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1、1 / 4 課時(shí)作業(yè)(三十六) 數(shù)列求和 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)組 一、單項(xiàng)選擇題 1數(shù)列12n1的前 n 項(xiàng)和為( ) a12n b22n cn2n1 dn22n 答案 c 2數(shù)列(1)n(2n1)的前 2 022 項(xiàng)和 s2 022等于( ) a2 022 b2 022 c2 021 d2 021 解析 s2 0221357(22 0211)(22 0221)2 022。故選 b。 答案 b 3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 an2n12n,其前 n 項(xiàng)和 sn32164,則項(xiàng)數(shù) n 等于( ) a13 b10 c9 d6 解析 因?yàn)?an2n12n112n,所以 snn1212212nn112n。而3216
2、45164,所以 n112n5164。所以 n6。 答案 d 4在數(shù)列an中,已知對(duì)任意 nn*,a1a2a3an3n1,則 a21a22a23a2n等于( ) a(3n1)2 b12(9n1) c9n1 d14(3n1) 解析 因?yàn)?a1a2an3n1,所以 a1a2an13n11(n2)。則當(dāng) n2 時(shí),an2 3n1。當(dāng) n1 時(shí),a1312,適合上式,所以 an2 3n1(nn*)。所以數(shù)列a2n是首項(xiàng)為 4,公比為 9 的等比數(shù)列,a21a22a2n4(19n)1912(9n1)。故選 b。 答案 b 5(2021 浙江紹興一中模擬)已知在數(shù)列an中,a11,an1ann1,則數(shù)列a
3、nn的前 n 項(xiàng)和為( ) an25n2 bn25n4 cn23n2 dn23n4 解析 由 an1ann1,得 an1ann1,所以 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)21n(n1)2,故annn12,故數(shù)列ann的前 n 項(xiàng)和為12(23n1)n(n3)4n23n4。故選 d。 答案 d 6(2021 武昌區(qū)調(diào)研考試)已知數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 sn32n212n,設(shè) bn1anan1,tn為數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和。若對(duì)任意的 nn*,不等式 tn9n3 恒成立,則實(shí)數(shù) 的取值范圍為( ) a(,48) b(,36) c(,16) d(16,) 解析 因?yàn)閿?shù)列an
4、的前 n 項(xiàng)和 sn32n212n,所以 sn132(n1)212(n1)(n2),所以 an3n2(n2),經(jīng)驗(yàn)證 n1 時(shí)也滿足此式,所以 an3n2,an13n1,因?yàn)?bn1anan1,所以 bn1(3n2)(3n1)1313n213n1,所以 tn131114141713n213n113113n1n3n1,因?yàn)閷?duì)任意的 nn*,不等式 tn9n3 恒成立,所以對(duì)任意的 nn*,不等式n3n19n3 恒成立,所以3(3n1)2n對(duì)任意的 nn*恒成立,因?yàn)?y3(3x1)2x39x1x6 在1,)上單調(diào)遞增,所以當(dāng) x1時(shí),y3(3x1)2x48,所以 0,bnan,當(dāng) n5 時(shí),an
5、0,bnan,所以 t4s41044224,t30s5a6a7a302s5s302(10552)(1030302)650。 答案 24 650 四、解答題 12已知數(shù)列an,a14,(n1)an1nan4(n1)(nn*)。 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)若 bn1anan1,求數(shù)列bn的前 n 項(xiàng)和 tn。 解 (1)由(n1)an1nan4(n1)(nn*), 可得 2a2a18,3a32a212,4a43a316,nan(n1)an14n(n2), 累加得 nana18124n, 所以 nan48124n(44n)n22n(n1), 所以 an2n2(n2), 因?yàn)?a14 也適合
6、上式,所以 an2n2(nn*)。 (2)bn1anan11(2n2)(2n4)141n11n2, 3 / 4 所以 t11n214121n2n8n16。 13(2020 全國(guó)卷)設(shè)數(shù)列an滿足 a13,an13an4n。 (1)計(jì)算 a2,a3,猜想an的通項(xiàng)公式并加以證明; (2)求數(shù)列2nan的前 n 項(xiàng)和 sn。 解 (1)a25,a37。猜想 an2n1。 證明如下: 當(dāng) n1,2,3 時(shí),顯然成立。 假設(shè) nk 時(shí),ak2k1(kn*)成立, 當(dāng) nk1 時(shí), ak13ak4k3(2k1)4k 2k32(k1)1, 所以當(dāng) nk1 時(shí),等式成立, 綜上,可
7、知 an2n1 猜想成立。 (2)由(1)得 2nan(2n1)2n,所以 sn32522723(2n1)2n , 從而 2sn322523724(2n1)2n1 。 得sn3222222322n(2n1)2n1。 所以 sn(2n1)2n12。 素養(yǎng)提升組 14(2021 江西省紅色七校聯(lián)考)已知數(shù)列an中,an0,sn是它的前 n 項(xiàng)和,a13,且 s2n3n2ans2n1,n2。 (1)求證:數(shù)列anan1為等差數(shù)列; (2)求an的前 n 項(xiàng)和 sn。 解 (1)證明:當(dāng) n2 時(shí),因?yàn)?s2n3n2ans2n1, 所以(snsn1)(snsn1)3n2an, 又 an0,所以 snsn13n2, sn1sn3(n1)2, 兩式對(duì)應(yīng)相減得 anan13(2n1), 所以(anan1)(an1an)6n3(6n3)6, 又 n2 時(shí),(3a2)212a29, 故 a26,同理 a39, 所以(a2a3)(a1a2)69(36)6, 所以數(shù)列anan1為等差數(shù)列。 (2)當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí), sn(a1a2)(a3a4)(an1an) 337(2n1)3n2(32n1)2 32(n2n)。 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí), sna1(a2a3)(an1an) 3359(2n1) 33n12(52n1)2 32(n2n2)3 32(n2n)。 綜上,sn32(n2n
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