第7章高階導(dǎo)數(shù)

1、第7章 高階導(dǎo)數(shù)一、一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)  函數(shù)y=f(x)（一）一階導(dǎo)數(shù)（二）二階導(dǎo)數(shù)  若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)仍為可導(dǎo)函數(shù)，則稱的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記為，即【例題】【練習(xí)】P122的例8.1（三）高階導(dǎo)數(shù)  二階以上的導(dǎo)數(shù)都稱為高階導(dǎo)數(shù)。 【例】求高階導(dǎo)數(shù)  【】  【】【例】求n階導(dǎo)數(shù)  【】  【】  【】  【】【例8.4】P130。二、高階導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)應(yīng)用了解函數(shù)的性質(zhì)（一）單調(diào)性  若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間【a，b】?jī)?nèi)連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么1

2、. 若x（a，b），恒有0，則f（x）在【a，b】?jī)?nèi)單調(diào)增加；2. 若x（a，b），恒有0，則f（x）在【a，b】?jī)?nèi)單調(diào)減少；3. 若x（a，b），有=0，則稱x為函數(shù)f（x）的駐點(diǎn)?！纠坑懻摵瘮?shù)的單調(diào)性解：已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+），且有令，求得駐點(diǎn)以為分點(diǎn)，將定義域分為（-，0），（0，2），（2，+）三個(gè)區(qū)間，在（-，0），（0，2），（2，+）內(nèi)不會(huì)變號(hào)x（-，0）0（0，2）2（2，+）00f(x)單調(diào)上升1/3單調(diào)下降1單調(diào)上升函數(shù)f（x）在（-，0），（2，+）內(nèi)單調(diào)遞增；在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減?！揪毩?xí)】討論函數(shù)的單調(diào)性x（-，-2）-2（-2，3）3（3，+）00f(x)單

3、調(diào)上升60單調(diào)下降-65單調(diào)上升【例】討論函數(shù)的單調(diào)性解：已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+），且有令，求得駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)以為分點(diǎn)，將定義域分為（-，0），（0，1），（1，+）三個(gè)區(qū)間，在（-，0），（0，1），（1，+）內(nèi)不會(huì)變號(hào)x（-，0）0（0，1）1（1，+）不存在0f(x)單調(diào)上升1單調(diào)下降1/10單調(diào)上升函數(shù)f（x）在（-，0），（1，+）內(nèi)單調(diào)遞增；在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減。x（-，1）1（1，3）3（3，+）00f(x)單調(diào)上升1單調(diào)下降-3單調(diào)上升【總結(jié)】判斷單調(diào)性的步驟1. 確定函數(shù)y=f(x)的定義域，連續(xù)區(qū)間，可導(dǎo)區(qū)間。2. 求=0的根，和不存在的點(diǎn)。3. 用以上得出的點(diǎn)將定義

4、域分成若干區(qū)間。4. 判別在每個(gè)開區(qū)間的符號(hào)，從而確定其單調(diào)性。（二）極值1. 極值的含義  設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，對(duì)該鄰域內(nèi)的x恒有，則稱為函數(shù)的極大值，而點(diǎn)稱為極大值點(diǎn)。  同理可以定義函數(shù)的極小值。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。2. 極值的性質(zhì)（1） 局部性極值是一個(gè)局部性的概念：，函數(shù)的某個(gè)極小值可能比極大值還要大。（2） 非唯一性函數(shù)在定義域區(qū)間內(nèi)的極值和極值點(diǎn)不是唯一的，一個(gè)函數(shù)可能存在著多個(gè)極值和極值點(diǎn)。3. 判斷極值的方法（1）用一階條件判斷  設(shè)函數(shù)f(x)在的鄰域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)：  如果，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)取極大值。 

5、如果，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)取極小值。  如果在的鄰域內(nèi)不變號(hào)，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)不取極值。  用來(lái)尋找曲線的平穩(wěn)定（駐點(diǎn)）。【例】求的極值解：定義域?yàn)椋?，+），且令，得駐點(diǎn)x（-，1）1（1，2）2（2，+）00f(x)單調(diào)上升2單調(diào)下降1單調(diào)上升極大值點(diǎn)為x=1，極大值為f(1)=2；極小值點(diǎn)為x=2，極小值為f(2)=1【例】求的極值解：定義域?yàn)椋?，+），且令，得駐點(diǎn)x（-，0）0（0，3/2）3/2（3/2，+）00f(x)單調(diào)下降0單調(diào)下降-27/16單調(diào)上升函數(shù)的極小值點(diǎn)為x=3/2，極小值為f(3/2)=-27/16.【例8.2】P127（2）用二階導(dǎo)數(shù)判斷充

6、分條件  設(shè)函數(shù)f(x)在處有二階導(dǎo)數(shù)，且，如果：n ，則為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)。n ，則為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)。n ，則暫時(shí)不能判斷?！纠壳蠛瘮?shù)的極值解：；令解得當(dāng)時(shí)，有為極小值點(diǎn)，極小值為當(dāng)時(shí)，有為極大值點(diǎn)，極大值為-3。【例】求函數(shù)的極值解：；令，解得x=1為極大值點(diǎn)，極大值為8。x=3為極小值點(diǎn)，極小值為4。【例8.3】P127.【習(xí)題8.1】P141（3）用高階導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷  如果第一個(gè)非0高階導(dǎo)數(shù)，出現(xiàn)在奇數(shù)次微分之后，則是拐點(diǎn)。  偶數(shù)次微分之后，為負(fù)則為局部極大值點(diǎn)；為正則為局部極小值點(diǎn)?！纠?.4】P130【習(xí)題8.2】P1414. 總結(jié)：求

7、極值的步驟（1）一階條件（必要條件）  令一階導(dǎo)數(shù)為0，求出所有的平穩(wěn)點(diǎn)：（2）二階條件（充分條件）  在平穩(wěn)點(diǎn)處求二階導(dǎo)數(shù)的值：  如果，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)取極大值。  如果，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)取極小值。（3）高階條件  如果，則求高階導(dǎo)數(shù)【非零為止】。  出現(xiàn)在偶次微分之后，則。  出現(xiàn)在奇次微分之后，點(diǎn)為拐點(diǎn)。（4）求出極大值和極小值。【例8.4】P130.（三）函數(shù)的凸凹性1. 凹凸的定義  函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，若對(duì)I上任意兩點(diǎn)，恒有，則稱y=f(x)在區(qū)間I上的圖形是凹的；若恒有，則稱y=f(

8、x)在區(qū)間I上的圖形是凸的。  也就是說(shuō)，若曲線弧位于其每一點(diǎn)處切線的上方，則稱此曲線是向上凹的；若曲線弧位于其每一點(diǎn)處切線的下方，則稱此曲線弧是上凸的。2. 凸凹性的判斷  設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間【a，b】上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則：  若在（a，b）內(nèi)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間【a，b】上的圖形是凹的。  若在（a，b）內(nèi)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間【a，b】上的圖形是凸的。3. 拐點(diǎn)  若函數(shù)y=f(x)的圖形在兩側(cè)有不同的凸凹性，則稱點(diǎn)（，f()）為圖形的拐點(diǎn)?！纠颗袛嗲€的凸凹性解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+），【例】判斷的

9、凸凹性解： 數(shù)的定義域?yàn)椋?，+），、令0，得判定在鄰近的符號(hào)：x（-，0）0（0，2/3）2/3（2/3，+）00f(x)上凹1上凸11/27上凹（四）全域極值最大值和最小值  設(shè)函數(shù)y=f(x)在【a，b】上有定義：1. 求出平穩(wěn)點(diǎn)：求出方程的實(shí)數(shù)根，以及使不存在的點(diǎn)。2. 計(jì)算函數(shù)值：算出平穩(wěn)點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值。3. 比較函數(shù)值：其中最大的一個(gè)為最大值點(diǎn)，最小的一個(gè)為最小值點(diǎn)?！纠壳笤趨^(qū)間【-4，4】上的最值解：令，解得：，【故在區(qū)間【-4，4】上，函數(shù)最大值為10，最小值為-71。【練習(xí)】求函數(shù)最值  （五）洛比達(dá)法則（適用于型不定式和型不定式）1.

10、法則  設(shè)函數(shù)滿足在點(diǎn)a的某去心鄰域可導(dǎo)，且，且存在，則也存在，且。【例】求（n0） 【練習(xí)】    （六）泰勒（Taylor）公式1. 問(wèn)題的提出：函數(shù)化簡(jiǎn)  不論在近似計(jì)算或理論分析中，我們都希望能用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似地表示一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，這樣做將會(huì)帶來(lái)很大的方便。一般來(lái)說(shuō)，最簡(jiǎn)單的是多項(xiàng)式函數(shù)，因?yàn)樵诙囗?xiàng)式函數(shù)中僅有加減乘三種運(yùn)算，怎樣從一個(gè)函數(shù)本身，找出我們需要的近似多項(xiàng)式函數(shù)？2. 泰勒定理  若函數(shù)在含有點(diǎn)的某開區(qū)間（a，b）內(nèi)有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x在（a，b）內(nèi)時(shí)，   式中

11、之間，稱為拉格朗日余項(xiàng)，公式稱為泰勒公式。3. 麥克勞林公式  當(dāng)時(shí)，得到泰勒公式：  這個(gè)公式稱為麥克勞林公式?！纠印繉⒄归_為x的冪式  當(dāng)時(shí)，的連續(xù)函數(shù)，并有連續(xù)的高階導(dǎo)數(shù)：（n=1，2，）  因此，（n=1，2，）  因此，之間?！揪毩?xí)】寫出在x=0的泰勒展開式 【練習(xí)】寫出在x=1的泰勒展開式 三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用利潤(rùn)最大化（一）利潤(rùn)最大化原理1. 利潤(rùn)函數(shù)：2. 一階條件：3. 二階條件：，即要求邊際收益為反方向，邊際成本為正方向。4. 最大化的利潤(rùn)：【例】某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，其固定成本為200元，每多生產(chǎn)1單位產(chǎn)品，成本增加10元，該產(chǎn)品的需求函數(shù)為，求產(chǎn)量q為多少時(shí)利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)。解：當(dāng)產(chǎn)量q為240個(gè)單位時(shí)，利潤(rùn)最大，利潤(rùn)為28600?！纠?.7】P135【習(xí)題8.4】P141【習(xí)題8.5】P141（二）利潤(rùn)與稅收：稅收中性原則【稅收不應(yīng)影響企