函數(shù)的單調(diào)性與極值理實(shí)用教案

1、 f (x)0 f (x)0 則f(x)在a b上嚴(yán)格(yng)單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上嚴(yán)格(yng)單調(diào)減少 由拉格朗日中值公式(gngsh) 有 f(x2) f(x1) =f (x)(x2x1) (x1x0 x2x10 所以 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 這就證明了函數(shù)f(x)在(a b)內(nèi)單調(diào)增加 證明 只證(1) 在(a b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1 x2(x10 則f(x)在a b上嚴(yán)格單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上嚴(yán)格單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 因此

2、函數(shù)yx3在區(qū)間( 0及0, )內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加 從而函數(shù)在整個(gè)定義域( )內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加 例2 2 第5頁(yè)/共31頁(yè)第五頁(yè)，共32頁(yè)。 1 設(shè)函數(shù) yf(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)可導(dǎo) x1 x2是 f (x)的兩個(gè)相鄰(xin ln)的零點(diǎn) 問(wèn)f(x)在x1 x2上是否單調(diào)？ 討論(toln)結(jié)論：由單調(diào)(dndio)性判別法可知f(x)在x1 x2上一定單調(diào)(dndio)。 2.設(shè)函數(shù) yf(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)可導(dǎo) x1 x2是 f (x)的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn) 問(wèn)f (x)在(x1 x2) 內(nèi)符號(hào)如何判斷？ 結(jié)論：只要求出(x1 x2)內(nèi)某一點(diǎn)的符號(hào)，即可知 f (x)

3、在(x1 x2) 內(nèi)符號(hào) 3 如何把區(qū)間a b劃分成一些小區(qū)間 使函數(shù) f(x)在每個(gè)小區(qū)間上都是單調(diào)的？ 結(jié)論：解出使f (x)=0的點(diǎn)，以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)劃分a b第6頁(yè)/共31頁(yè)第六頁(yè)，共32頁(yè)。 例3 確定(qudng)函數(shù)f(x)2x39x212x3的單調(diào)區(qū)間 解 這個(gè)(zh ge)函數(shù)的定義域?yàn)? ) f (x)6x218x126(x1)(x2) 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為x11、x22 列表分析 函數(shù)f(x)在區(qū)間( 1和2 )內(nèi)單調(diào)(dndio)增加 在區(qū)間1 2上單調(diào)(dndio)減少 ( 1) (1 2) (2 ) y2x39x212x3第7頁(yè)/共31頁(yè)第七頁(yè)，共32頁(yè)。 解 函數(shù)(hn

4、sh)的定義域?yàn)? ) 所以函數(shù)在0 )上單調(diào)(dndio)增加 因?yàn)?yn wi)x0時(shí) y0 所以函數(shù)在( 0 上單調(diào)減少 因?yàn)閤0時(shí) y0 例5 求證(qizhng)當(dāng)x 0時(shí) ex 1+x求導(dǎo)數(shù)(do sh) f (x)ex1列表判斷：又因 f(0)=0所以x 0時(shí)，f(x) 0 即 ex 1+x（ x 0） ( 0) (0 )+第11頁(yè)/共31頁(yè)第十一頁(yè)，共32頁(yè)。 因?yàn)楫?dāng)x1時(shí) f (x)0 所以(suy)f(x)在1 )上f(x)單調(diào)增加 因此當(dāng)x1時(shí) f(x)f(1)=0 即 例6 例例 6 證明 當(dāng) x1 時(shí) xx132 證明(zhngmng)312xxy第12頁(yè)/共31頁(yè)第

5、十二頁(yè)，共32頁(yè)。0yx二、極值(j zh)及其判別法 定義 設(shè)函數(shù)f (x)在(a, b)內(nèi)有定義，x0 是(a, b)內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)x0存在(cnzi)一個(gè)鄰域，使得對(duì)此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)x (x x0)總有 (1) f (x) f (x0) ,則稱(chēng)f (x0)為 函數(shù)(hnsh)f (x)的一個(gè)極小值，稱(chēng)x0為函數(shù)(hnsh)f (x)的一個(gè)極小值點(diǎn) 函數(shù)極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)。abACBDEFy=f(x)第13頁(yè)/共31頁(yè)第十三頁(yè)，共32頁(yè)。 極值(j zh)與最值的區(qū)別（1）最值是在一個(gè)區(qū)間上考慮，是整體的、絕對(duì)的、唯一的；而極值只就某個(gè)(mu )鄰域來(lái)考慮

6、，是局部的、相對(duì)的、不唯一的。（2）最值可取端點(diǎn)，極值不會(huì)取到端點(diǎn)。（3）一個(gè)區(qū)間上最大值一定大于或等于最小值，但極大值未必大于極小值。問(wèn)題(wnt)： 如何求函數(shù)的極值點(diǎn)？0yxabACBDEFy=f(x)第14頁(yè)/共31頁(yè)第十四頁(yè)，共32頁(yè)。0yx定理2（極值存在(cnzi)的必要條件） 如果(rgu)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有極值f (x0) ，且f (x0)存在，則必有f (x0)=0abACBDEFy=f(x) 駐點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)f (x)為零的點(diǎn)（即方程(fngchng)f (x0)=0的實(shí)根）稱(chēng)為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)，又稱(chēng)穩(wěn)定點(diǎn)。 可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必為f(x)的駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定

7、是極值點(diǎn)。如：函數(shù)f(x) x3 f (x) 3x2 顯然 當(dāng)x0時(shí) f (x) 0即 x0為f(x) 的駐點(diǎn)但 x0不是f(x) 的極值點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能為極值點(diǎn) 因此，所有可能為極值點(diǎn)的點(diǎn)是方程f (x0)=0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)第15頁(yè)/共31頁(yè)第十五頁(yè)，共32頁(yè)。 關(guān)于極值點(diǎn)與駐點(diǎn)的關(guān)系： （1）兩類(lèi)點(diǎn)定義的出發(fā)點(diǎn)不同。 極值點(diǎn)是指函數(shù)在這一點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于該點(diǎn)鄰域內(nèi)任何其它點(diǎn)的函數(shù)值； 駐點(diǎn)是指導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn) 因此極值點(diǎn)可以是可導(dǎo)點(diǎn)也可以是不可(bk)導(dǎo)點(diǎn)，而駐點(diǎn)一定是可導(dǎo)點(diǎn)。 （2）極值點(diǎn)成為駐點(diǎn)的條件：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，反之不成立； （3）

8、駐點(diǎn)成為極值點(diǎn)的條件：若f (x)在駐點(diǎn)左右鄰域內(nèi)符號(hào)相反，則此駐點(diǎn)一定為極值點(diǎn)第16頁(yè)/共31頁(yè)第十六頁(yè)，共32頁(yè)。定理3（極值的第一(dy)判別法） 設(shè)函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的某一鄰域(ln y)(x0 , x0 )內(nèi)連續(xù)，除點(diǎn)x0外，在此鄰域(ln y)內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)f (x)在點(diǎn)x0的左右附近保持著確定的符號(hào)，這時(shí)有三種情況： （1）當(dāng)x0，當(dāng)x x0時(shí)， f (x) 0，則f(x)在x0點(diǎn)取得極大值； （2）當(dāng)x x0時(shí)， f (x) x0時(shí)， f (x) 0，則f(x)在x0點(diǎn)取得極小值； （3） f (x)在經(jīng)過(guò)x0點(diǎn)時(shí)不改變符號(hào)，則f(x)在x0點(diǎn)不取極值。第17頁(yè)/共31頁(yè)第十

9、七頁(yè)，共32頁(yè)。 例7 求函數(shù)f(x)2x39x212x3的極值(j zh) 解 函數(shù)的定義域?yàn)? ) f (x)6x218x126(x1)(x2) 令f (x)=0，得駐點(diǎn)(zh din)為x11、x22 用駐點(diǎn)(zh din)將定義域分成三個(gè)區(qū)間，列表 故函數(shù)(hnsh)f(x)在x=1處取得極大值f(1)=2，在x=2處取得極小值f(2)=1 ( 1) (1 2) (2 ) y2x39x212x312極大值2極小值100第18頁(yè)/共31頁(yè)第十八頁(yè)，共32頁(yè)。例8 求函數(shù)f(x) (x2 1)3 1的極值(j zh) 解 函數(shù)的定義域?yàn)? ) f (x)6x(x2 1)2 令f (x)=0

10、，得駐點(diǎn)(zh din)為x10、x21、 x3 1 用駐點(diǎn)(zh din)將定義域分成四個(gè)區(qū)間，列表 ( 1) (1 ) (1 0) (0 1) 故函數(shù)(hnsh)f(x) 在x=0處取得極小值f(0)=0無(wú)極值無(wú)極值極小值0110000第19頁(yè)/共31頁(yè)第十九頁(yè)，共32頁(yè)。 解 函數(shù)(hnsh)的定義域?yàn)? ) 所以(suy)函數(shù)在0 )上單調(diào)增加 因?yàn)?yn wi)x0時(shí) y0 所以函數(shù)在( 0 上單調(diào)減少 因?yàn)閤0時(shí) y0 例例 3 討論函數(shù)32xy 的單調(diào)性 例4 332xy (x0) 函數(shù)在 x0 處不可導(dǎo) (x0) 函數(shù)在 x0 處不可導(dǎo) 32xy故函數(shù)f(x) 在x=0處取得極

11、小值f(0)=0說(shuō)明 導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可能為極值點(diǎn)第20頁(yè)/共31頁(yè)第二十頁(yè)，共32頁(yè)。 例9 證明二次函數(shù)y ax2 bx c (a0)的極值點(diǎn)為 ， 并討論它的極值 ab2 證明(zhngmng)：函數(shù)y ax2 bx c (a0)的定義域?yàn)? ) y=2ax+b (1)若a 0，則ab2當(dāng)x 時(shí)，ab2當(dāng)x 時(shí)，ab2故x0= 是函數(shù)的極小值，ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0且極小值為ab2令 y=2ax+b=0，得駐點(diǎn)為x0= 第21頁(yè)/共31頁(yè)第二十一頁(yè)，共32頁(yè)。(2)若a 0，則ab2當(dāng)x 時(shí)，ab2當(dāng)x 時(shí)，ab

12、2故x0= 是函數(shù)的極大值，ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0極大值為：求函數(shù)極值(第一(dy)判別法)小結(jié)： (1)確定函數(shù)的定義域 (2)求出f (x),令f (x) =0，解方程得駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為分界點(diǎn) (3)用分界點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間 (4)判斷或列表判斷f (x) 在各個(gè)分界點(diǎn)左、右的符號(hào)，由極值第一(dy)判別法可確定函數(shù)極值 第22頁(yè)/共31頁(yè)第二十二頁(yè)，共32頁(yè)。練習(xí)(linx)2：用極值第一判別法求函數(shù) 的極值 xexxf221)( 解：定義域?yàn)? ) 令f (x)=0，解得x10、x22列表(li b

13、io)分析( 0)(0 2)(2 )0200極小值0極大值2e-2故函數(shù)(hnsh)f(x) 在x=0處取得極小值f(0)=0,在x=2處取得極大值f(2)= 2e-2 第23頁(yè)/共31頁(yè)第二十三頁(yè)，共32頁(yè)。定理(dngl)4（極值的第二判別法） 設(shè)函數(shù)(hnsh)f(x)在點(diǎn)x0處有二階導(dǎo)數(shù)且f (x0)=0， f (x0)0，則 （1）當(dāng)f (x0)0時(shí)，函數(shù)(hnsh)f(x)在x0點(diǎn)取得極小值。 證：（1）由于(yuy) f (x0)0 則f(x)在a b上嚴(yán)格單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上嚴(yán)格單調(diào)減少 (1)確定函數(shù)的定義域 (2)求出f (x

14、),令f (x) =0，解方程求分界點(diǎn) (3)用分界點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間 (4)判斷或列表判斷f (x) 在各個(gè)開(kāi)區(qū)間上的符號(hào)，由單調(diào)性判別法可確定單調(diào)區(qū)間 第28頁(yè)/共31頁(yè)第二十八頁(yè)，共32頁(yè)。 設(shè)函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的某一鄰域(x0 , x0 )內(nèi)連續(xù)，除點(diǎn)x0外，在此鄰域內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)f (x)在點(diǎn)x0的左右附近保持著確定的符號(hào)，這時(shí)有三種情況： （1）當(dāng)x0，當(dāng)x x0時(shí)， f (x) 0，則f(x)在x0點(diǎn)取得極大值； （2）當(dāng)x x0時(shí)， f (x) x0時(shí)， f (x) 0，則f(x)在x0點(diǎn)取得極小值； （3） f (x)在經(jīng)過(guò)x0點(diǎn)時(shí)不改變符號(hào)，則f(x)在x0點(diǎn)不取

15、極值。（4）極值(j zh)第一判別法及步驟求函數(shù)極值(第一判別法)步驟： (1)確定函數(shù)的定義域 (2)求出f (x),令f (x) =0，解方程得駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為分界點(diǎn) (3)用分界點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)開(kāi)區(qū)間 (4)判斷或列表判斷f (x) 在各個(gè)分界點(diǎn)左、右的符號(hào)，由極值第一判別法可確定函數(shù)極值 第29頁(yè)/共31頁(yè)第二十九頁(yè)，共32頁(yè)。（5）極值(j zh)第二判別法及步驟 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有二階導(dǎo)數(shù)且f (x0)=0， f (x0)0，則 （1）當(dāng)f (x0)0時(shí)，函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)取得極小值。 第二判別法求函數(shù)極值的步驟(bzhu)： (1)求一階導(dǎo)數(shù)f (x)，令f (x)=0 得駐點(diǎn)x=x0 ； (2)求二階導(dǎo)數(shù)f (x)，并求出f (x0)的值； (3)當(dāng)f (x0)0時(shí)，由極值第二判別法得出x0為極值點(diǎn)；當(dāng)f (x0)=0時(shí)，由極值第一判別法判斷x0點(diǎn)是否為極值。作業(yè)(zuy)：第30頁(yè)/共31頁(yè)第三十頁(yè)，共32頁(yè)。感謝您的