高考數(shù)學一輪復習第2章 第5節(jié) 冪函數(shù)與二次函數(shù)

1、1 / 14 冪函數(shù)與二次函數(shù) 考試要求 1.(1)了解冪函數(shù)的概念；(2)結(jié)合函數(shù) yx，yx2，yx3，yx ，y1x的圖象，了解它們的變化情況.2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題 1冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的定義 一般地，形如 yx(r)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中 x 是自變量， 是常數(shù) (2)常見的五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較 函數(shù) yx yx2 yx3 yx yx1 圖象 性質(zhì) 定義域 r r r x|x0 x|x0 值域 r y|y0 r y|y0 y|y0 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶 函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 在 r 上單 調(diào)遞增 在(

2、，0 上單調(diào)遞減； 在(0，) 上單調(diào)遞增 在 r 上單 調(diào)遞增 在0，) 上單調(diào)遞增 在(，0)和(0，) 上單調(diào)遞減 公共點 (1,1) 2二次函數(shù)解析式的三種形式 (1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)； (2)頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)； (3)零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0) 2 / 14 3二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a0) 圖象 定義域 r r 值域 4acb24a， ，4acb24a 單調(diào)性 在 x，b2a上單調(diào)遞減； 在 xb2a， 上單調(diào)遞增 在 x，b2a上單調(diào)遞增； 在 xb2a， 上單

3、調(diào)遞減 對稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于直線 xb2a對稱 提醒：二次函數(shù) yax2bxc(a0)的系數(shù)特征 (1)二次項系數(shù) a的正負決定圖象的開口方向 (2)b2a的值決定圖象對稱軸的位置 (3)c 的取值決定圖象與 y 軸的交點 (4)b24ac 的正負決定圖象與 x 軸的交點個數(shù) 常用結(jié)論 1冪函數(shù) yx在(0，)上的三個重要結(jié)論 (1)當 0時，函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞增 (2)當 0時，函數(shù)在(0，)上單調(diào)遞減 (3)當 x(0,1)時，越大，函數(shù)值越小，當 x(1，)時， 越大，函數(shù)值越大 2根與系數(shù)的關(guān)系 二次函數(shù) f(x)ax2bxc(a0)，當 b24ac0時，其圖象與 x 軸有兩個交

4、點 m1(x1,0)，m2(x2,0)，這里的 x1，x2是方程 f(x)0的兩個根，且3 / 14 x1x2ba，x1 x2ca，|m1m2|x1x2|a|. 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)函數(shù) y2x 是冪函數(shù)( ) (2)當 n0時，冪函數(shù) yxn在(0，)上是增函數(shù)( ) (3)二次函數(shù) yax2bxc(xr)不可能是偶函數(shù)( ) (4)二次函數(shù) yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材習題衍生 1已知冪函數(shù) yf(x)經(jīng)過點(3， 3)，則 f(x)( ) a是偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)

5、b是偶函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù) c是奇函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù) d是非奇非偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù) d 設(shè)冪函數(shù)的解析式為 yx，將點(3， 3)的坐標代入解析式得 33，解得 12，yx ，故選 d. 2若冪函數(shù) yf(x)的圖象過點(4,2)，則冪函數(shù) yf(x)的圖象是( ) a b c d 4 / 14 c 令 f(x)x，則 42，解得 12， f(x)x ，則 f(x)的圖象如 c中所示 3已知函數(shù) f(x)x24ax 在區(qū)間(，6)內(nèi)單調(diào)遞減，則 a的取值范圍是( ) aa3 ba3 ca3 da3 d 函數(shù) f(x)x24ax 的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是

6、 x2a，由函數(shù)在區(qū)間(，6)內(nèi)單調(diào)遞減可知，區(qū)間(，6)應(yīng)在直線 x2a的左側(cè)，所以2a6，解得 a3，故選 d. 4函數(shù) g(x)x22x(x0,3)的值域是_ 1,3 g(x)x22x(x1)21，x0,3， 當 x1時，g(x)ming(1)1， 又 g(0)0，g(3)963， g(x)max3， 即 g(x)的值域為1,3 考點一 冪函數(shù)的圖象及其性質(zhì) 與冪函數(shù)有關(guān)問題的解題思路 (1)若冪函數(shù) yx(z)是偶函數(shù)，則 必為偶數(shù)當 是分數(shù)時，一般將其先化為根式，再判斷 (2)若冪函數(shù) yx在(0，)上單調(diào)遞增，則 0；若在(0，)上單調(diào)遞減，則 0. (3)在比較冪值的大小時，必須

7、結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較 1(多選)已知 1,1,2,3，則使函數(shù) yx的值域為 r，且為奇函數(shù)的所有 的值為( ) a1 b1 c3 d2 5 / 14 ac 當 1時，yx11x，為奇函數(shù)，但值域為x|x0，不滿足條件 當 1時，yx 為奇函數(shù)，值域為 r，滿足條件 當 2時，yx2為偶函數(shù)，值域為x|x0，不滿足條件 當 3時，yx3為奇函數(shù)，值域為 r，滿足條件故選 ac. 2當 x(0，)時，冪函數(shù) y(m2m1)x5m3為減函數(shù)，則實數(shù) m的值為( ) a2 b1 c1或2 dm1 52 b 因為函數(shù) y(m2m1)x5m3既是冪函數(shù)又是(0，)上的減函

8、數(shù)， 所以 m2m11，5m30，解得 m1. 3若 a12，b15，c12，則 a，b，c 的大小關(guān)系是( ) aabc bcab cbca dbac d 因為 yx 在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以 a12b15，因為 y12x是減函數(shù)， 所以 a12c12，所以 bac. 4若(a1) (32a) ，則實數(shù) a 的取值范圍是_ 1，23 易知函數(shù) yx 的定義域為0，)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)， 所以 a10，32a0，a132a，解得1a23. 點評：比較大小時，若底數(shù)相同，可考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性若指數(shù)相同，可考慮冪函數(shù)的單調(diào)性，有時需要通過化簡，使底數(shù)(指數(shù))相同如本例6 / 14 t3，也可

9、化簡為 a14，b125，c12，再通過 yx 的單調(diào)性比較大小 考點二 求二次函數(shù)的解析式 求二次函數(shù)解析式的策略 典例 1 已知二次函數(shù) f(x)滿足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，試確定此二次函數(shù)的解析式 解 法一：(利用二次函數(shù)的一般式) 設(shè) f(x)ax2bxc(a0) 由題意得 4a2bc1，abc1，4acb24a8，解得 a4，b4，c7. 故所求二次函數(shù)為 f(x)4x24x7. 法二：(利用二次函數(shù)的頂點式) 設(shè) f(x)a(xm)2n(a0) f(2)f(1)，拋物線對稱軸為 x2(1)212. m12，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值 8，n8， yf(x)

10、ax1228. f(2)1，a212281，解得 a4， f(x)4x12284x24x7. 法三：(利用零點式) 由已知 f(x)10 的兩根為 x12，x21， 故可設(shè) f(x)1a(x2)(x1)， 7 / 14 即 f(x)ax2ax2a1. 又函數(shù)有最大值 ymax8，即4a(2a1)a24a8. 解得 a4或 a0(舍去)， 故所求函數(shù)解析式為 f(x)4x24x7. 點評：求二次函數(shù)的解析式常利用待定系數(shù)法，但由于條件不同，則所選用的解析式不同，其方法也不同 跟進訓練 1已知二次函數(shù) f(x)的圖象的頂點坐標是(2，1)，且圖象經(jīng)過點(1,0)，則函數(shù)的解析式為 f(x)_. 1

11、9x249x59 法一：(一般式)設(shè)所求函數(shù)的解析式為 f(x)ax2bxc(a0) 由已知得 b2a2，4acb24a1，abc0，解得 a19，b49，c59， 所以所求解析式為 f(x)19x249x59. 法二：(頂點式)設(shè)所求函數(shù)的解析式為 f(x)a(xh)2k. 由已知得 f(x)a(x2)21， 將點(1,0)代入，得 a19，所以 f(x)19(x2)21， 即 f(x)19x249x59. 2已知二次函數(shù) f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在 x 軸上截得的線段長為 2，并且對任意 xr，都有 f(2x)f(2x)，則函數(shù)的解析式 f(x)_. x24x3 f(2x)f(2

12、x)對 xr 恒成立， f(x)圖象的對稱軸為 x2. 又f(x)的圖象被 x 軸截得的線段長為 2， 8 / 14 f(x)0 的兩根為 1和 3. 設(shè) f(x)的解析式為 f(x)a(x1)(x3)(a0) 又f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)， 3a3，a1. 所求 f(x)的解析式為 f(x)(x1)(x3)， 即 f(x)x24x3. 考點三 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 二次函數(shù)圖象的識別 識別二次函數(shù)圖象應(yīng)學會“三看” 典例 21 (1)一次函數(shù) yaxb 與二次函數(shù) yax2bxc 在同一坐標系中的圖象大致是( ) a b c d (2)如圖所示的是二次函數(shù) yax2bxc 圖象的一部分，

13、且過點 a(3,0)，對稱軸為直線 x1.給出下面四個結(jié)論： b24ac；2ab1；abc0；5ab. 其中正確的是( ) a b c d 9 / 14 (1)c (2)b (1)若 a0，則一次函數(shù) yaxb 為增函數(shù)，二次函數(shù) yax2bxc的圖象開口向上，故排除 a；若 a0，一次函數(shù) yaxb為減函數(shù)，二次函數(shù) yax2bxc 的圖象開口向下，故排除 d；對于選項 b，看直線可知 a0，b0，從而b2a0，而圖中二次函數(shù)圖象的對稱軸在 y 軸的右側(cè)，故排除 b.故選 c. (2)因為圖象與 x 軸交于兩點，所以 b24ac0，即 b24ac，正確 因為對稱軸為直線 x1，所以b2a1，

14、即 2ab0，錯誤 結(jié)合圖象，當 x1時，y0，即 abc0，錯誤 由對稱軸為直線 x1 知，b2a.又函數(shù)圖象開口向下，所以 a0，所以5a2a，即 5ab，正確 點評：對于判斷兩個函數(shù)的圖象在同一坐標系中的題目，可假設(shè)一個圖象正確，然后判斷另一個圖象是否正確如本例 t(1) 二次函數(shù)的單調(diào)性 二次函數(shù)單調(diào)性問題的求解策略 (1)對于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是開口方向與對稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解 (2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較 典例 22 (1)函數(shù) f(x)ax2(a3)x1在區(qū)間1，

15、)上是單調(diào)遞減的，則實數(shù) a的取值范圍是( ) a3,0) b(，3 c2,0 d3,0 (2)二次函數(shù) f(x)ax2bxc(xr)的最小值為 f(1)，則 f( 2)，f 32，f( 3)的大小關(guān)系是( ) af( 2)f 32f( 3) bf 32f( 2)f(3) 10 / 14 cf( 3)f( 2)f 32 df( 2)f( 3)f 32 (1)d (2)d (1)當 a0 時，f(x)3x1在1，)上遞減，滿足題意 當 a0時，f(x)圖象的對稱軸為 x3a2a， 由 f(x)在1，)上遞減知 a0，3a2a1，解得3a0. 綜上，a的取值范圍為3,0 (2)二次函數(shù) f(x)a

16、x2bxc(xr)的最小值為 f(1)， 函數(shù)的圖象開口方向朝上，對稱軸為直線 x1. 321 | 31| 21|， f( 2)f( 3)f32，故選 d. 母題變遷 將本例(1)改為“若函數(shù) f(x)ax2(a3)x1的單調(diào)減區(qū)間是1，)”，則實數(shù) a_. 3 由題意知 a0，3a2a1，解得 a3. 二次函數(shù)的最值問題 二次函數(shù)最值問題的類型及解題思路 (1)類型： 對稱軸、區(qū)間都是給定的； 對稱軸動、區(qū)間固定； 對稱軸定、區(qū)間變動 (2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，“三點”是指區(qū)間11 / 14 兩個端點和中點，“一軸”指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討

17、論的思想解決問題 典例 23 求函數(shù) f(x)x22ax1 在區(qū)間1,2上的最值 解 f(x)(xa)21a2. 當a1，即 a1 時，函數(shù) f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)， f(x)minf(1)22a，f(x)maxf(2)4a5. 當1a12，即12a1時，函數(shù) f(x)在區(qū)間1,2上先減后增，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)4a5. 當12a2，即2a12時，函數(shù) f(x)在區(qū)間1,2上先減后增，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(1)22a. 當a2，即 a2 時，函數(shù) f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)， f(x)minf(2)4a5，f(x)maxf(

18、1)22a. 綜上知，f(x)min 22a，a1，1a2，2a1，4a5，a2， f(x)max 4a5，a12，22a，a12. 點評：對稱軸分區(qū)間討論，書寫結(jié)論時要注意合并區(qū)間 與二次函數(shù)有關(guān)的恒成立問題 1由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵 (1)一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù) (2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離這兩個思路的依據(jù)是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min. 2ax2bxc0(a0)在區(qū)間m，n上恒成立的條件設(shè) f(x)ax2bx12 / 14 c，則 f(m)0，f(n)

19、0. 典例 24 (1)已知函數(shù) f(x)x2mx1，若對于任意 xm，m1，都有 f(x)0 成立，則實數(shù) m的取值范圍是_ (2)已知函數(shù) f(x)x22x1，f(x)xk 在區(qū)間3，1上恒成立，則 k的取值范圍為_ (1)22，0 (2)(，1) (1)作出二次函數(shù) f(x)的草圖如圖所示，對于任意 xm，m1，都有 f(x)0， 則有 f(m)0，f(m1)0， 即 m2m210，(m1)2m(m1)10， 解得22m0. (2)由題意得 x2x1k 在區(qū)間3，1上恒成立 設(shè) g(x)x2x1，x3，1， 則 g(x)在3，1上單調(diào)遞減 g(x)ming(1)1. k1.故 k 的取值范圍為(，1) 跟進訓練 1已知 abc0，則二次函數(shù) f(x)ax2bxc 的圖象可能是( ) a b c d d a項，因為 a0，b2a0，所以 b0.又因為 abc0，所以 c0，而 f(0)c0，故 a錯b項，因為 a0，b2a0，所以 b0.又因為 abc13 / 14 0，所以