高中數(shù)學(xué)選修一雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) (2)

1、- 1 - / 8 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) （4545 分鐘分鐘 100100 分）分） 一、選擇題一、選擇題( (每小題每小題 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.設(shè)雙曲線+=1 的漸近線方程為 3x2y=0,則 a 的值為( ) a.-4 b.-3 c.2 d.1 2.(2013昆明高二檢測(cè))設(shè) p 是雙曲線-=1 上一點(diǎn),雙曲線的一條漸近線方程為 3x-2y=0,f1,f2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若|pf1|=5,則|pf2|=( ) a.1 或 5 b.1 或 9 c.1 d.9 3.(2012福建高考)已知雙曲線-=1(a0)的右焦點(diǎn)為(3,0),則

2、該雙曲線的離心率等于( ) a. b. c. d. 4. (2013新課標(biāo)全國(guó)卷)已知雙曲線 c: -=1(a0,b0)的離心率為52,則 c 的漸近線方程為( ) a.y= x b.y= x c.y= x d.y=x 5.雙曲線 x2-y2=1 的右支上一點(diǎn) p(m,n)到直線 y=x 的距離為,則 m+n 的值是 ( ) - 2 - / 8 a.- b. c. d.2 二、填空題二、填空題( (每小題每小題 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.(2012江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中,若雙曲線-=1 的離心率為 ,則 m 的值為 . 7.(2013洛陽高二檢測(cè))設(shè)雙曲

3、線-=1(a0,b0)的虛軸長(zhǎng)為 2,焦距為 2,則雙曲線的漸近線方程為 . 8.已知 f1,f2是雙曲線-=1(a0,b0)的兩焦點(diǎn),以線段 f1f2為邊作正三角形mf1f2,若邊 mf1的中點(diǎn)在雙曲線上,則雙曲線的離心率是 . 三、解答題三、解答題(9(9 題題,10,10 題題 1414 分分, ,1111 題題 1818 分分) ) 9.已知圓 m:x2+(y-5)2=9,雙曲線 g 與橢圓 c:+=1 有相同的焦點(diǎn),它的兩條漸近線恰好與圓 m 相切,求雙曲線 g 的方程. 10.已知雙曲線的漸近線方程為 y= x,焦距為 10,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,并求雙曲線的離心率. 11.(能力挑

4、戰(zhàn)題)設(shè) f1,f2分別為雙曲線-=1 的左、右焦點(diǎn),a1,a2分別為這個(gè)雙曲線的左、右頂點(diǎn),p 為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),求證:以 a1a2為直徑的圓既與以 pf2為直徑的圓外切,又與以 pf1為直徑的圓內(nèi)切. - 3 - / 8 答案解析答案解析 1.【解析】選 a.方程表示雙曲線,a0)的離心率為 2, a=( ) a.2 b. c. - 4 - / 8 d.1 【解析】選 b.由條件知=2,解得 a=. 4.【解析】選 c.因?yàn)?e=ca=52,所以22c5a4=，又因?yàn)?c2=a2+b2,所以222ab5a4+=，得22b1a4=，所以漸近線方程為 y=12x. 5.【解題指南】分別

5、利用點(diǎn)到直線的距離公式和點(diǎn)在雙曲線上建立方程,通過解兩方程求 m+n 的值. 【解析】選 b.由條件可知=即|m-n|=2. (m,n)在右支上,mn, m-n0,故 m-n=2. 又點(diǎn) p 在雙曲線上, m2-n2=1 即(m+n)(m-n)=1, m+n= . 【舉一反三】本題中,若點(diǎn) p(m,n)在左支上,結(jié)果會(huì)怎樣? 【解析】選 a.點(diǎn) p 在左支上,mn 即 m-n0,b0),則 g 的漸近線方程為 y= x, 即 bxay=0,且 a2+b2=25. 圓 m 的圓心為(0,5),半徑為 r=3. - 6 - / 8 =3a=3,b=4. 雙曲線 g 的方程為-=1. 10.【解題指

6、南】由漸近線方程可得 a 與 b 的關(guān)系,再利用 c2=a2+b2可求 a,b 的值,但由于焦點(diǎn)的位置不明確,因此應(yīng)分情況討論. 【解析】方法一:當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí),設(shè)所求雙曲線的方程為-=1(a0,b0). 由漸近線方程為 y= x 得 = . 又 2c=10,c2=a2+b2,得 a2=20,b2=5, 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,這時(shí)離心率 e=;同理,當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí),可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,這時(shí)離心率 e=. 所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1 或-=1,相應(yīng)的離心率為,. 方法二:由漸近線方程為 y= x,可設(shè)雙曲線方程為-y2=(0), 即-=1.由 a2+b2=c2得|4|

7、+|=25, |=5,=5. 所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1 或-=1,相應(yīng)的離心率為,. 【拓展提升】求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種設(shè)法 - 7 - / 8 與雙曲線-=1(a0,b0)有共同漸近線 -=(0) 雙曲線的漸近線方程是 y= x -=(0) 與雙曲線-=1(a0,b0)共焦點(diǎn) -=1(-b2ka2) 過兩個(gè)已知點(diǎn) mx2+ny2=1(mnb0)有相同焦點(diǎn) +=1(b2ka2) 11.【解題指南】設(shè) n,m 分別是 pf1,pf2的中點(diǎn),只要證明|om|=a+ |pf2|,并且|on|= |pf1|-a 即可.注意點(diǎn) p 在雙曲線的右支上,f1,f2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足了運(yùn)用定義的條件特征,故應(yīng)從雙曲線的定義入手去探索證明的途徑. 【證明】如圖,以 a1a2為直徑的圓的圓心為 o,半徑為 a,令 m,n 分別是 pf2,pf1的中點(diǎn),由三角形中位線的性質(zhì),得 |om|=|pf1|. 又 根 據(jù) 雙 曲 線 的 定 義 , 得|pf1|=2a+|pf2|,從而有|om|= (2a+|pf2|)=a+ |pf2|.這表明,兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和,故以 a1a2為直徑的圓與以 pf2為直徑的圓外切.