小學(xué)數(shù)學(xué) 幾何計數(shù)(一).教師版

1、27-8-1 幾何計數(shù)（一）教學(xué)目標(biāo)1. 掌握計數(shù)常用方法；2. 熟記一些計數(shù)公式及其推導(dǎo)方法；3. 根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進行計數(shù)本講主要介紹了計數(shù)的常用方法枚舉法、標(biāo)數(shù)法、樹形圖法、插板法、對應(yīng)法等，并滲透分類計數(shù)和用 容斥原理的計數(shù)思想知識要點一、幾何計數(shù)在幾何圖形中，有許多有趣的計數(shù)問題，如計算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個數(shù)，若干個圖 分平面所成的區(qū)域數(shù)等等這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認(rèn)真分析，還是可以找到一些 處理方法的常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等 n 條直線最多將平面分成11 +2 +3 + +n = ( n +n +2) 個部

2、分；n 個圓最多分平面的部分?jǐn)?shù)為 n(n-1)+2；n 個三角形將平面最多分成23 n(n-1)+2 部分；n 個四邊形將平面最多分成 4n(n-1)+2 部分在其它計數(shù)問題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等解題時需要仔細(xì)審題、 綜合所學(xué)知識點逐步求解排列問題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)；組合問題與各事物所在的先 后順序無關(guān)，只與這兩個組合中的元素有關(guān)二、幾何計數(shù)分類數(shù)線段：如果一條線段上有 n+1 個點(包括兩個端點)（或含有 n 個“基本線段”），那么這 n+1 個點把這條 線段一共分成的線段總數(shù)為 n+(n-1)+2+1 條數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線

3、段相似，線段圖形中的點類似于角圖形中的邊數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形（對應(yīng)法），因為 DE 上有 15 條線段，每條線段的 兩端點與點 A 相連，可構(gòu)成一個三角形，共有 15 個三角形，同樣一邊在 BC 上的三角形也有 15 個，所以圖 中共有 30 個三角形數(shù)長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對于任意長方形（平行四邊形），若其橫邊上共有 n 條線段， 縱邊上共有 m 條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn 個例題精講模塊一、簡單的幾何計數(shù)【例 1】 七個同樣的圓如右圖放置，它有_條對稱軸1【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，六年級，初

4、賽，試題【解析】 如圖：6 條【答案】 6 條【例 2】 下面的表情圖片中： ，沒有對稱軸的個數(shù)為（ ） （A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】選擇【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 1 題【解析】 通過觀察可知，第 1，2，5 這三張圖片是有對稱軸的，其他的 5 張圖片都沒有對稱軸，所以沒有對 稱軸的個數(shù)為 5，正確答案是 C?！敬鸢浮?C【鞏固】 中心對稱圖形是：繞某一點旋轉(zhuǎn) 180°后能和原來的圖形重合的圖形，軸對稱圖形是：沿著一條直線 對折后兩部分完全重合的圖形，圖的 4 個圖形中，既是中心對稱圖形又是的軸對稱圖形的有 個?！究?/p>

5、點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試，第 7 題【解析】 共有 3 個，除第二個外其余都是?！敬鸢浮?3 個【例 3】 兩條直線相交所成的銳角或直角稱為兩條直線的“夾角”。現(xiàn)平面上有若干條直線，它們兩兩相交， 并且“夾角”只能是 30°，60°或 90°。問：至多有多少條直線？【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第 12 題【解析】 至多有 6 條直線，如圖：【答案】 6 條【例 4】 下圖是王超同學(xué)為"環(huán)境保護專欄"設(shè)計的一個報頭，用到基本的幾何圖形：線段

6、、三角形、四邊 形、圓、弧線，其中用得最多的一種圖形是_ ?！究键c】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第 9 題【解析】 觀察圖形發(fā)現(xiàn)是：線段最多【答案】線段最多2222【例 5】 下面的 5 ´5 和 6 ´4 圖中共有_個正方形【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 在 5 ´5 的圖中，邊長為 1 的正方形 52個；邊長為 2 的正方形 42個； 邊長為 3 的正方形 32個；邊長為 4 的正方形 22個；邊長為 5 的正方形有1，總共有 52+42+3+22+1=55 (個)正方形在 6 &

7、#180;4的圖中邊長為 1 的正方形 6 ´4 個；邊長為 2 的正方形 5 ´3 個； 邊長為 3 的正方形 4 ´2 個；邊長為 4 的正方形 3 ´1 個；總共有 6 ´4 +5 ´3 +4 ´2 +3 ´1 =42 (個)【答案】 42 個【鞏固】 請看下圖，共有多少個正方形？【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】【解析】 假設(shè)最小的正方形邊長為 1，則面積為 1 的正方形有 9 個；面積為 4 的正方形有 4 個；面積為 16 的 正方形有 1 個因此共有 9+4+1=14 個【

8、答案】 14 個【鞏固】 如下圖是一個圍棋盤，它由橫豎各 19 條線組成問：圍棋盤上有多少個右圖中的小正方形一樣的正 方形？【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第 15 題【解析】 我們先在右圖小正方形中找一個代表點，例如右下角的點 E 作為代表點然后將小正方形按題意放 在圍棋盤上，仔細(xì)觀察點 E 應(yīng)在什么地方通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：（1） 點 E 只能在棋盤右下角的正方形 ABCD（包括邊界）的格子點上（2） 反過來，右下角正方形 ABCD 中的每一個格子點都可以作為小正方形的點 E，也只能作為一 個小正方形的點 E這樣一來，就將“小正方形的個數(shù)”化

9、為“正方形 ABCD 中的格子點個數(shù)”了很容易看出正方形 ABCD 中的格子點為 10×10100 個3222答：共有 100 個。【答案】 100 個【例 6】 下圖中共有_個正方形【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 每個 4 ´4 正方形中有：邊長為 1 的正方形有 42個；邊長為 2 的正方形有 32個； 邊長為 3 的正方形有 22個；邊長為 4 的正方形有1個；總共有 42+3+22+1=30 (個)正方形現(xiàn)有 5 個 4 ´4 的正方形，它們重疊部分是 4 個 2 ´2 的正方形因此，圖中正方形的個數(shù)是 30

10、80;5 -5 ´4 =130 【答案】 130【例 7】 圖中有_個正方形【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 5 ´5 的正方形 1 個； 4 ´4 的正方形 4 個； 3 ´3 的正方形 5 個；2 ´2 的正方形 4 個；1 ´1 的正方形 13 個共 27 個【答案】 27【鞏固】 數(shù)一數(shù)：圖中共有_ 個正方形?！究键c】簡單的幾何計數(shù) 【難度】3 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第 10 題【解析】 按面積從小到大 4+17+9+4+1=35 個【答案】 35 個【鞏固】 圖中共有個

11、正方形?！究键c】簡單的幾何計數(shù) 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，4 年級，決賽，第 7 題【解析】 設(shè)最小正方形的邊長為 1 ，那么邊長為 1 的正方形有 2 個，邊長為 2 的正方形有 6 個，邊長為 4 的正4方形有 5 個，邊長為 8 的正方形有 2 個，邊長為12 的正方形有 1 個，邊長為16 的正方形有 1 個，所以 總共有 2 +6 +5 +2 +1 +1 =17 （個）?！敬鸢浮?17 個【例 8】 下圖中共有_個正方形?！究键c】簡單的幾何計數(shù) 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，初試，4 題【解析】 分類計算邊長為 1 的正方形有 12 個；長

12、為 2 的正方形有 1 個；邊長為 3 的正方形有 4 個；邊長為 4 的有 1 個；邊長為 1 個對角線的有 1 個；邊長為 2 個對角線的有 1 個；所以一共有：12 +1 +4 +1 +1 +1 =20 （個）【答案】 20 個【鞏固】 圖 1 中共有 個正方形?！究键c】簡單的幾何計數(shù) 【難度】3 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試，第 12 題【解析】 5+4+1+5+4+1=20【答案】 20 個【例 9】 圖中共有多少個長方形？【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】解答【解析】 利用長方形的計數(shù)公式：橫邊上共有 n 條線段，縱邊上共有 m 條線段，則圖中共有

13、長方形（平行四 邊形）mn 個所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100【答案】 100【例 10】 數(shù)一數(shù)，下邊圖形中有個平行四邊形【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級，初試，4 題【解析】 本題是一道幾何計數(shù)問題,應(yīng)不漏不重地按規(guī)律去數(shù),每相鄰兩個三角形可組成一個平行四邊形 ,共計 6 個.【答案】 6 個【例 11】 圖 5 中有個平行四邊形。5【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4 年級，1 試【解析】 12+8+3=23【答案】 23【例 12】 如右圖中共有 7 層小三角形，求白色小三角形

14、的個數(shù)與黑色小三角形的個數(shù)之比。1234567【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第 10 題（1 +6）´6 （1 +7）´7【解析】 白色小三角形個數(shù)126 21，黑色小三角形個數(shù)1 十 272 221 3 328，所以它們的比 ，白色與黑色小三角形個數(shù)之比是 .28 4 4【答案】34【例 13】 如圖，由小正方形構(gòu)成的長方形網(wǎng)格中共有線段_條?！究键c】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，一試，第 8 題【解析】 橫的有 5×(1+2+3+4+5)=75 條，豎的有 6×(

15、1+2+3+4)=60 條，一共 135 條 【答案】 135 條【例 14】 圖中線段的條數(shù)比三角形的個數(shù)多 ?！究键c】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，2 年級，第 6 題【解析】 通過比較發(fā)現(xiàn)，線段的條數(shù)比三角形的個數(shù)多的正好是 6 條斜邊。 【答案】 6【例 15】 右圖中共有個三角形?！究键c】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級，決賽，第 6 題6【解析】 由 1 個，2 個，3 個，4 個，6 個，8 個小三角形組成的三角形分別有：8，7，4，3，1，1 個，也即 一共有 8+7+4+3+2=24 個?！敬鸢浮?4【例

16、 16】 如圖 AB，CD，EF，MN 互相平行，則圖中梯形個數(shù)與三角形個數(shù)的差是多少?ABCDEF【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】3 星 【題型】解答【解析】 圖中共有三角形（1+2+3+4）×4=40 個梯形（1+2+3+4）×（2+4）=60；所以梯形比三角形多 60-40=20 個【答案】 20 個【例 17】 右邊三個圖中，都有一些三角形，在圖 A 中，有 _個；在圖 B 中，有_個；中圖 C 中， 有_ 個。A B C【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4 年級，1 試【解析】 圖 A 5 個; 圖 B 8 個; 圖 C 5 個

17、【例 18】 請看下圖，共有多少個三角形？【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】填空【解析】 獨立的三角形有 7 個，由 4 個三角形組成的三角形有 1 個，加上最大的三角形，因此共有 7+1+1=9 個三角形【答案】 9【例 19】 右圖中共有個三角形【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】2 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，2 題【解析】 分類枚舉得到：邊長是1 個單位長度的有 12 個三角形；邊長是 2 個單位長度的有 6 個三角形 邊長是 3 個單位長度的有 2 個三角形7共有 12 +6 +2 =20 （個）【答案】 20 個【例 20】 右圖中三角形共有個【考點

18、】簡單的幾何計數(shù) 【難度】4 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級，初賽，4 題【解析】 不可分割的三角形有 7 個由 2 個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 6 個 由 3 個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 4 個 由 5 個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 2 個 由 7 個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有1 個 一共有三角形 7 +6 +4 +2 +1 =20 個【答案】 20 個【鞏固】 數(shù)一數(shù)圖中有_個三角形【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】4 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3 年級，初賽，第 14 題【解析】 分類枚舉，只由一個三角形構(gòu)成的有 6 個，由兩個小三角形組合而成的三角形有 3 個。由三個小三 角形組合而成的三角形有 3 個，所以一共有 6 +3+3=12 （個）。【答案】 12 個【鞏固】 數(shù)一數(shù)，圖中有_個三角形。【考點】簡單的幾何計數(shù) 【難度】4 星 【題型】填空 【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，二試，第 9 題【解析】 10 個【答案】 10 個【例 21】