阿氏圓(2018中考數(shù)學壓軸熱點)

1、阿氏圓模型專題訓(xùn)練阿氏圓(阿波羅尼斯圓)：平面上兩定點A、B,那么所有滿足PA/PB=k(k不等于1)的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先 由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓。在初中的題目中往往利用逆向思維構(gòu)造"斜A"型相似(也叫"母子型相似"或"美人魚相似")+兩點間線段最短解決帶系數(shù)兩線段之和的最值問題。觀察下面的圖形，當P在在圓上運動時，PA PB的長在不斷的發(fā)生變化，但它們的比值卻始終保 持不變。解決阿氏圓問題，首先要熟練掌握母子型相似三角形的性質(zhì)和構(gòu)造方法。如圖，在 ABC的邊AC上找一點D,使得 AD/AB=AB/AC

2、那么此時 ABDACB母子型相似(共角共邊)%.B-D-' 一那么如何應(yīng)用"阿氏圓"的性質(zhì)解答帶系數(shù)的兩條線段和的最小值呢 ？我們來看一道基此題目：/ ACB=90，CB=4,CA=6© C半徑為2，P為圓上一動點.1(1)求AP BP的最小值為21求AP BP的最小值為3實戰(zhàn)練習：1、O O半徑為1, AC BD為切線，AC=1 BD=2 P為弧A試求' 2 PC PD的最小值22、點AC的最小值3、點(1) 1AP4A (4, 0), B (4, 4),點P在半徑為2的OO上運動，試求丄AP2 點，且OOC與y軸相切,A(-3,0) ，B (0

3、,3 )，C (1,0 )，假設(shè)點 P 為。C 上-BP的最小值;(2) Spab的最小值.Z廠xoy中O半°O“B4、如圖1，在平面直角坐線，AD=2 BC=7.(1)求OD勺長；(2)如圖2,假設(shè)點P是半。0上的動點，Q為OD的中點.連接PO PQ. 求證： OPGA ODP; 是否存在點P,使PD2PC有最小值，假設(shè)存在，試求出點 P的坐標;軸與點A、B(2,0)兩點，AD BC均為半。O的切假設(shè)不存在，請說明理由5、( 1)如圖1,正方形ABC的邊長為4,圓B的半徑為2,的最小值和pdJpc的最大值.°卜 如圖2,正方形ABC啲邊長為9,圓B的半徑為I I、動丿力點

4、，求PD +丄PC2dX點P是圓B上的一個B 1 A2的最小值為；PD -PC的最大值為3(3)如圖3,菱形ABCD勺邊長為4,/ B=60 ,圓B的半徑為2點P是圓B上的一個動點.11那么PD ' PC的最小值為；PD - 1 PC的最大值為22穩(wěn)固練習：1、如圖，在 Rt ABC中, /ACB= 901BP, AP+-BP最小值為()2、37B 62、如圖，在 ABC中,0動點，貝U PA的最小值是.,CB= 4, CA 6,圓C半徑為2, P為圓上一動點，連接 AP,AD-',f JBf 嚴,AB= CB= 2,以點B為圓心作圓B與AC相切，點P為圓B上任3、4、如圖，菱

5、形ABCD勺邊長為2,銳角大小為60°, OA與BC相切于點E,在。A上任取一點P,PB沁3 PD的最小值為.2在平面直角坐標系中,A (2 , 0) , B (0 , 2), C(4 , 0) , D(3 , 2), P是厶AOB外部的第一象限內(nèi)一動點,且/ BPA= 135° .那么2PD+ PC的最小值是.5、( 1)如圖1,正方形AB1 矗的最小值和PD -PC的最大值2D的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，求PD - PC2(2)如圖2,正方形I ABCD勺邊長為申,圓勺半徑為6,點P是圓B上的一個動點，求PD PC3的最小值和PD -2PC的最大

6、值.3菱形ABCD勺邊長為4 , / B= 90° 圓B的半徑為,2，點P是圓B上的一個動點, 1的最小值和PD - -PC的最大值.2(3)如圖3,1求 PD PC2圖1圖2圖3套路總結(jié)阿氏圓根本解法：構(gòu)造相似阿氏圓一般解題步驟：PC kPD第一步：連接動點至圓心0(將系數(shù)不為1的線段的兩個端點分別與圓心相連接)，貝堆接OP OD 第二步：計算出所連接的這兩條線段 OP 0D長度；第三步：計算這兩條線段長度的比OPOD第四步：在0D上取點M,使得OM =m ;OP第五步：連接CM與圓o交點即為點P.1.如圖，在Rt ABC中，/ ACB=90 , CB=4 CA=6 O C半徑為2 ,