.(2020 江西南昌二中高二上期中,)在平面直角坐標系 oxy 中,已知點 a(4,3),點 b 是圓(x+1)2+y2=4 上的動點,則線段 ab 的中點 m 的軌跡方程是( ) a.(-32)2+(-32)2=1 b.(-32)2+(-32)2=4 c.(x-3)2+(y-3)2=1 d.(x-3)2+(y-3)2=2 2.()設 p 是圓(x-3)2+(y+1)2=1 上的動點,則點 p 到直線 y=x 的距離的最大值為( ) a.22+1 b.2+1 c.10+1 d.22-1 3.(2020 四川眉山高二上期末教學質(zhì)量檢測

2、,)過直線 l:2x+y+4=0 與圓c:x2+y2+2x-4y+1=0 的交點,且面積最小的圓的方程為( ) a.( +135)2+(-65)2=1625 b.( +135)2+(-65)2=45 c.( +135)2+(-85)2=1625 d.( +135)2+(-85)2=45 2 / 9 4.(2020 安慶五校聯(lián)盟高二上期中,)平面直角坐標系中,設 a(-0.98,0.56),b(1.02,2.56),點 m 在單位圓上,則使得mab 為直角三角形的點 m 的個數(shù)是( ) a.1 b.2 c.3 d.4 5.()若直線 y=x+b 與曲線 y=3-4-2有公共點,則 b 的取值范圍

3、是( ) a.1-2,1+2 b.1-2,3 c.1-22,3 d.-1,1+2 6.()點 m(x,y)在曲線 c:x2-4x+y2-21=0 上運動,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且 t 的最大值為 b,若 a,b 是正實數(shù),則1+1+1的最小值為( ) a.1 b.2 c.3 d.4 二、填空題 7.()圓 c1:x2+y2+2x+2y=0 和圓 c2:x2+y2-6x+2y+6=0 的公切線的條數(shù)為 . 8.(2020 廣東佛山一中高二上期中,)已知直線 l:mx+y+3m-3=0 與圓 x2+y2=12交于 a,b 兩點,過 a,b 分別作 l 的垂線與 x 軸交于 c

4、,d 兩點,若|ab|=23,則m= ,|cd|= . 9.()定義:點 m(x0,y0)到直線 l:ax+by+c=0(a2+b20)的有向距離為0+b0+c2+2.已知點 a(-2,0),b(2,0),直線 m 過點 p(4,0),若圓 x2+(y-6)2=36 上存在一點 c,使得3 / 9 a,b,c 三點到直線 m 的有向距離之和為 0,則直線 m 的斜率的取值范圍是 . 三、解答題 10.()已知圓 m 過 c(1,-1),d(-1,1)兩點,且圓心 m 在 x+y-2=0 上. (1)求圓 m 的方程; (2)設點 p 是直線 3x+4y+8=0 上的動點,pa,pb 是圓 m

5、的兩條切線,a,b 為切點,求四邊形 pamb 的面積的最小值. 11.(2020 浙江溫州十五校聯(lián)合體高二上期中聯(lián)考,)已知圓 c:x2+y2+2x-4y+m=0與 y 軸相切,o 為坐標原點,動點 p 在圓外,過 p 作圓 c 的切線,切點為 m. (1)求圓 c 的圓心坐標及半徑; (2)若點 p 運動到(-2,4)處,求此時切線 l 的方程; (3)求滿足條件|pm|=2|po|的點 p 的軌跡方程. 4 / 9 答案全解全析答案全解全析 一、選擇題 1.a 設 b(m,n),m(x,y),則根據(jù)中點坐標公式得 = 2-4, = 2-3,由點 b 在圓(x+1)2+y2=4 上,將點

6、b(2x-4,2y-3)代入圓的方程,得(2x-3)2+(2y-3)2=4,即(-32)2+(-32)2=1,故選 a. 2.a 依題意可知,圓(x-3)2+(y+1)2=1 的圓心為(3,-1),半徑為 1,且圓心到直線y=x 的距離為|3+1|2=22,故點 p 到直線 y=x 的距離的最大值是 22+1.故選 a. 3.b 由題知,圓 c:x2+y2+2x-4y+1=0 的圓心為 c(-1,2),半徑 r=2.設直線 l 與圓 c的交點為 a、b,如圖,過 c 作 cdab,則經(jīng)過 a、b 兩點面積最小的圓是以 ab 為直徑的圓. 由直線 l 的方程為 2x+y+4=0,cdab 可得,

7、kcd=12,所以 cd 所在直線的方程為 y-2=12(x+1),聯(lián)立2 + + 4 = 0,-2 =12(x + 1),得 = -135, =65,即 d(-135,65). 又圓心 c 到直線 l 的距離 d=|2(-1)+2+4|22+12=455, 所以|bd|=2-2=22-(455)2=255, 所以以 ab 為直徑的圓的方程為( +135)2+(-65)2=45.故選 b. 5 / 9 4.b 若amb 為直角,則 m 在以 ab 為直徑的圓上,其方程為(x-0.02)2+(y-1.56)2=8, 因為圓心距 d=0.022+ 1.56222-1, 所以兩圓內(nèi)含,沒有交點, 所

8、以以amb 為直角的直角三角形不存在. 若abm 為直角,則過點 b 與直線 ab 垂直的直線顯然與單位圓相離,所以以abm為直角的直角三角形不存在. 若bam 為直角,則過點 a 與直線 ab 垂直的直線 l:y-0.56=-(x+0.98)x+y+0.42=0, 圓心(0,0)到直線 x+y+0.42=0 的距離 d=0.4222+2,即兩圓外離,則公切線有 4 條,故答案為 4. 8.答案 -33;4 解析 設圓心到直線的距離為 d,則(|2)2+d2=r23+d2=12d=3, |3-3|2+1=3,化簡得3m+1=0,解得 m=-33. 可得直線 l 的方程為 y=33x+23,其傾

9、斜角為 30.如圖所示,作 cebd 于 e,則ceab,ecd=30,又知在 rtcde 中,ce=23,|cd|=|cos30=2332=4. 9.答案 -43,0 解析 易知直線 m 的斜率存在,設直線 m 的方程為 y=k(x-4),即 kx-y-4k=0,設c(x,y),則 a,b,c 三點到直線 m 的有向距離之和為-2-41+2+2-41+2+-41+2=0,化簡得 kx-y-12k=0.又點 c 在圓 x2+(y-6)2=36 上,所以直線 kx-y-12k=0 與圓 x2+(y-6)2=36 有交點,所以|-6-12|1+26, 解得-43k0. 三、解答題 10.解析 (1

10、) 設圓心 m(a,b),圓 m 的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r0), 根據(jù)題意得(1-)2+ (-1-b)2= 2,(-1-)2+ (1-b)2= 2, + -2 = 0, 8 / 9 解得 = 1, = 1, = 2. 故所求圓 m 的方程為(x-1)2+(y-1)2=4. (2)由題易知,四邊形 pamb 的面積 s=spam+spbm=12|am|pa|+12|bm|pb|. 又|am|=|bm|=2,|pa|=|pb|,所以 s=12|am|pa|+12|bm|pb|=2|pa|. 而|pa|=|2-|am|2=|2-4,即 s=2|2-4. 因此要求 s 的最小值,只

11、需求|pm|的最小值即可, 即在直線 3x+4y+8=0 上找一點 p,使得|pm|的值最小.因為當|pm|所在直線垂直于直線 3x+4y+8=0 時,|pm|取得最小值,所以|pm|min=|31+41+8|32+42=3, 所以四邊形 pamb 的面積的最小值為 s=2|min2-4=232-4=25. 11.解析 (1)圓 c:x2+y2+2x-4y+m=0 化為標準形式為(x+1)2+(y-2)2=5-m,故圓 c 的圓心坐標為(-1,2).由于圓 c 與 y 軸相切,所以5-=1,得 m=4,所以圓 c 的半徑為1. (2)當過點 p(-2,4)的直線斜率不存在時,此時直線 l 的方程為 x=-2,圓 c 的圓心(-1,2)到直線 x=-2 的距離為 1,所以直線 l:x=-2 為圓 c 的切線. 當過點 p(-2,4)的直線斜率存在時,設直線方程為 y=k(x+2)+4,由直線與圓相切得|+2|2+1=1,解得 k=-34.此時切線 l 的方程為 y=-34x+52, 綜上,滿足條件的切線 l 的方程