圓冪定理和托勒密定理

1、板塊1.圓哥定理例1.如圖，AB為圓。的直徑,PA=3, PD : DB = 9 ： 16,則PA為圓O的PD =切線，PB與圓O相交于D.若;AB=.CT交于點(diǎn)D, CD=2 ,例2如圖，PT切。于點(diǎn)T, PA交。于A、B兩點(diǎn)，且與直徑AD=3 , BD=6 ,求 PB 的值.例3自圓O外一點(diǎn)P引圓的一條切線 PA,切點(diǎn)為A, M為PA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) M引圓的割 線交圓于 B, C兩點(diǎn)，且/ BMP = 100°, / BPC=40°.求/ MPB的大小.例4如圖，在平行四邊形 ABCD中，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓交 AD于點(diǎn)E,且與CD相切,若AB=4 , BE=5 ,求DE

2、的長(zhǎng)例5 如圖所示，已知 PA與。相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，弦CD/AP, AD、BC相交于E點(diǎn)，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且 DE2=EFEC.(1)求證：/ P=/EDF;(2)求證：CEEB=EFEP;若 CE : BE=3 : 2, DE = 6, EF=4,求 PA 的長(zhǎng).例6如圖， ABC內(nèi)接于。O, AB是/ O的直徑，PA是過(guò)A點(diǎn)。O的切線，弦CD交AB 于 E, CD 的延長(zhǎng)線交 PA 于 F, AC=8 , CE : ED=6 : 5, AE : BE=2 : 3,求 AB 的長(zhǎng).練習(xí):1.如圖,PT是。的切線，T為切點(diǎn)，PB是。的割線，交。于A、B兩點(diǎn)，交弦 CD已知 CM=1

3、0 , MD=2 , PA=MB=4 ,則 PT 的長(zhǎng)為2.如圖,PAB、PCD 為。的兩條割線，若 PA=5, AB=7 , CD=11 ,貝U AC: BD=3.如圖,AB是。的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)， CD是。的切線,D為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作。O的切線交CD于點(diǎn)F,若AB=CD=2 ,則CE=(第IK)逸I第3咽4.如圖，AB是。的直徑，弦CD_LAB,垂足為E, P是BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，連結(jié)PC交。O 于F ,如果PF =7, FC =13 ,且PAAE EB241那么CD的長(zhǎng)是5.如圖，BC是半圓。的直徑,的延長(zhǎng)線上，AB與半圓交于D,6.如圖，O O的弦AB平分半徑OC,交OC于P點(diǎn)

4、,方程x2 -12x +24 =0的兩根，則此圓的直徑為 (B. 6d2C. 4G 27.如圖，BCBC于點(diǎn)D.若/ B=30 °已知PA、PB的長(zhǎng)分別為且 AB=8, AE =2 ,EF _L BC 于點(diǎn) F ,是半圓的直徑，。為圓心，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA切半圓于點(diǎn),問(wèn)AB與AP是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)若 BD: DC=4: l,且 BC = 10,求 PC 的長(zhǎng).A, AD ±(2)求證：PD PO=PC PB;8.如圖， ABC中，/ C=90°，。為AB上一點(diǎn)，以。為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)E,與AC相切于點(diǎn)BC=9.如圖，已知 A、B

5、、C、D在同一個(gè)圓上,AC=8 , CD=4 ,且線段BE、ED為正整數(shù)，則BD=BC=CD , AC與BD交于E,若D,已知AD=2 , AE=1 ,那么10.如圖，P是半圓O的直徑BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA切半圓于點(diǎn) A, AH，BC 于 H,若 PA=1 , PB+PC= a ( a >2),貝U PH=( )B.C.D.11.如圖， ABC是OO的內(nèi)接正三角形，弦 EF經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D,且EF / AB ,若 AB=2 ,貝U DE 的長(zhǎng)為(C.D. 112.如圖，PA、PB是。的兩條切線,PEC是一條割線，D是AB與PC的交點(diǎn)，若PE=2,CD=1 ,求DE的長(zhǎng).板塊2.托勒密定理

6、托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和.口口 設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有：AB CD +AD BC = AC BD ；定理：在四邊形 ABCD中，有：AB CD + AD BC > AC BD 并且當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD內(nèi)接于圓時(shí)，等式成立；例1. 如圖，在 ABC中，/A的平分線交外接/圓于D,連結(jié)BD,求證:AD BC=BD(AB + AC).例 2.已知 a、b、cMAABC 的三邊，且 a2=b(b + c),求證：/ A=2/B.例 3 在4ABC 中，已知/ A ： / B ： / C=1 ： 2 ： 4,求證:1 1 1- + = AB AC BC2.過(guò)圓外一點(diǎn)圓于C、例 4 若 a、b、x、y 是實(shí)數(shù)，且 a2+b2=1, x2+y2=1.求證：