待定系數(shù)法求推數(shù)列通項公式(共12頁)

1、第 12 頁 共 12 頁 最全的待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項 用待定系數(shù)法求遞推數(shù)列通項公式初探 摘要: 本文通過用待定系數(shù)法分析求解9個遞推數(shù)列的例題，得出適用待定系數(shù)法求其通項公式的七種類型的遞推數(shù)列，用于解決像觀察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂項相消法和公式法等不能解決的數(shù)列的通項問題。關鍵詞:變形 對應系數(shù) 待定 遞推數(shù)列 數(shù)列在高中數(shù)學中占有重要的地位，推導通項公式是學習數(shù)列必由之路，特別是根據(jù)遞推公式推導出通項公式，對教師的教學和學生的學習來說都是一大難點，遞推公式千奇百怪，推導方法卻各不相同，靈活多變。對學生的觀察、分析能力要求較高，解題的關鍵在于如何變形。常見的方法有觀察法、公式

2、法、迭乘法、迭加法、裂項相消法和公式法。但是對比較復雜的遞推公式，用上述方法難以完成，用待定系數(shù)法將遞推公式進行變形，變成新的數(shù)列等差數(shù)列或等比數(shù)列。下面就分類型談談如何利用待定系數(shù)法求解幾類數(shù)列的遞推公式。一、 型（為常數(shù)，且）例題1.在數(shù)列中，,試求其通項公式。分析：顯然，這不是等差或等比數(shù)列，但如果在的兩邊同時加上1，整理為，此時，把和看作一個整體，或者換元，令，那么，即，因此，數(shù)列或就是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，或者，進一步求出。啟示：在這個問題中，容易看出在左右兩邊加上1就構(gòu)成了新的等比數(shù)列，那不易看出在左右兩邊該加幾后構(gòu)成新的等比數(shù)列時，該怎么辦呢？其實，已知，可變形為的形

3、式，然后展開括號、移項后再與相比較，利用待定系數(shù)法可得。這樣，對于形如（其中為常數(shù)，且）的遞推數(shù)列，先變?yōu)榈男问剑归_、移項，利用待定系數(shù)法有 ，即 則數(shù)列首項為等比數(shù)列 因此，形如這一類型的數(shù)列，都可以利用待定系數(shù)法來求解。 那么，若變?yōu)?是關于非零多項式時，該怎么辦呢？是否也能運用待定系數(shù)法呢？二 型例題2.在數(shù)列中，,試求其通項公式。分析：按照例題1的思路，在兩邊既要加上某一常數(shù)同時也要加上n的倍數(shù)，才能使新的數(shù)列有一致的形式。先變?yōu)椋归_比較得 進一步 則數(shù)列是的等比數(shù)列，所以 ，同樣，形如的遞推數(shù)列，設展開、移項、整理，比較對應系數(shù)相等，列出方程解得 即則數(shù)列是以為首項，以p為公比的

4、等比數(shù)列。于是就可以進一步求出的通項。 同理，若其中是關于n的多項式時，也可以構(gòu)造新的等比數(shù)列，利用待定系數(shù)法求出其通項。比如當=時，可設 展開根據(jù)對應系數(shù)分別相等求解方程即可。 為n的三次、四次、五次等多項式時也能用同樣的思路和方法進行求解。 而如果當是n的指數(shù)式，即時，遞推公式又將如何變形呢？三 例題3.在數(shù)列中，,試求其通項。分析1：由于與例題1的區(qū)別在于2n是指數(shù)式，可以用上面的思路進行變形，在兩邊同時加上變?yōu)榧?則數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，則 分析2：如果將指數(shù)式先變?yōu)槌?shù)，兩邊同除 就回到了我們的類型一。進一步也可求出。例題4.在數(shù)列中，,試求的通項。分析：若按例題3的思

5、路2，在兩邊同時除以，雖然產(chǎn)生了、，但是又增加了，與原式并沒有大的變化。所以只能運用思路1，在兩邊同時加上10整理 進一步 則數(shù)列是首項為15，公比為3的等比數(shù)列 即 啟示：已知數(shù)列的首項，1） 當,即由例題3知，有兩種思路進行變換，利用待定系數(shù)法構(gòu)造首項和公比已知或可求的等比數(shù)列。思路一：在兩邊同時除以，將不含的項變?yōu)槌?shù)，即 為前面的類型一，再用類型一的待定系數(shù)法思想可得數(shù)列最終求解出的通項。思路二：在兩邊同時加上的倍數(shù)，最終能變形為對應系數(shù)相等得 ，即即 求出數(shù)列的通項，進一步求出的通項。2） 當時，即由例4可知只能在選擇思路二，兩邊既要加的倍數(shù)，也要加常數(shù)，最終能變形為比較得x，y的方

6、程組 于是 求出數(shù)列的通項，進一步求出的通項。四：其中可以為常數(shù)、n的多項式或指數(shù)式）以=0為例。例題5.在數(shù)列中，,試求的通項。分析：這是三項之間遞推數(shù)列，根據(jù)前面的思路，可以把看做常數(shù)進行處理，可變?yōu)?，先求出?shù)列的通項 然后利用累加法即可進一步求出的通項。 對于形如的遞推數(shù)列，可以設展開，利用對應系數(shù)相等，列方程 于是數(shù)列就是以為首項，y為公比的等比數(shù)列，不難求出的通項進一步利用相關即可求出。 同理，當為非零多項式或者是指數(shù)式時，也可結(jié)合前面的思路進行處理。問題的關鍵在于先變形 然后把看做一個整體就變?yōu)榱饲懊娴念愋?。五：型，為正項?shù)列例題6.在數(shù)列中，試求其通項。分析：此題和前面的幾種類型

7、沒有相同之處，左邊是一次式，而右邊是二次式，關鍵在于通過變形，使兩邊次數(shù)相同，由于，所以可聯(lián)想到對數(shù)的相關性質(zhì)，對兩邊取對數(shù)，即 就是前面的類型一了，即 變形得 對于類似的遞推數(shù)列，由于兩邊次數(shù)不一致，又是正項數(shù)列，所以可以利用對數(shù)性質(zhì)，兩邊同時取對數(shù)，得 然后就是前面的類型一了，就可以利用待定系數(shù)法進一步構(gòu)造數(shù)列為已知首項和公比的等比數(shù)列了。求出最終就可以得出的通項。 同樣，如果將中的p換為指數(shù)式時，同樣可以利用相同的方法。即：兩邊取對數(shù) 變?yōu)轭愋投?即可進一步得出的通項。 以上是一些整式型的遞推數(shù)列通項公式的求解，接下來再看看比較復雜的分式型遞推數(shù)列。六：例題7.在數(shù)列中，試求其通項。分析

8、：這是一個分式型數(shù)列，如果去分母變?yōu)楹缶蜔o法進行處理了。兩邊同時取倒數(shù) 就是前面的類型一了。 所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，不難求出 例題8.在數(shù)列中，試求其通項。分析：此題比例題7的區(qū)別多了常數(shù)項，兩邊取倒 左右兩邊與并不一致。但可以對照例題7的思路，取倒數(shù)之后分母會具有一致的結(jié)構(gòu)，根據(jù)等式和分式的性質(zhì)，我們可在兩邊同時加上某一常數(shù)，整理：此時如果，那么遞推式左邊和右邊分母就一致了。解方程得因此 此時可選擇其中一個遞推式按照例題7的方式進行處理，這里選擇，兩邊取倒 回到了類型一 根據(jù)類型一的方法易求出： 現(xiàn)在我們將兩式相比： 則數(shù)列是我已知首項和公比的等比數(shù)列，進一步化簡求出。 通過

9、以上兩個例題可知，形如這一類型的遞推數(shù)列，對學生的綜合能力要求較高。1、如果右邊分子缺常數(shù)項，即，那么直接對兩邊取倒數(shù)即可得： 此時，若，那就是我們熟悉的等差數(shù)列，若，那就是前面的類型一用待定系數(shù)法求解。2、 若，就需要先變形，使左邊和右邊分子結(jié)構(gòu)一致。兩邊同時加上某一個常數(shù)() 然后令，解出的值。而另一種思路是直接設變形之后為 然后展開，根據(jù)對應項系數(shù)相等得二元方程組 求出。 兩種思路都是解的一元二次方程，設其解為。 若時，那就只能利用例題7的方法，兩邊取倒數(shù)，部分分式整理即可轉(zhuǎn)變?yōu)轭愋鸵弧?最終求出。 當時，可以選擇其中的一個按照上面的方式進行求解，但是此時計算量頗大，于是直接將兩式相比得

10、： 所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列。進一步求出。七：例題9.在數(shù)列中，試求其通項。分析：本題屬于分式非線性遞推式，與類型五又有相似之處，所以我們可以結(jié)合類型五、六的思路，進行變換：兩邊同時加上某個常數(shù)，設最終變?yōu)椋?與原式比較，對應系數(shù)相等，得 解方程得 即有： 對單個式子進行處理，無從下手，兩式相比得 然后，兩邊取對數(shù)得： 則數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列。 進一步解得 顯然，按照例題9的思路，形如這一類型的參數(shù)必須滿足一定的條件，所得方程應有兩個不相等的實根?，F(xiàn)在來探討應該滿足哪些條件？設，即： 所以 對應系數(shù)相等得 方程要滿足設方程的兩根為則有 兩式相比得 兩邊取對數(shù)得 數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列。求出的通項再整理一下就得出了的通項，問題就得以解決了。 本文主要是通過例題的分析講解，并進行歸納總結(jié)概括而形成的，是我在平時的學習中，通過平時自己的一些積累和參考其他作者的思路，對用待定系數(shù)法求解遞推數(shù)列的初步探討和認識。例題的深度層層深入，前面的類型是后面的