第5章(誤差基本知識)

1、1第五章第五章 測量誤差基本知識測量誤差基本知識2 當對某觀測量進行觀測，其觀測值與真值當對某觀測量進行觀測，其觀測值與真值( (客客觀存在或理論值觀存在或理論值) )之差，稱為測量誤差。之差，稱為測量誤差。 用數(shù)學式子表達：用數(shù)學式子表達： i = Li X i = Li X (i=1,2(i=1,2n) n) L L 觀測值觀測值 X X真值真值 ，每一種儀器具有一定的精，每一種儀器具有一定的精確度，因而使觀測結(jié)果的精確度受到一定限制。確度，因而使觀測結(jié)果的精確度受到一定限制。 測量誤差產(chǎn)生的原因很多，但概括起來主要有測量誤差產(chǎn)生的原因很多，但概括起來主要有以下三個方面：以下三個方面：3

2、v DJ6DJ6型光學經(jīng)緯儀基本分劃為型光學經(jīng)緯儀基本分劃為11，難以確保分以下，難以確保分以下 估讀值完全準確無誤。估讀值完全準確無誤。v 使用只有厘米刻劃的普通鋼尺量距，難以保證厘米使用只有厘米刻劃的普通鋼尺量距，難以保證厘米以下估讀值的準確性。以下估讀值的準確性。 儀器構(gòu)造本身也有一定誤差。儀器構(gòu)造本身也有一定誤差。 v水準儀的視準軸與水準軸不平行，則測量結(jié)果中水準儀的視準軸與水準軸不平行，則測量結(jié)果中含有含有i i 角誤差或交叉誤差。角誤差或交叉誤差。v水準尺的分劃不均勻，必然產(chǎn)生水準尺的分劃誤水準尺的分劃不均勻，必然產(chǎn)生水準尺的分劃誤差。差。4 觀測者感官鑒別能力有一定的局限性。觀測

3、者的習慣觀測者感官鑒別能力有一定的局限性。觀測者的習慣因素、工作態(tài)度、技術(shù)熟練程度等也會給觀測者成果帶來因素、工作態(tài)度、技術(shù)熟練程度等也會給觀測者成果帶來不同程度的影響。不同程度的影響。 例如：外界環(huán)境如溫度、濕度、風力、大氣折光等因例如：外界環(huán)境如溫度、濕度、風力、大氣折光等因素的變化，均使觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差。素的變化，均使觀測結(jié)果產(chǎn)生誤差。 5 6 例例1 1：用名義長度為：用名義長度為3030米而實際長度為米而實際長度為30.0430.04米的鋼尺量距。米的鋼尺量距。 丈量結(jié)果見下表丈量結(jié)果見下表5-15-1： 表表5-15-1 尺段數(shù)尺段數(shù) 一一二二三三四四五五 N N觀測值觀測值 30

4、 3060609090120120150150 30 30 n n真實長度真實長度30.0430.0460.0860.0890.1290.12120.16120.16150.20150.20 30.04 30.04n n真誤差真誤差-0.04-0.04-0.08-0.08-0.12-0.12-0.16-0.16-0.20-0.20-0.04 -0.04 n n 誤差符號始終不變，具有規(guī)律性。誤差符號始終不變，具有規(guī)律性。 誤差大小與所量直線成誤差大小與所量直線成 正比，具有累積性。正比，具有累積性。 誤差對觀測結(jié)果的危害性很大。誤差對觀測結(jié)果的危害性很大。7 在厘米分劃的水準尺上估讀毫米時，有

5、時估讀過大，有時在厘米分劃的水準尺上估讀毫米時，有時估讀過大，有時估過小，每次估讀也不可能絕對相等，其影響大小，純屬偶估過小，每次估讀也不可能絕對相等，其影響大小，純屬偶然。然。 大氣折光使望遠鏡中目標成像不穩(wěn)定，則瞄準目標有時偏左、大氣折光使望遠鏡中目標成像不穩(wěn)定，則瞄準目標有時偏左、有時偏右。有時偏右。8 - 在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差”。 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差具有規(guī)律性。具有

6、規(guī)律性。-在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列 的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面 上看沒有任何規(guī)律性，為種誤差稱為上看沒有任何規(guī)律性，為種誤差稱為“偶然誤差偶然誤差”。 個別偶然誤差雖無規(guī)律，但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律。個別偶然誤差雖無規(guī)律，但大量的偶然誤差具有統(tǒng)計規(guī)律。-觀測中的錯誤叫觀測中的錯誤叫粗差粗差。 例如：讀錯、記錯、算錯、瞄錯目標等。例如：讀錯、記錯、算錯、瞄錯目標等。 錯誤是觀測者疏大意造成的，觀測結(jié)果中不允許有錯誤。錯誤是觀測者疏大意造成的，觀測結(jié)果中不允許有錯誤

7、。 一旦發(fā)現(xiàn)，應及時更正或重測。一旦發(fā)現(xiàn)，應及時更正或重測。引進如下概念：引進如下概念：9 在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時產(chǎn)生。在觀測過程中，系統(tǒng)誤差和偶然誤差總是同時產(chǎn)生。 系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響尤為顯著，應盡可能地加以改系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響尤為顯著，應盡可能地加以改正、抵消或削弱。正、抵消或削弱。 對可能存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時間的多對可能存在的情況不明的系統(tǒng)誤差，可采用不同時間的多次觀測，消弱其影響。次觀測，消弱其影響。 檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。檢校儀器：使系統(tǒng)誤差降低到最小程度。 求改正數(shù)：將觀測值加以改正，消除其影響。求改正數(shù)：將觀測值加以改

8、正，消除其影響。 采用合理的觀測方法：如對向觀測。采用合理的觀測方法：如對向觀測。 研究偶然誤差是測量學的重要課題。研究偶然誤差是測量學的重要課題。 適當提高儀器等級。適當提高儀器等級。 進行多余觀測，求最或是值。進行多余觀測，求最或是值。10 若若i i= L= Li i X X （i=1,2,3,i=1,2,3,358,358） 負 誤 差 正 誤 差 合 計 誤差區(qū)間 d（） 個數(shù) k 頻率 k/n 個數(shù) k 頻率 k/n 個數(shù) k 頻率 k/n 0 03 3 3 36 6 6 69 9 9 91212 12121515 15151818 18182121 21212424 2424 4

9、545 4040 3333 2323 1717 1313 6 6 4 4 0 0 0.1260.126 0.1120.112 0.0920.092 0.0640.064 0.0470.047 0.0360.036 0.0170.017 0.0110.011 0 0 4646 4141 3333 2121 1616 1313 5 5 2 2 0 0 0.1280.128 0.1150.115 0.0920.092 0.0590.059 0.0450.045 0.0360.036 0.0140.014 0.0060.006 0 0 9191 8181 6666 4444 3333 2626 111

10、1 6 6 0 0 0.2450.245 0.2270.227 0.1840.184 0.1230.123 0.0920.092 0.0720.072 0.0310.031 0.0170.017 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1.0001.000 11 實踐表明：觀測誤差必然具有上述四個特性。而且，當觀測實踐表明：觀測誤差必然具有上述四個特性。而且，當觀測的個數(shù)愈大的個數(shù)愈大 時，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。時，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。 0limlim21 nnnnn 為了直觀地表示偶然誤差的正負和大小的分布情況，可為了直觀地表示偶然誤差的正負和大小的分布情況，可以按表以

11、按表5-25-2的數(shù)據(jù)作的數(shù)據(jù)作( (圖圖5-1)5-1)。12-24-21-18-16-12 -9 -6 3 0 +3 +6 +9+12+15+18+21+24 x= 圖圖5-1 5-1 頻率直方圖頻率直方圖dnk /)(/頻率nk13 若誤差的個數(shù)無限增大若誤差的個數(shù)無限增大(n)(n)，同時又無限縮小誤差，同時又無限縮小誤差的區(qū)間的區(qū)間d d，則圖，則圖5-15-1中各小長條的頂邊的折線就逐漸成為一中各小長條的頂邊的折線就逐漸成為一條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為條光滑的曲線。該曲線在概率論中稱為“”，它完整地表示了偶然誤差出現(xiàn)的概率它完整地表示了偶然誤差出現(xiàn)的概率P P。 即當即當n

12、n時，上時，上述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的述誤差區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定，成為誤差出現(xiàn)的概率。概率。 正態(tài)分布曲線的數(shù)學方程式為正態(tài)分布曲線的數(shù)學方程式為 : : (5-3)(5-3) 為為標準差標準差，標準差的平方為，標準差的平方為 方差方差。 nnnnn 2222212limlimefy221)(22 nnnnlimlim22) 45 ( ) 55 ( 14 f(f() )是偶函數(shù)。即絕對值相等的正誤差與負誤差求得是偶函數(shù)。即絕對值相等的正誤差與負誤差求得的的f(f() )相等，所以曲線對稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三相等，所以曲線對稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三

13、特性。特性。 愈小，愈小，f(f() )愈大。當愈大。當=0=0時，時，f(f() )有最大值有最大值; ; 反之，反之，愈大，愈大，f(f() )愈小。當愈小。當nn時，時，f(f() 0,) 0,這就是偶然誤這就是偶然誤差的第一和第二特性。差的第一和第二特性。 如果求如果求f(f() )二階導數(shù)并令其等于零，可以求得曲線拐二階導數(shù)并令其等于零，可以求得曲線拐點橫坐標：點橫坐標： 拐拐= = 如果求如果求f(f() )在區(qū)間在區(qū)間 的積分，則誤差出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)的積分，則誤差出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)的相對次數(shù)是某個定值的相對次數(shù)是某個定值 ，所以當，所以當 愈小時，曲線將愈陡峭，愈小時，曲線將愈陡峭，即誤差

14、分布比較密集；當即誤差分布比較密集；當 愈大時，曲線將愈平緩，即誤差愈大時，曲線將愈平緩，即誤差分布比較分散。由此可見，參數(shù)分布比較分散。由此可見，參數(shù) 的值表征了誤差擴散的特的值表征了誤差擴散的特征征。efy221)(2215f()+-11121-+f()2+-22122116v 觀測條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù)觀測條件較好，誤差分布比較密集，它具有較小的參數(shù) ；v 觀測條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù)觀測條件較差，誤差分布比較分散，它具有較大的參數(shù) ；v 具有較小具有較小 的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側(cè)以較的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側(cè)以較陡的趨勢迅速下降；

15、陡的趨勢迅速下降；v 具有具有 較大較大 的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側(cè)以較的誤差曲線，自最大縱坐標點向兩側(cè)以較平緩的趨勢伸展。平緩的趨勢伸展。最大縱坐標點：21efy221)(22175-2 5-2 衡量觀測值精度的標準衡量觀測值精度的標準 誤差誤差的概率密度函數(shù)為：的概率密度函數(shù)為： 標準差標準差 nmef221)(22 nnnnlimlim2 在測量工作中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，一在測量工作中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，一般采用下述誤差公式：般采用下述誤差公式： 標準差標準差中誤差中誤差 m m 的不同在于觀測個數(shù)的不同在于觀測個數(shù) n n 上；上； 標準差表征了一

16、組同精度觀測在標準差表征了一組同精度觀測在(n)(n)時誤差分布的時誤差分布的擴散特征，即理論上的觀測指標；擴散特征，即理論上的觀測指標； 而中誤差則是一組同精度觀測在為而中誤差則是一組同精度觀測在為 n n 有限個數(shù)時求得有限個數(shù)時求得的觀測精度指標；的觀測精度指標； 所以中誤差是標準差的近似值估值；所以中誤差是標準差的近似值估值； 隨著隨著 n n 的增大，的增大，m m 將趨近于將趨近于。 18同精度觀測值對應著同一個誤差分布，即對應著同一個標同精度觀測值對應著同一個誤差分布，即對應著同一個標準差，而標準差的估計值即為中誤差。準差，而標準差的估計值即為中誤差。 設對某個三角形用兩種不同的

17、精度分別對它進行了設對某個三角形用兩種不同的精度分別對它進行了1010次次觀測，求得每次觀測所得的三角形內(nèi)角和的真誤差為觀測，求得每次觀測所得的三角形內(nèi)角和的真誤差為 第一組：第一組： +3, -2, -4,+2,0,-4,+3, +2, -3, -1+3, -2, -4,+2,0,-4,+3, +2, -3, -1； 第二組：第二組： 0, -1, -7,+2,+1,+1,- 8, 0, +3, -1.0, -1, -7,+2,+1,+1,- 8, 0, +3, -1. 試求這兩組觀測值的中誤差。試求這兩組觀測值的中誤差。 由由 解得：解得：m m1 1= =2.7 m2.7 m2 2= =

18、3.6 3.6 可見：可見：第一組的觀測精度較第二組觀測精度高。第一組的觀測精度較第二組觀測精度高。nm19 根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間根據(jù)正態(tài)分布曲線，誤差在微小區(qū)間d d中的概率：中的概率： p(p()=f()=f() )d d 設以設以k k倍中誤差作為區(qū)間，則在倍中誤差作為區(qū)間，則在此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為：此區(qū)間誤差出現(xiàn)的概率為： 分別以分別以k=1,2,3k=1,2,3代入上式，可得：代入上式，可得： P(P(m)=0.683=68.3m)=0.683=68.3 P( P(2m)=0.955=95.52m)=0.955=95.5 P( P(3m)=0.997=99.73m)=0

19、.997=99.7 由于一般情況下測量次數(shù)有限，由于一般情況下測量次數(shù)有限，3 3倍中誤差很少遇到，倍中誤差很少遇到， 故以故以2 2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“容許誤差容許誤差”，或或 稱為稱為“限差限差”即即容容=2=2m mkmkmdfkmP)()(20三、相對誤差三、相對誤差 在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不能正確反映觀測的質(zhì)量。還不能正確反映觀測的質(zhì)量。 例如例如: : 用鋼卷尺量用鋼卷尺量200200米和米和4040米兩段距離，量距的中誤差米兩段距離，量距的中誤差都是都是2cm

20、2cm，但不能認為兩者的精度是相同的，因為量距的，但不能認為兩者的精度是相同的，因為量距的誤差與其長度有關(guān)。誤差與其長度有關(guān)。 為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的質(zhì)量。即的質(zhì)量。即m/Lm/L來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。 相對中誤差又可要求寫成分子為相對中誤差又可要求寫成分子為1 1的分式，即的分式，即 。 上例為上例為 K K1 1= m= m1 1/L/L1 1=1/10000, =1/10000, K K2 2= m= m2 2/L/L2 2=1/2000=1/2000 可

21、見可見: : 前者的精度比后者高。前者的精度比后者高。 N1215-3 5-3 誤差傳播定律誤差傳播定律 式中式中x xi i(i=1,2,3,(i=1,2,3,，n)n)為獨立觀測值，其中誤差為為獨立觀測值，其中誤差為m mi i (i=1,2,3,(i=1,2,3,，n),n),求觀測值函數(shù)的中誤差求觀測值函數(shù)的中誤差m mz z。當觀測值。當觀測值x xi i分別分別具有真誤差具有真誤差x xi i時，則函數(shù)時，則函數(shù)z z也隨之產(chǎn)生相應的真誤差也隨之產(chǎn)生相應的真誤差z z 。 由數(shù)學分析可知，變量與函數(shù)的之間的誤差關(guān)系可近似用由數(shù)學分析可知，變量與函數(shù)的之間的誤差關(guān)系可近似用函數(shù)的全微

22、分表達，即函數(shù)的全微分表達，即222222122)()()(21nxFxFxFzmmmmnnniiinnxxFxxFxxFzdzdxzxzxdxxFdxxFdxxFdz 22112211,即：、代替上式中的、均很小，所以可用、由于22 一般函數(shù)：一般函數(shù)： 倍數(shù)函數(shù)：倍數(shù)函數(shù)： 和差函數(shù)：和差函數(shù)： 線性函數(shù)：線性函數(shù)： 2222221221)()()(),(21nxfxfxfznmmmmxxxfznxzkmmkxz2222121nznmmmmxxxz22222221212211nnznnmkmkmkmxkxkxkz23 ),(21nxxxfznnnnxxFxxFxxFzdxxFdxxFdxx

23、Fdz 22112211即：222222122)()()(21nxfxfxfzmmmmn24 解：因為解：因為 所以所以：sin szcmmcmsmmszmszzsz4 . 4)(4 .196 . 08 .18)()496. 01011.150()5()868. 0()()cos(sincos;sin22062656 .20222222222即：sin sz25 若若 hAB=h1+h2+hn 設每站高差中誤差均為設每站高差中誤差均為m站站，則有，則有 。 若水準路線為平坦地區(qū)，則每測站間距離若水準路線為平坦地區(qū)，則每測站間距離S大大致相等，設致相等，設AB路線總長為路線總長為L，則測站數(shù)，則

24、測站數(shù)n=L/S，則：，則： LmmSmSLhAB站站26菲列羅公式故測角中誤差：nffmmmmnffm333 27 5-4-4 等精度直接觀測平差等精度直接觀測平差 直接平差直接平差 等精度直接平差等精度直接平差 不等精度直接平差不等精度直接平差 按最小二乘原理按最小二乘原理 例如：測的某三角形的三個內(nèi)角的觀測值：例如：測的某三角形的三個內(nèi)角的觀測值： 其閉合差其閉合差 為消除閉合差，須對三個角度進行改正，即為消除閉合差，須對三個角度進行改正，即 248064,548169,512346 81180 f810180)()()( vvvvvv其中：28 滿足條件的改正數(shù)可以有無限多組，見下表：

25、滿足條件的改正數(shù)可以有無限多組，見下表： 根據(jù)最小二乘原理，應使根據(jù)最小二乘原理，應使改正數(shù)改正數(shù)第第1 1組組第第2 2組組第第3 3組組第第4 4組組第第5 5組組 V V V V V V+6+6+6+6+6+6+4+4+20+20-6-6-4-4+6+6+16+16+3+3-1-1+16+16+6+6+5+5+7+7vvvv108108452452308308266266110110min222vvv29 在相同的觀測條件下，對某量進行在相同的觀測條件下，對某量進行n n次觀測，其值分次觀測，其值分別為別為l l1 1，l l2 2，lnln，其算術(shù)平均值為其算術(shù)平均值為 算術(shù)平均值與觀

26、測值之差稱為觀測值的改正值（算術(shù)平均值與觀測值之差稱為觀測值的改正值（v v）: 一組觀測值取算術(shù)平均值后，其改正值之和恒等于零。一組觀測值取算術(shù)平均值后，其改正值之和恒等于零。 0lim21nlXnlnlllxnnnniilxv 0v30 （三）精度評定（三）精度評定 1、觀測值的中誤差：、觀測值的中誤差： 2、算術(shù)平均值的中誤差：、算術(shù)平均值的中誤差：1nvvmnmmx31 5-55-5、不等精度直接平差、不等精度直接平差222iiiimpmcp或32PPLPPLPLPLLLLLLLLLLXmmmLLLLLmmLLLmmmmmmmm 2122112121432121243212121122

27、22122222124242424422：所有觀測值的平均值為，則為每個觀測值的精度相同第二組第一組33 （二）不等精度觀測值的最或然值（二）不等精度觀測值的最或然值 （三）不等精度觀測值最或然值的中誤差（三）不等精度觀測值最或然值的中誤差 （四）單位權(quán)中誤差（四）單位權(quán)中誤差 nnnpppplplplplppplx 321332211 pmx1npvv34 1.1.測量誤差及其產(chǎn)生的原因測量誤差及其產(chǎn)生的原因 儀器的原因儀器的原因 人的原因人的原因 外界環(huán)境的影響外界環(huán)境的影響 2.2.測量誤差的分類與處理原則測量誤差的分類與處理原則 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 - - 在相同的觀測條件下，對某一量進

28、在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，行一系列的觀測，如果出現(xiàn)的誤差在符號和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差”。 偶然誤差偶然誤差-在相同的觀測條件下，對某一量進行在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，一系列的觀測，如果誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面上看沒有任何規(guī)律性，為種誤差稱為從表面上看沒有任何規(guī)律性，為種誤差稱為“偶然誤差偶然誤差”。 35 系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響顯著，應盡可能地加系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的影響顯著，應盡可能地加以改正、抵消或削弱。對情況不明的系統(tǒng)誤差，以改正、抵消或削弱。對情況不明的系統(tǒng)誤差，采用不同時間的多次觀測。采用不同時間的多次觀測。 消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法：消除系統(tǒng)誤差的常用的有效方法： 檢校儀器：檢校儀器： 求改正數(shù)