2013年湖南高考理科數(shù)學(xué)試題及答案(word版)

1、絕密啟用前2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁(yè)，時(shí)量120分鐘，滿分150分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 【 b 】a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限 2. 某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是【 d 】a抽簽法 b隨機(jī)數(shù)法 c系統(tǒng)抽樣法 d分層抽樣法 3. 在銳角中，角a, b所

2、對(duì)的邊長(zhǎng)分別為. 若，則角a等于a b c d 【 d 】 4. 若變量滿足約束條件，則的最大值是 【 c 】a b c d 5. 函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 【 b 】a3 b2 c1 d0 6. 已知是單位向量，. 若向量滿足，則的取值范圍是 a b c d 【 a 】7已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，則該正方體的正視圖的面積不可能等于a b c d 【 c 】8. 在等腰直角三角形中，點(diǎn)是邊上異于的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點(diǎn)（如圖）.若光線經(jīng)過(guò)的重心，則等于 a b c d 【 d 】二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分

3、.（一）選做題（請(qǐng)考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題計(jì)分）9. 在平面直角坐標(biāo)系中，若直線 (t為參數(shù)) 過(guò)橢圓 (為參數(shù)) 的右頂點(diǎn)，則常數(shù) . 答案: 310. 已知,，則的最小值為 . 答案: 1211. 如圖2，在半徑為的o中, 弦ab, cd相交于點(diǎn) p，則圓心o到弦cd的距離為 . 答案: (二) 必做題（12-16題）12. 若，則常數(shù)t的值為 . 答案: 313. 執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，如果輸入 ，則輸出的的值為 .答案: 914設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，p是c上一點(diǎn)，若，且的最小內(nèi)角為，則c的離心率為 . 答案: 15設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（1）_

4、；（2）_.答案: (1) ; (2) 16設(shè)函數(shù)（1）記集合不能構(gòu)成三角形的三條邊長(zhǎng)，且，則 所對(duì)應(yīng)的的零點(diǎn)的取值集合為_(kāi).（2）若是的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是 .（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)） ，使不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)； 若為鈍角三角形，則使 答案：(1) （2） 三、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.（i）若是第一象限角，且，求的值；（ii）求使成立的x的取值集合。解： （i）由得. 又是第一象限角，所以，從而（ii）等價(jià)于，即.于是. 從而，即故使成立的x的取值集合為18（本小題滿分12分）某人在如圖4

5、所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量y（單位：kg）與它的 “相近” 作物株數(shù)x之間的關(guān)系如下表所示：x1234y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米（i）從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好 “相近” 的概率；（ii）從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（i）所種作物的總株數(shù)n=1+2+3+4+5=15. 其中三角形內(nèi)部的株數(shù)為3,邊界上的作物株數(shù)為12 從三角形內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不

6、同結(jié)果有3×1236種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8種故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好 “相近” 的概率為；（ii）先求從所種作物中隨機(jī)選取一株作物的年收獲量y的分布列因?yàn)?，記為與其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù) (k=1, 2, 3, 4)，則 所以由得，；，故所求的分布列為y51484542p 所求的數(shù)學(xué)期望為19（本小題滿分12分）如圖5，在直棱柱（i）證明：；（ii）求直線所成角的正弦值。解法（i）如圖，因?yàn)?，所? 又，所以.而，所以.（ii）因?yàn)?，所以直線所成角等于直線ad與平面所成角（記為）連結(jié)，因?yàn)槔庵侵崩庵?，?/p>

7、以，從而又，所以四邊形為正方形，于是故，于是由（i）可知：，所以，故在直角梯形abcd中，因?yàn)椋?，從而，故，?從而易得，即. 連，在中，. 得即直線所成角的正弦值為。解法2. （i）易知ab，ad，兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab，ad，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)ab=t ，則相關(guān)各點(diǎn)坐標(biāo)為，.從而，.因?yàn)?，所以，解得或（舍去）于是，又因?yàn)?，所以，? （ii）由（i）知，.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則 ，即令x=1，得。設(shè)直線所成角為，則 =.即直線所成角的正弦值為。20（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，將從點(diǎn)m出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)n的任一路徑

8、成為m到n的一條“l(fā)路徑”。如圖6所示的路徑都是m到n的“l(fā)路徑”。某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xoy內(nèi)三點(diǎn)處?，F(xiàn)計(jì)劃在x軸上方區(qū)域（包含x軸）內(nèi)的某一點(diǎn)p處修建一個(gè)文化中心。（i）寫出點(diǎn)p到居民區(qū)a的“l(fā)路徑”長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式（不要求證明）；（ii）若以原點(diǎn)o為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“l(fā)路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請(qǐng)確定點(diǎn)p的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“l(fā)路徑”長(zhǎng)度之和最小。解：設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（x，y）. （i）點(diǎn)p到居民區(qū)a的“l(fā)路徑”長(zhǎng)度最小值為，。（ii）由題可知，點(diǎn)p到三外居民區(qū)的“l(fā)路徑”長(zhǎng)度之和的最小值為點(diǎn)p分別到三個(gè)居民區(qū)的“l(fā)路徑”長(zhǎng)度最小值之和(記為d)的最小

9、值.(1) 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?(*)當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，不等式(*)中的等號(hào)成立。 又因?yàn)椋?）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不等式（*）等號(hào)成立.所以，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立. 類似可得，當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)點(diǎn)p位于（3,1）時(shí)，p到三個(gè)居民區(qū)的“l(fā)路徑”長(zhǎng)度之和最小，且最小值為45. (2) 時(shí)，由于“l(fā)路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，所以由（1）知，故 . 綜上所述，在點(diǎn)p（3,1）處修建文化中心，可使該文化中心到三個(gè)居民區(qū)的“l(fā)路徑”長(zhǎng)度之和最小.21（本小題滿分13分）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)f作斜率分別為的兩條不同的直線，且，相交于點(diǎn)a，b，相交于點(diǎn)c，d。以ab，cd為直徑的圓m，圓n（m，n為圓心）的公共弦所在

10、的直線記為。（i）若，證明: ；（ii）若點(diǎn)m到直線的距離的最小值為，求拋物線e的方程。解：（i）由題意，拋物線e的焦點(diǎn)f(0, )，直線的方程為.由得 .設(shè)a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)解。從而 ， 所以點(diǎn)m的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)n的坐標(biāo)為，.于是由題設(shè)，所以.故.（ii）由拋物線的定義得 ，所以，從而圓m的半徑故圓m的方程為，化簡(jiǎn)得.同理可得圓n的方程為.于是圓m，圓n的公共弦所在直線l的方程為.又，則l的方程為.因?yàn)閜>0，所以點(diǎn)m到直線l的距離 .故當(dāng)時(shí)，d取最小值. 由題設(shè)，解得p=8.故所求的拋物線e的方程為.22（本小題滿分13分）已知，函數(shù).（i）記求的表達(dá)式；（ii）是否存在，使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直？若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（i）當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，. 因此，當(dāng)時(shí)，f(x)在（0，a）上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增. 若，則f(x) 在0，4上單調(diào)遞減， 若，則f(x) 在0，a上單調(diào)遞減，在（a，4）上單調(diào)遞增.所以 . 而，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上所述，（ii）由（i）可知，若，則f(