1空間向量及其運(yùn)算

1、3. 1.1空間向量及其運(yùn)算(一)教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：1空間向量；2相等的向量；3空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律；能力目標(biāo)：1理解空間向量的概念，掌握其表示方法；2會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；3能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問題.德育目標(biāo)：學(xué)會(huì)用發(fā)展的眼光看問題，認(rèn)識(shí)到事物都是在不斷的發(fā)展、進(jìn)化的，會(huì) 用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待事物.教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律.教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用向量解決立體幾何問題. 教學(xué)方法：討論式.教學(xué)過程：I 復(fù)習(xí)引入師在必修四第二章平面向量中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面向 量的一些知識(shí)，什么叫 做向量？向量是怎樣表示的呢？

2、生既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有： 用有向線段表示； 用字母a、b等表示； 用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB.師數(shù)學(xué)上所說(shuō)的向量是自由向量，也就是說(shuō)在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進(jìn)行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下.生長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量師學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念以后，我們學(xué)習(xí)了向量的加減以及數(shù)乘向量運(yùn)算:向量的加法：三角形法劃平行(邊畤法則2向量的減法：3實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)入與向量a的積 是一個(gè)向量，記作 七,其長(zhǎng)度 和方向規(guī)定如下：(1) | 冏=| 川 a|(2) 當(dāng)心0時(shí)，淪 與a同向；當(dāng)入v 0時(shí)，掃與a反向;當(dāng)入=0時(shí)，?a

3、= 0.師關(guān)于向量的以上幾種運(yùn)算，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，有哪些運(yùn)算律呢?生向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運(yùn)算律加法交換律：a + b= b+ a加法結(jié)合律：(a+ b) + c= a+( b+ c) 數(shù)乘分配律：Xa + b) = ?a+ %類比地引入空間向量的概念、表師今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎(chǔ)上， 示方法、相同或向等關(guān)系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運(yùn)算的運(yùn)算率，并進(jìn)行 一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本n 新課講授師如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量.例如空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量那么我們?cè)鯓颖硎究臻g向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？生與平面向量一樣，空

4、間向量也用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量.師由以上知識(shí)可知，向量在空間中是可以平移的.空間任意兩個(gè)向量都可以用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示因此我們說(shuō)空間任意兩個(gè)向量是共面的 .師空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？生空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運(yùn)算一樣：OBOAAB =a+ b,ABOBOP師/aOA空間向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運(yùn)算律呢？請(qǐng)大家驗(yàn)證這些運(yùn)算律.生空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運(yùn)算律：加法交換律：a + b = b + a;加法結(jié)合律：（a + b） + c =a + （ b + c）；（課件驗(yàn)證）數(shù)乘分配律： /a

5、 + b）=入a+入b.師空間向量加法的運(yùn)算律要注意以下幾點(diǎn)：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的 向量.即：Ai A2A2 A3A3 A4AniAn AAn因此，求空間若干向量之和時(shí)，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量.首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量即：A AA2A3A3A4An lAn AnA兩個(gè)向量相加的平行四邊 形法則在空間仍然成立. 因此，求始點(diǎn)相同的兩個(gè)向量之和時(shí)，可以考慮用平行四邊形法則.例1已知平行六面體 ABCD A'B'C'D'（如圖），化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式, 并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：1 A

6、B BC; AB AD AA' AB AD 一 CC'21(AB AD AA').3說(shuō)明：平行四邊形 ABCD平移向量a到A' B' C勺軌跡所形成的幾何體，叫 做平行六面體記作 ABCDA' B' C D'平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱.4111A說(shuō)明：由第2小題可知，始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)這是平面向量加法的平向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量, 行四邊形法則向空間的推廣.例2、如圖中，已知點(diǎn) 0是平行六面體 ABCD AiBiCiDi體對(duì)角

7、線的交點(diǎn)，點(diǎn) P是任意一點(diǎn)，則32十兩+戶己十瓦十兩十兩+ pq = 83AB10分析:將要證明等式的左邊分解成兩部分：一上十'一 一一-一與心 1 ' i ,第一組向量和中各向量的終點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCD，第二組向量和中的各向量的終點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形 AiBiCiDi，于是我們就想到了應(yīng)該先證明:4血與兩+陌+亦-'將以上所述結(jié)合起來(lái)就產(chǎn)生了本例的證明思路.解答：設(shè)E, Ei分別是平行六面體的面 ABCD與AiBiCiDi的中心，于是有兩十屈+兄十瓦=（習(xí)十甩）十（屈十PD） =同理可證:巫十殛十啻十亜二4西X 平行六面體體對(duì)角線的交點(diǎn)o杲鷗的中點(diǎn).刃+西+更+瓦+馮

8、+兩 +兩十兩=APE+4 畫=4 蠢+福）=8?9,點(diǎn)評(píng)：在平面向量中，我們證明過以下命題：已知點(diǎn)O是平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是平行四邊形 ABCD所在平面上任一點(diǎn)，則一 一 _：一 丿匕本例題 就是將平面向量的命題推廣到空間來(lái).川.鞏固練習(xí)IV .教學(xué)反思平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的 平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿相同的方向移動(dòng)相同的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移.關(guān)于向量算式的化簡(jiǎn)，要注意解題格式、步驟和方法.V .課后作業(yè)1課本1、2、2預(yù)習(xí)下一節(jié)：怎樣的向量叫做共線向量？?jī)蓚€(gè)向量共線的充要條件是什么？空間中點(diǎn)在直

9、線上的充要條件是什么？什么叫做空間直線的向量參數(shù)表示式？怎樣的向量叫做共面向量？向量p與不共線向量a、b共面的 充要條件是什么？空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是什么？例1已知平行六面體結(jié)果的向量： AB BC ； AB AD AA' ABrAD -CC'21 1丄(AB3ADAA').例2、如圖中，已知點(diǎn)O是平行六面體 ABCD AiBiCiDi體對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P是任意一點(diǎn)，則3.1.1空間向量及其運(yùn)算（一）課前預(yù)習(xí)學(xué)案預(yù)習(xí)目標(biāo)：理解空間向量的概念，掌握其表示方法；2會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；預(yù)習(xí)內(nèi)容：1.叫空間向量.空間向量的表示方

10、法有：2 . 叫相等向量3.空間向量的運(yùn)算法則：提出疑惑：同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：知識(shí)目標(biāo)：1空間向量；2相等的向量；3空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律;能力目標(biāo)：1理解空間向量的概念，掌握其表示方法；2會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；3能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：應(yīng)用向量解決立體幾何問題.學(xué)習(xí)過程：ABCD A'B'C'D'（如圖），化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)丙+巨豐死+麗+

11、兩亠兩斗陌斗兩而當(dāng)堂檢測(cè)：1、下列說(shuō)法中正確的是()A .兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)可能不同B.若非零向量與-是共線向量，則 A、B、C、D四點(diǎn)共線Q社/ 了且叢”，則勸;C .若D 四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是二丄'= 2、已知空間四邊形 ABCD，連AC , BD，設(shè)M、G分別是BC、CD中點(diǎn)，則aS+-(rd+bc)=-BC3 ()B :人uuu3、如圖：在平行六面體 urnr r uuirAD b, AA1ABCD ABC1D1中，M為AG與BiDi的交點(diǎn)。若 ABrc，則下列向量中與 BM相等的向量是(cA1rc r b1 - 2 ra1rcr b1 - 2

12、ra1 - 2A)DAcb1- 2a1 - 2rc r b1 r 1(C) a -2 2五、課后練習(xí)與提高：1.對(duì)于空間任意一點(diǎn)uuu uuu uur xOA yOB zOC 是點(diǎn)uuuO和不共線三點(diǎn) A, B,C，點(diǎn)P滿足0PP,A,B,C共面的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件2 .已知正方體ABCD，點(diǎn)E,F分別是上底面 AG和側(cè)面CD1的中心，求下列各式中的x, y的值:uurUULUUuuuruuu(1)AC1x(ABBCCCi)，則 x;uuuuuurAA,uuuuuur(2)AExAByAD，則 x；y;uuuruuuruuuuur(3)AFADxAByAAi，則 x；y;ABiGU，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并填上化簡(jiǎn)后的結(jié)