專題34圓錐曲線綜合應(yīng)用-考點分析與性講練

1、2019年高考數(shù)學(xué)(理)考點分析與突破性講練34圓錐曲線綜合應(yīng)用一、考綱要求：1. 掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法:2. 了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用：3. 理解數(shù)形結(jié)合的思想.二、概念掌握和解題上注意點：1. 判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去x或y , 判斷該方程組解的個數(shù)，方程組有幾組解，直線與圓錐曲線就有幾個交點.但應(yīng)注意兩點：1) .消元后需要討論含丘 或/項的系數(shù)是否為0.2) 重視“判別式4”起的限制作用.2. 對于選擇題、填空題，要充分利用幾何條件，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法直觀求解，優(yōu)化解 題過程.3. 處理中點弦問題的常用方法1) .點

2、差法：即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有 匕+力 戶+北，匕三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即& X：可求得斜率.2) .根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，將英轉(zhuǎn)化為一元二次方程后由根與 系數(shù)的關(guān)系求解.三. 高考考題題例分析兀2例1(2017 全國卷I)設(shè)A, B為曲線C： y=±兩點，A與B的橫坐標(biāo)之和為4(1) 求直線的斜率，(2) 設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線平行，且AM丄求直線AB 的方程.【答案】(1)1： (2)y=x+7【解析】(1)設(shè)川(X】,2),驅(qū),防則0#=乂，加=芋，片=芋

3、，*】+*2=4,干是直線加的斜率迸犬=寧勺由X2y=r得心.設(shè)城®妙由題設(shè)知號=1,解得左=2于是?42；1）.設(shè)直線且8的方程為y=x+?w»枚線段A3的中點為.p；2+ w）, 心：=丹+1 .將 v=x+ m 代入：=亍得 /4x4wi=i.當(dāng)*=16（加+L）0,即加一1時，心=2±2心+1.從而45 =邁區(qū)】_忑=4竝卄1）.由題設(shè)知AB =2沁= 即4寸2仙十1）=2（加十1> 解得?i=7. 所以直線AB的左程為丁=乂+7例2. （2017浙江高考）如圖，已知拋物線W=y,點乂一扌，£）,磅，拋物線上的1 3點Pg y）-<v

4、<jil點3作直線AP的垂線，垂足為0（1）求直線AP斜率的取值范1樸 求PA-PQ的最大值.27 【答案】（1）（一 1,1）： （2）花【解析】（1）設(shè)直線AP的斜率為匕xi-Q+4K+32 伙 2+1)聯(lián)立直線AP與BQ的方程PQ = l+k2(XQ-X)=仗一 1）伙+1）23因為一亍所以直線AP斜率的取值范用是（一 1）解得點Q的橫坐標(biāo)是p=因為 I加=/ +疋卜+*）=71 +q（r+ i），所以I用lIPQI= 伙一 1)伙+ 1)3.令.代 k)=(k 1)伙 + Ip,因為f 伙)=一(4£一2)伙+1)2, 所以用)在區(qū)間(一1,扌)上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)，1)上單

5、調(diào)遞減，因此當(dāng)心時，77IB4IIPQI取得最大值祜8設(shè)過點P%刃的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于兒B兩點,點Q與點P關(guān)于y軸對稱，0為坐標(biāo)原點.若菇=2顧，且OQ AB=9則點P的軌跡方程是 () 3A.尹2+3尸=1儀>0, y>0)B |x2-3y2=l(x>0, y>0)3 .C 3x22，v2：=1(x>0> y>0)3D 3/+y2=i(x>o, y>0)【答案】A【解析】設(shè)執(zhí)a,Q), B(Q, b), a>Q, b>Q.由弟=2應(yīng)，得(x, y-b)=2a-x, -j),=|a>0, b=3y&g

6、t;0.即茄=_*, 3y ,點 0( x, f),故由 0Q AB= 1,得越 y)-' 一尋，3j： ；=1»即*+3嚴(yán)=1故所求的軌述方程為|a-+332=1(x>05廬0)9.已知直線/： y=2x+3被橢圓C： £+£=l(“>b>0)截得的弦長為7,則下列直線中被橢圓C截得的弦長一左為7的有®y=2x-3：y=2x+l： y=-23：y=_2x+3B. 2條D. 4條A1條C. 3條 【答案】C宜線y=2x3與直線/關(guān)于x軸對稱,【解析】直線y=2丫一3與直線/關(guān)于原點對稱，直線y= 2x+3與宜線I關(guān)于y軸對稱，故

7、有3條直線被橢圓C截得的弦長一泄為7.2 210. 已知橢圓E：荒=1(“">0)的右焦點為F(30),過點F的直線交E于久B兩點.若AB的中點坐標(biāo)為(1, 一 1),則E的方程為A.兀2 y218+9 = 1B.C空+疋_1D蘭+疋_1© 36十27一1D 45 + 36_1【答案】A【解析】因為直線AB過點F(3.0)和點(1, 一 1),所以宜線初的方程為y=|(x-3),代入橢 圓方程存£=1消去V，得-|屆+務(wù)2一局2=o,3 、2cr所以AB的中點的橫坐標(biāo)為 _ =1,即加=2只又0=滬+乩 所以b=c=3a2問)=3®所以E的方程為&

8、#163;+£=】2 211. 已知兩定點A(0, 一2), B(0,2),點P在橢圓器+話=1上,且滿足麗I一麗=2,則喬麗 為()A. 一 12B. 12C 一9D. 9【答案】D【解析】由方一BP=2,可得點Pg抽的軌跡是以兩定點也£為焦，點的雙曲銭的上支, 且2a=2, c=2,=屁點P的軌逝分程為)>-|= 1(31).解也:.AP-BP= v+2)-(x, v-2)=x2+>2-4=9+4-4=9.12. 拋物線C的頂點為原點，焦點在x軸上，直線x-y=0與拋物線C交于A, B兩點.若P(l,l)為線段AB的中點，則拋物線C的方程為()A. y=2x

9、2B)£=2xC x2=2yD /=Zv【答案】B【解析】設(shè)A(xP N), Bg y2)>拋物線方程為=2px,則吁嚴(yán)兩式相減可得勿 lyi=2px2t=衛(wèi)于4+比)=燈2=2,即可得=1, 拋物線C的方程為尸=2兒 I 勺二、填空題13. 已知傾斜角為60。的直線/通過拋物線a-2=4v的焦點，且與拋物線相交于A, B兩點,則弦AB的長為【答案】16【解析】直線/的方程為由(，一厶得尸一14$+1=0.設(shè) A(xi, y)» Bg 肋,則 yi+y2=14,L4BI=yi +>'2+= 14+2=16 14. 已知(4,2)是直線I被橢圓命+普=1所

10、截得的線段的中點，則I的方程是.【答案】卄2y-8=0【解析】設(shè)直線/場橢圓相交于J(xi，yi)» £優(yōu)2，js) 磴+滬或仔打兩式相減磚孟=4iti +：）又 X +x2=S?加+：=4,所吧釜H，故直線方程為廠2=-扣-4),即X+2JA0.15.已知橢圓手+$=l(0v/x2)與y軸交于A, B兩點，點F為該橢圓的一個焦點，則ZkABF的面積的最大值為【答案】2【解析】不妨設(shè)點F的坐標(biāo)為心4一滬,0),而lABI=2b,.S.wF=*X2bX<4-快=坯4一b2(/>-+4 "*=M(4f2)W5=2(當(dāng)且僅當(dāng)慶=4 一戸，即b2=2時取等號)

11、，故AABF而積的最大值為2.16.過雙曲線C： 4-=1 (</>0, b>0)的右焦點作一條與英漸近線平行的直線，交C于點P若點P的橫坐標(biāo)為加，則C的離心率為【答案】2+羽【解析】如圖所示，不妨設(shè)與漸近線平行的直線/的斜率為號，又直線/過右焦點F(c,O),則 直線/的方程為y=#(x-c).因為點P的橫坐標(biāo)為2“，代入雙曲線方程得5=1.化簡得y= -書b或)=羽6(點P在X軸下方，故舍去).故點P的坐標(biāo)為(加，一血), 代入直線方程得一回=如一 c),化簡可得離心率£=沽2+萌因為 L4BI=4 伙 2+1),所以當(dāng)£=0時，線段AB最短,最短長度

12、為4,此時圓的面積最小,最小面積為4九X2220.已知橢圓G下+護=1(“>0),過橢圓C的右頂點和上頂點的直線與圓”+尸=了相切.(1) 求橢圓C的方程：(2) 設(shè)M是橢圓C的上頂點，過點M分別作直線MA, MB交橢圓C于A, B兩點，設(shè) 這兩條直線的斜率分別為k2,且和+灶=2,證明：直線AB過左點.【答案】(1) £+尸=1； (2)見解析【解析】(iy.直銭過點(aO)和(Q1),二査線的左程為x+qy-d=O, ：直線場圓x：+尸=扌相如.命=省辭得宀,橢圓C的方程為曽+=1.(乃證懷 當(dāng)直線總8的斜率不存在吋，設(shè)衛(wèi)仙，E 則5(xd，-vo)，由/+雇=2得二十二&

13、#163;二=2解得xo=-l.當(dāng)直線衛(wèi)方的斜率存在時，設(shè)衛(wèi)£的方程為=肚十加("氓1VI), Bg 脅y=k.x+m=>(1 +2Q)入 2+4 燈 tr+2 臚一 2=0,. 4km2/n22由航+«2=2=>山二_(上* + 加一 1 )X + (戀+ 加 一 1 )恐 _X1X22n 2即(2 2k)xX2=(m I )(.¥i +血)今(22k)(2m22)=(m 1)(4km),即(1 k)(m2 1)=由加Hl,得(1 +1) = km=k=m+ 1,即 y=d+加=(加+1 )x+m=(x+l)=y故直線AB過宦點(一 1,

14、一 1).綜上，直線AB過泄點(一 1. 一 1)21.已知點A, B是橢圓C：訂+荒=l(Qb>0)的左、右頂點，F(xiàn)為左焦點，點P是橢圓上 異于A, B的任意一點.直線AP與過點B且垂直于x軸的直線/交于點M,直線MN丄BP 于點N.(1)求證：直線AP與直線BP的斜率之積為泄值；(2)若直線MN過焦點F, AF=zFB(zGR),求實數(shù)2的值.【答案】見解析：2=4【解析】 證嘰 設(shè)氏m劃土妙 由已如衛(wèi)(一務(wù)0), 0(億03畑=席右二=尋VJ H _ 雋.點P在橢圓上，.'馬=1.arr 2 儀? 一 df j “ 由得走L亍歹=三h2直線HP與直銭BP的斜率之積為定值一二

15、 Or(2)設(shè)直線AP與BP的斜率分別為4炷,由已知F(-c,O),直線AP的方程為y=ki(x+a),直線/的方程為x=a,則M(a,2akx).TMN丄BP, .加皿2= 1.由知 b*2= _務(wù),kMN=* ki.又F, N, M三點共線，得如尸=怎他，即挙=£丘'得 2，=“(“+c).: b2=a2c29/. 2(“2c?)=+ac 化簡整理得 2c2+ac 一 B=0. 即2(沁-1"，解得十=扌或才=-1(舍去).u 2c.由AFkFB» 得(“一g0)=x(u+c,0),將 a=2c 代入，得(c,O)=2(3cO),即 e=32c,22.

16、已知拋物線G的方程為y2=4x，橢圓C?與拋物線C有公共的焦點，且C?的中心在坐 標(biāo)原點，過點M(4,0)的直線/與拋物線G分別交于A, B兩點.(1) 若応=莎，求直線/的方程；(2) 若坐標(biāo)原點O關(guān)于直線/的對稱點P在拋物線G上，直線/與橢圓C2有公共點，求 橢圓C2的長軸長的最小值.【答案】(1)>'=V2.y 一 4&或)，=一伍+4也：(2) 0【解析】 當(dāng)直銭/的斜率不存在時，/丄x軸，£5滬=龐與已知！/=£滋矛盾，所以直 銭/的軒率必存在.設(shè)直線/的斜牟為加肘=0),則直銭I的方程為y=x-4).|V=4r,( L聯(lián)知"消去r,卜=給一4得 h-4v-16=0,所J=16+64>0.設(shè)衛(wèi)( vi)j Bg y2)f 則 卜】+旳=¥，6 鬼因為應(yīng)=1訪，所以(4X, Ti)=|u24, 3-2)»即yi=-.由式消去了】，旳，得解=2，即或A邁， 故直銭/的方程為y=flx42或$=雄+4詵.設(shè)戶伽，")，則OP的中點為(罕瓠因為O, P兩點關(guān)于直線y=k(x-4)對稱，解得8QTTP1