《控制理論與控制工程專(zhuān)業(yè)課程設(shè)計(jì)》倒立擺實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、八京航玄航夭大爭(zhēng)b e i h a n g university倒立擺與自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn)報(bào)告目錄一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備2三、倒立擺系統(tǒng)介紹3四、倒立擺控制系統(tǒng)的建模4五、系統(tǒng)的可控性分析10六、根軌跡控制實(shí)驗(yàn)126. 1根軌跡分析126.2根軌跡校正及仿真136. 3實(shí)時(shí)控制結(jié)果186.4根軌跡設(shè)計(jì)小結(jié)19七、頻率響應(yīng)控制實(shí)驗(yàn)197.1頻率響應(yīng)分析197.2頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)及仿真（超前校正）227.3實(shí)時(shí)控制結(jié)果（超前校正）277.4頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)（滯后超前校正）287.5實(shí)時(shí)控制結(jié)果（滯后超前校正） 307.6頻域分析校正方法小結(jié)30八、pid控制實(shí)驗(yàn)318.1 pid 控制318.2 pid

2、參數(shù)設(shè)定及仿真318.3實(shí)時(shí)控制結(jié)果368.4 pid控制小結(jié)37九、狀態(tài)空間極點(diǎn)配置實(shí)驗(yàn)399.1極點(diǎn)配置及仿真399.1.1極點(diǎn)配置399.1.2極點(diǎn)仿真439.2實(shí)時(shí)控制結(jié)果449.2.1 當(dāng)取 匚-0.5, © = 3 時(shí)449.2.2 當(dāng)取匚-0.5, a)n = 5 時(shí)459.3狀態(tài)空間極點(diǎn)配置方法小結(jié)46十、線性最優(yōu)二次控制lqr4810.1線性二次最優(yōu)控制lqr基本原理及分析4810.2 lqr控制參數(shù)調(diào)節(jié)4910.3 lqr控制參數(shù)設(shè)計(jì)仿真5210.4實(shí)時(shí)控制結(jié)果5310.5線性二次最優(yōu)控制lqr小結(jié)54-一、個(gè)人小結(jié)55一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 運(yùn)用經(jīng)典控制理論控制直線一

3、級(jí)倒立擺，包括實(shí)際系統(tǒng)模型 的建立、根軌跡分析和控制器設(shè)計(jì)、頻率響應(yīng)分析、pid控制分析等 內(nèi)容.2. 運(yùn)用現(xiàn)代控制理論中的線性最優(yōu)控制lqr方法實(shí)驗(yàn)控制倒立 擺3. 學(xué)習(xí)matlab工具軟件在控制工程中的應(yīng)用4. 掌握對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行建模的方法，熟悉利用matlab對(duì)系統(tǒng) 模型進(jìn)行仿真，利用學(xué)習(xí)的控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，并對(duì) 系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)際控制實(shí)驗(yàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行觀察和分析，非常直觀的感 受控制器的控制作用。二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備計(jì)算機(jī)及m atlab.vc等相關(guān)軟件固高倒立擺系統(tǒng)的軟件固高一級(jí)直線倒立擺系統(tǒng)'包括運(yùn)動(dòng)卡和倒立擺實(shí)物倒立擺相關(guān)安裝工具三、倒立擺系統(tǒng)介紹倒立擺是機(jī)器人技術(shù)、控

4、制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域、多種 技術(shù)的有機(jī)結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身又是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定、高階次、多 變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，可以作為一個(gè)典型的控制對(duì)象對(duì)其進(jìn)行 研究。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一種比較理想的實(shí)驗(yàn)手段， 為自動(dòng)控制理論的教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和科研構(gòu)建一個(gè)良好的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，以用 來(lái)檢驗(yàn)?zāi)撤N控制理論或方法的典型方案，促進(jìn)了控制系統(tǒng)新理論、新 思想的發(fā)展。由于控制理論的廣泛應(yīng)用，由此系統(tǒng)研究產(chǎn)生的方法和 技術(shù)將在半導(dǎo)體及精密儀器加工、機(jī)器人控制技術(shù)、人工智能、導(dǎo)彈 攔截控制系統(tǒng)、航空對(duì)接控制技術(shù)、火箭發(fā)射中的垂直度控制、衛(wèi)星 飛行中的姿態(tài)控制和一般工業(yè)應(yīng)用等方面具有廣闊的利用開(kāi)發(fā)前景。倒立擺已

5、經(jīng)由原來(lái)的亡線一級(jí)倒立擺擴(kuò)展出很多種類(lèi)，典型的有 直線倒立擺環(huán)形倒立擺，平面倒立擺和復(fù)合倒立擺等，本次實(shí)驗(yàn)采用 的是直線一級(jí)倒立擺。倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性:1） 非線性2）不確定性3）耦合性4）開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定性5）約束限制。倒立擺控制器的設(shè)計(jì)是倒立擺系統(tǒng)的核心內(nèi)容，因?yàn)榈沽[是一 個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為使其保持穩(wěn)定并且可以承受一定的干擾，需 要給系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器，本小組采用的控制方法有：根軌跡控制、頻率 響應(yīng)控制、pid控制、狀態(tài)空間極點(diǎn)配置、線性二次最優(yōu)控制。四、倒立擺控制系統(tǒng)的建模下面我們采用牛頓一歐拉方法建立亡線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：在忽略了空氣阻力和各種

6、摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)m小車(chē)質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車(chē)摩擦系數(shù)/擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度/擺桿慣量f加在小車(chē)上的力x小車(chē)位置<i>擺桿與垂直向上方向的夾角0擺桿與垂直向下方向的夾角(考慮到擺桿初始位置為豎直向下) 圖是系統(tǒng)中小車(chē)和擺桿的受力分析圖。其中，n和p為小車(chē)與擺桿相 互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確 定，因而矢量方向定義如圖所示，圖示方向?yàn)槭噶恐狗较?。圖3-2小車(chē)及擺桿受力分析分析小車(chē)水平方向所受的合力，可以得到以下方程：mx = f-bx-n“、(3-1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：n =加

7、上(x + / sin &)赤(3-2)gp：(3-3)n = nix + mw cos 0 一 mlo2 sin 0把這個(gè)等式代入式(3j)中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程:(m + 加)壬 + bx + mid cos 0 一 mlo2 sin 0 = f(3-4)為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行 分析，可以得到下面方程：d 2p 一 mg = m (7 cos 0)(3-5)p 一 nig = -nilo sin 0 一 ml 02 cos 6(3-6)力矩平衡方程如下:一 pl sin 0 - n1 cos 6 = 10(3-7)合并這兩個(gè)方程，約去p

8、和/v,得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程:(7 + mgl sin 0 = -mix cos 0(3-8)設(shè)e = n( e是擺桿與垂直向上方向之間的夾角)，假設(shè)e與1 (單位是弧度)相比很小，即4)«1,則可以進(jìn)行近似處理：cos& = 一1, sin 6? = 一0 , ()2 = 0dt用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力f,線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下:(3-9)(3-10)|(z + 滬暢 一 mgl(p = mix (a/ + nf)x + bx - ml(p = u對(duì)式(39)進(jìn)行拉普拉斯變換，得到(7 + ml1)0(5)52 一 回“)=mlx(s)s， (m + m)x(s)s2 +

9、 bx (.s )5 一 (|s)“ = u (s)注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為0。由于輸岀為角度e,求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到: -y(.s)= m j)仝ml或(s) _mis2x(s)(7 + ml2)s2 一mgl如果令v = x 則有：g)7ml(z+- mgl把上式代入方程組的第二個(gè)方程，得到:q + m) ml(如+b(z )+ 芻 (s)s ml(s)s2 = u(s)dll整理后得到傳遞函數(shù):ml =s 0)二qu(s) b(i 十血)q (m 4- fn)mglsssqqbmglsq其中q = (m + zw)(z + ml2) -(m/)2設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為

10、:x = ax + buv = or + du方程組 對(duì)丄妙 解代數(shù)方程，得到解如下:x = x:-(i + ml2)b .+m2gl2r .川廠)i(m + tn) + mn 十i(m + m) +i(m + m) + mnil一 nilbmgl(m + ?) 丄i(m + rn) 4- mmf- * z(m +加)+ )伽廠 十 z(m +加)+ a伽廠"ml整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程:0100l0一 (z + ml2)bm2gl20xim + m) + mml：i(m + “7)+ mmlx+0001e10-mlbmgl (m + m)0$i(m + m) + mm,i(m +

11、 加)+ mml2x xi(m + m) + mmf 0 mloz + ml2x='10 00_x+0_0 0 10_0_0由(39)的第一個(gè)方程為：(/ + 滬暢 一 mgl(p - mix對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有：i = ml23于是可以得到：1. d-nil" + 0 mgl(p - mix13j化簡(jiǎn)得到: 3e 3x = a a 旅 0,則有:心滬+戸00x0 10 0x0 x0 0 0 0x1缶=0 0 0 1(h0y ±0 0空0ra3l4/l。_4?_uux實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下:m小車(chē)質(zhì)量1.096 kgm擺桿質(zhì)量0.109 kgb小車(chē)摩擦系數(shù)0ln

12、/m/seci擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.2 5m/ 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m把上述參數(shù)代入，可以得到系統(tǒng)的實(shí)際模型。擺桿角度和小車(chē)加速度之間的傳遞函數(shù)為:(s)7(s) 一 0.0102125/ -0.26705以小車(chē)加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:01001xo0000x1+000100029.4j jd_3_l x_10 0o-x_0+00 1000i/u注意事項(xiàng)：在固高科技所有提供的控制器設(shè)計(jì)和程序中，采用的都是以小不的加速度作為系統(tǒng)的輸入。五、系統(tǒng)的可控性分析對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng):x = ax + buy = cx + du系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)向量組b, ab,

13、an-1b是線性無(wú)關(guān)的系統(tǒng)的輸出可控性的條件為：當(dāng)且僅當(dāng)矩陣 cb;cab;ca?b;ca”b;d的秩等于輸出向量y的維數(shù)。應(yīng)用以上原理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可控性分析，在mat lab中計(jì)算：clear;a= 0 1 0 0;0000;000 1;0 0 29.4 0;b=0 1 0 3：c= 1 0 0 0;0 100;d= 0 0 *;cona=b a*b aa2*b aa3*b;cona2=c*b c*a*b c*aa2*b c*aa3*b d;rank(cona)rank(cona2)可以得到：ans =4ans =2可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)變量 維數(shù)，系統(tǒng)的輸出完全

14、可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量y的維數(shù)， 所以系統(tǒng)可控，因此可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，使系統(tǒng)穩(wěn)定。六、根軌跡控制實(shí)驗(yàn)6. 1根軌跡分析前面我們已經(jīng)得到了亡線一級(jí)倒立擺的物理模型，實(shí)際系統(tǒng)的開(kāi) 環(huán)傳遞函數(shù)為： _0.027257(s) 0.0102125/ -0.26705其中輸入為小車(chē)的加速度u(s),輸岀為擺桿的角度。在matlab下繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。在matlab中鍵入以下命令：clear;num=0.02725 ;den=0.0102125 0 -0.26705;rlocus (numden)z=roots (num);p=roots(den);得到如下結(jié)果：z = 0,0p = 5

15、.1136,-5.1136root locus可以看岀，系統(tǒng)有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)極點(diǎn)，并且有一個(gè)極點(diǎn)為正?？梢钥闯鲩]環(huán)傳遞函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)位于右半平而，并且有一條根 軌跡起始于該極點(diǎn)，并沿著實(shí)軸向左跑到位于原點(diǎn)的零點(diǎn)處，這意味 著無(wú)論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統(tǒng)總是不 穩(wěn)定的。6. 2根軌跡校正及仿真對(duì)于傳遞函數(shù)為：亠、0.02725g(s) =0.0102125?-0.2675的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制器，使得校正后系統(tǒng)的要求如下: 調(diào)整時(shí)間ts = 0.55(2%)；最大超調(diào)量mp<m ；根軌跡設(shè)計(jì)步驟如下：1) 確定閉環(huán)期望極點(diǎn)d s的位置，由最人超調(diào)量二嚴(yán)w%510%可以得

16、到：>0.591155 ,在本實(shí)驗(yàn)我們?nèi)?0.7 o由 $ = cos(&)可以得到：0 = 0.795399 (rad)其中0為位于第二象限的極點(diǎn)和o點(diǎn)的連線與實(shí)軸負(fù)方向的夾角。又由：t = - < 0.5$3可以得到：13.5328 ,在本例我們?nèi)?#169;=14.2857于是可以得到期望的閉環(huán)極點(diǎn)為：14.2857(cos&土 jsino)2) 未校正系統(tǒng)的根軌跡在實(shí)軸和虛軸上，不通過(guò)閉環(huán)期望極點(diǎn)，因此需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行超前校正，設(shè)控制器為：k(s) = a 75 + 1 = (a <1)ats + 5 + p3) 計(jì)算超前校正裝置應(yīng)提供的相角，已知期望的

17、閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)和系 統(tǒng)原來(lái)的極點(diǎn)的相角和為：, -1z14.2857 sin <9、.14.2857 sin、“、八g(s.) = -(- tan () - tan () + 6.28) = -4.5653'14.2857 cos & - 5.113614.2857 cos & + 5.1136因此校正裝置提供的相角為：0 =3.14 (4.5653) = 1.42534) 設(shè)計(jì)超前校正裝置，已知：e = 0.795399對(duì)于最大的a值的丫角度可由下式計(jì)算得到：丫=、兀-所以有：丫=丄(龍一0 0) = 0.46124324 jwux按最佳確定法作圖規(guī)則，在上圖中畫(huà)

18、岀相應(yīng)的直線，求出超前校正裝置的零點(diǎn)和極點(diǎn)，分別為：z°=-6.68521;z“=-30.52731校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：q = g(s) k(s) = kg+6.68521)_002725_(s+30.52731) 0.010212552-0.267055) 由幅值條件|g(sd)h(sd)| = l ,并設(shè)反饋為單位反饋，所以有 = 165.19 ；6) 于是我們得到了系統(tǒng)的控制器：g(s) = 165.19 "+668521)(s+30.52731)使用數(shù)學(xué)軟hmathematica編寫(xiě)自動(dòng)計(jì)算程序如下：overstep=0 04598791;adjusttim

19、e=04; pospole=51136;negpole=-51136;mp= 1 丿；print nnnsolve(mp-overstep)do , damp=0/%printndn =arccos dampts=4-r (damp*n);print ffnsolve (ts-ad justtime) do, (_n);_=_n/ %polesre=-*cos ;polesim=*sin;z=polesre+i*polesim;printngsdn;gsd=- (arg z-pospole +arg z-negpole)print f>n>=-<-gsd;printnnn=(

20、y»-a)/2print n zerocoord11 zerocoord=polesre-polesim*tan -(y/2-口)printnpolecoordnpolecoord=polesre-polesim*tan-(y/2-口)+afk=absk*(z-zerocoord)/(z-polecoord)*0 02725/(0 0102125*2 一026705);printnknsolvefk-ldoz (k)在matlab中編寫(xiě)如下m文件，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真:clear;num 二0.02725;den=0.0102125 0-0.267051; numlead=-6.68521

21、;denlead=-30.57321;z,p,k=tf2zp(num,den);za=z;numlead;pa=p;denleadl;num2,den2=zp2tf(za,pa,k);sys=tf(num2,den2);rlocus(sys);figurekk=14l137 % compensated system sys2二zpk(za,pa,kk*k);sysc=sys2/(l +sys2);% transfer function of the linear 1 stage% inverted penulum% controller zeros% controller poles% add

22、 zeros to the lip system% add poles to the lip systemt=0:0.005:5;step(sysc,t) % response of the close-loop system根軌跡圖及仿真如下：根軌跡階躍響應(yīng)04020.52.5time (seconds)6. 3實(shí)時(shí)控制結(jié)果6. 4根軌跡設(shè)計(jì)小結(jié)根軌跡是指系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中的某個(gè)參數(shù)（一般為開(kāi)環(huán)增益） 從零到無(wú)窮時(shí)，閉環(huán)特征根在s平面上移動(dòng)的軌跡。通過(guò)實(shí)驗(yàn)我總結(jié)到，閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)該遠(yuǎn)離虛軸，這樣會(huì)使系統(tǒng)的快 速性更好。復(fù)數(shù)極點(diǎn)最好設(shè)置在s平面中與負(fù)實(shí)軸成止負(fù)45度夾角線 附近，這樣既能有較好的穩(wěn)

23、定性也有較好的動(dòng)態(tài)性能。對(duì)開(kāi)環(huán)傳遞函 數(shù)增加零點(diǎn)可以使根軌跡向s左半平面移動(dòng)，是系統(tǒng)穩(wěn)定性變好。在本實(shí)驗(yàn)所用設(shè)計(jì)方法中，為獲得系統(tǒng)更好地瞬態(tài)響應(yīng)，減少穩(wěn) 態(tài)誤差，可以采用以下方法進(jìn)一步調(diào)整：第一種方法：增加阻尼$ ,重復(fù)上面的設(shè)計(jì)方法，重新設(shè)計(jì)， 直到系統(tǒng)的響應(yīng)滿(mǎn)足要求。第二種方法：在保持©角不便的情況下，將校正裝置的零點(diǎn)向 左側(cè)偏移，以減少閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的影響。七. 頻率響應(yīng)控制實(shí)驗(yàn)7,1頻率響應(yīng)分析前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺的物理模型，實(shí)際系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：(s) _0.02725/(s) 0.0102125/ 0.26705其中輸入為小車(chē)的加速度u(s),輸出為擺桿的

24、角度。在matlab下繪制系統(tǒng)的bode圖和奈奎斯特圖。在matlab中鍵入以下命令：clear;n um 二0.02725;den=0.0102125 0 -0.26705;z=roots(num);p=roots(d en);subplot(2zl,l)bode(num,de n)subplot(2 丄 2)nyq uist( nu m,den)得到如下圖所示的結(jié)果：z =empty matrix: 0-by-lp =5.1136-5.1136figure no. 1insert tools window helpk a z / 妙 q c80回兇bode diagram50101l o8

25、111025.o.5o.frequency (rad/sec)nyquist diagram0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10real axis可以得到，系統(tǒng)沒(méi)有零點(diǎn)，但存在兩個(gè)極點(diǎn)，其中一個(gè)極點(diǎn)位 于右半s平面，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條 件是：當(dāng)3從一 oo到+ oo變化時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)g(丿"3 )沿逆時(shí)針 方向包圍j點(diǎn)p圈，其中p為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)的極點(diǎn) 數(shù)。對(duì)于直線一級(jí)倒立擺，由奈奎斯特圖我們可以看出，開(kāi)環(huán)傳遞函 數(shù)在s右半平面有一個(gè)極點(diǎn)，因此g(j3 )需要沿逆時(shí)針?lè)较虬鼑鷍 點(diǎn)一圈?？梢钥闯?，系統(tǒng)的奈奎

26、斯特圖并沒(méi)有逆時(shí)針繞點(diǎn)一圈， 因此系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要設(shè)計(jì)控制器來(lái)鎮(zhèn)定系統(tǒng)。7.2頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)及仿真(超前校正)直線一級(jí)倒立擺的頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)可以表示為如下問(wèn)題:考慮一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：g(s)二 ©二°°2725' v(s) 0.010212552 -0.26705設(shè)計(jì)控制器q(s),使得系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差常數(shù)為io,相位裕量為5(r ,增益裕量等于或大于10分貝。根據(jù)要求，控制器設(shè)計(jì)如下：1) 選擇控制器，上面我們已經(jīng)得到了系統(tǒng)的bode圖，可以看出，給系統(tǒng)增加一個(gè)超前校正就可以滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求，設(shè)超前校正裝置為:gs) = kca7 + 1a

27、tsl1s + -£ +at已校正系統(tǒng)具有開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)gf.(s)g(s)g (s) = kg(s)=0.02725 xk0.0102125"0.26705式中k = kca o2)根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤羌要求計(jì)算增益k ,k=limq(s)g(s)二p5->01汕盲 x0-02725=10一0 c 丄 10.0102125?-0.26705at可以得到：kca = 9s = k于是有：_0.02725x981 0.0102125?-0.267053)在matlab中畫(huà)出g】(s)的bode圖:500op) apnjtcewsode diagram10frequency (rad

28、/$)nyquet diagram.sxv ajbu&be-10-9-8real axis4) 可以看出，系統(tǒng)的相位裕量為oo,根據(jù)設(shè)計(jì)要求，系統(tǒng)的相位裕 量為50。，因此需要增加的相位裕量為50“，增加超前校正裝置會(huì)改變 bode圖的幅值曲線，這時(shí)增益交界頻率會(huì)向右移動(dòng)，必須對(duì)增益交 界頻率增加所造成的g(je)的相位滯后增量進(jìn)行補(bǔ)償，因此，假設(shè)需 要的最大相位超前量血近似等于60。因?yàn)閟in血=-1 +力計(jì)算可以得到：a =0.07185) 確定了衰減系統(tǒng)，就可以確定超前校正裝置的轉(zhuǎn)角頻率3 = vt 和3 =1/( a t),可以看出，最大相位超前角血發(fā)生在兩個(gè)轉(zhuǎn)角頻率 的幾何中

29、心上，即a)=/(4at),在a)=/(yfat)點(diǎn)上，由于包含 (ts+l)/(ats+l)項(xiàng)，所以幅值的變化為：1+腳1 +丿如7訥忌）14a= 11.4386 分貝并且|g（jq）| =-11.4386分貝對(duì)應(yīng)于3 = 30.8181 rad/s,我們選擇此頻率作為新的增益交界頻率©，這一頻率相應(yīng)于0=1/（巫t）,即© = 1 / (a t),于是1oa©4a115.01486）于是校正裝置確定為:g,s) = kfn+i+ 1s +8.9854$ + 90.3965= 13657) 增加校正后系統(tǒng)的根軌跡和奈魁斯特圖如下：使用matlab畫(huà)圖的m文件為:

30、clear;phi=60;alpha=solve(1sind(phi) = (1-alpha)/(1+alpha) 1, 1 alpha1);kc=98/alpha;r=solve('0.02725*98/(0.010212 5*ommigaa2 + 0 2 67 05) = (alpha)a0.5', 'ommiga')；ommiga=r(1);zc=alphaa05*ommiga;pc=zc/alpha;num=98*0.02725;den=0.0102125 0 -026705; subplot(2,1,1);bode(num, den)subplot(2

31、,1,2);nyquist(num,den)z=roots(num);p=roots(den);za=z;-82577;pa=p;-115.0148;k=1365;sys=zpk(za,pa,k);figuresubplot (2,1,1)bode (sys)subplot (2,1,2)nyquist (sys)figuresysc=sys/(1+sys);t=0:0005:5;impulse(sysc,t);figurestep(sysc,t);從bode圖中可以看岀'系統(tǒng)具右要求的相角裕度和幅值裕度，從奈 魁斯特圖中可以看出，曲線繞j點(diǎn)逆時(shí)針一圈，因此校正后的系統(tǒng) 穩(wěn)定。sode

32、 diagramfrequency (rad/$).sxv ajbu&be-得到系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如下:step response25335445time (seconds)得到系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如下:impure response022.5time seconds)1210可以看出，系統(tǒng)在遇到干擾后，在1秒內(nèi)可以達(dá)到新的平衡，但是 超調(diào)量比較大。3007.3實(shí)時(shí)控制結(jié)果（超前校正）3.5l13一(9125一11-215-1一-0.5a1 1502002500100150time7.4頻率響應(yīng)設(shè)計(jì)（滯后超前校正）通過(guò)上面的實(shí)驗(yàn)可以看出，系統(tǒng)存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，為使系統(tǒng) 獲得快速響應(yīng)特性

33、，又可以得到良好的靜態(tài)精度，我們采用滯后一超 前校正（通過(guò)應(yīng)用滯后一超前校正，低頻增益增大，穩(wěn)態(tài)精度提高， 又可以增加系統(tǒng)的帶寬和穩(wěn)定性裕量），設(shè)滯后一超前控制器為：（s+*）（s+*）q（s）+卞（s+）（s+）參考相關(guān)教材設(shè)計(jì)滯后-超前控制器。求得控制器為：（sh）（sh）g.=k.夕 t： = 980x54 % $ + 2（s+0）（s+丄）5 + 90.3965 5 + 0.1988可以得到靜態(tài)誤差系數(shù)：/f=limg（s）g（. （s） = 100.6p sto比超前校正提高了很多，因?yàn)橐?零點(diǎn)和一0.1988極點(diǎn)比較接 近，所以對(duì)相角裕度影響等不是很大，滯后超前校正后的系統(tǒng)bode

34、 圖和奈魁斯特圖如下所示：sode diagramlil r -50100-90frequency (rad/$)vo o 1 27nyquet diagram-3530-2s20real axt32015s-xv?euaee單位脈沖響應(yīng)為:impulse response7,5實(shí)時(shí)控制結(jié)果（滯后超前校正）0500.50100150time/s2007.6頻域分析校正方法小結(jié)超前校正的主要作用，是對(duì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)引入超前相位，改變 頻率響應(yīng)曲線的形狀，以補(bǔ)償原系統(tǒng)較大的滯后相角，使系統(tǒng)穩(wěn)定， 改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。串聯(lián)超前校正的優(yōu)點(diǎn)：保證低頻段滿(mǎn)足穩(wěn)態(tài)誤差，改善中頻段, 使截止頻率增大，相角裕度變

35、大，動(dòng)態(tài)性能提高，高頻段提高使其抗 噪聲干擾能力降低。滯后超前校正兼有滯后校正和超前校正的優(yōu)點(diǎn)。使得被校正系 統(tǒng)的響應(yīng)速度變快，超調(diào)變小，抑制高頻噪聲的性能變好。當(dāng)對(duì)系統(tǒng) 的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)性能有較高要求時(shí)，宜采用lag-lead校正。八、pid控制實(shí)驗(yàn)8.1 pid控制經(jīng)典控制理論的研究對(duì)象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設(shè) 計(jì)時(shí)一般需要有關(guān)被控對(duì)象的較精確模型。pid控制器因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn) 單，容易調(diào)節(jié)，且不需要對(duì)系統(tǒng)建立精確的模型，在控制上應(yīng)用較 廣。8.2 pid參數(shù)設(shè)定及仿真由實(shí)際系統(tǒng)的物理模里：(s) _0.02725v(s) 0.01021252 - 0.26705pid控制器的傳遞函數(shù)為k

36、d(s) = kds + k“+£需仔細(xì)調(diào)節(jié)pid控制器的參數(shù)，以得到滿(mǎn)意的控制效果。在matlab中建立m文件以仿真不同參數(shù)下pid控制的效果，代碼如下：clear;num=002725;den=0.0102125 0 一0.26705;kp=60;ki=12;kd=15; numpid=kd kp ki;denpid=l 0;syspid=tf(numpid,denpid); sysgs=tf(num,den);sysg=series(syspid, sysgs);sys=sysg/(1 + sysg);figure (1);t=0:0005:10;step(sys);figur

37、e (2);impulse (sys);我們通過(guò)試湊法尋找合適的pid參數(shù)。我們?cè)谠嚋愡^(guò)程中發(fā)現(xiàn)， 比例系數(shù)心 可以增強(qiáng)系統(tǒng)的快速性，但不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性；微分 系數(shù)k,可以增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但不利于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；積分系 數(shù)心 可以改善動(dòng)態(tài)特性，并減少穩(wěn)態(tài)誤差，但是會(huì)使穩(wěn)定時(shí)間增加。 了解了這些特性，我們按照平衡各方面特性的想法，最終我們一共找 到了三組參數(shù)，均能達(dá)到較好控制效果。第一組，k“=40;k/=0;心=10單位階躍響應(yīng)仿真曲線如下:step responsej1.8g1 g a0206time (seconds)單位脈沖響應(yīng)仿真曲線如下:imp use responsetime

38、(seconds)第二組，k“=40;k/=12;心=4單位階躍響應(yīng)仿真曲線如下:step responsen 1.8g10.0.5time(5ocbnds)單位脈沖響應(yīng)仿真曲線如下:100206inpude responsetime (seconds)第三組，k” = 60; k/ = 12; k° = 15單位階躍響應(yīng)仿真曲線如下：step response02time (seconds)1.6 1.8單位脈沖響應(yīng)仿真曲線如下:302520imp use response010203time (secbnds)0608098.3實(shí)時(shí)控制結(jié)果第一組，k“=40;k/=0;k

39、6; = 10353252i is0.50°5o204060 80180160140120100time/s200p2/e-6uvi1111111i一-一11-一-1-/一 /1 11 1 12206080100time/s120140160180200第三組，心=60; k/ = 12; k° = 1520406080120160180200140100time/s0508.4 pid控制小結(jié)在本次pid實(shí)驗(yàn)中，令我對(duì)pid控制器的設(shè)計(jì)有一定的了解。當(dāng) 僅有比例控制時(shí)，控制器的輸出與輸入誤差信號(hào)成正比關(guān)系，存在穩(wěn) 態(tài)誤差。但在控制器中僅引入“比例”項(xiàng)往往是不夠的，比例項(xiàng)的

40、作用 僅是放大誤差的幅值，在存在有較大慣性組件（環(huán)節(jié)）或有滯后 （delay）組件的控制系統(tǒng)中，這些環(huán)節(jié)具有抑制誤差的作用，其變 化總是落后于誤差的變化，導(dǎo)致自動(dòng)控制系統(tǒng)在克服誤差的調(diào)節(jié)過(guò)程 中可能會(huì)出現(xiàn)振蕩甚至失穩(wěn)。此時(shí)需要增加的是“微分項(xiàng)”，它使控 制器的輸出與輸入誤差信號(hào)的微分（即誤差的變化率）成正比關(guān)系， 能預(yù)測(cè)誤差變化的趨勢(shì)，這樣，具有比例+微分的控制器，就能夠提 前使抑制誤差的控制作用等于零，甚至為負(fù)值，從而避免了被控量的 嚴(yán)重超調(diào)，增強(qiáng)穩(wěn)定性。但穩(wěn)態(tài)誤差并不因?yàn)榧尤搿皃”和“i”而消除，為了消除穩(wěn)態(tài)誤 差，在控制器中必須引入“積分項(xiàng)”。在積分控制中，控制器的輸出 與輸入誤差信號(hào)的

41、積分成正比關(guān)系。積分項(xiàng)對(duì)誤差取決于時(shí)間的積 分，隨著時(shí)間的增加，積分項(xiàng)會(huì)增大。這樣，即便誤差很小，積分項(xiàng) 也會(huì)隨著時(shí)間的增加而加大，它推動(dòng)控制器的輸出增大使穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn) 一步減小，直到等于零。pid的三個(gè)參數(shù)相輔相成，因此可以通過(guò)不斷嘗試來(lái)獲得最佳的 控制效果，但在嘗試時(shí)應(yīng)緩慢調(diào)節(jié)各參數(shù)，因?yàn)閜id參數(shù)的微小變化 很多時(shí)候會(huì)使控制系統(tǒng)的響應(yīng)有劇烈變化。九、狀態(tài)空間極點(diǎn)配置實(shí)驗(yàn)9.1極點(diǎn)配置及仿真 9.1.1極點(diǎn)配置前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺的狀態(tài)空間模型，以小車(chē)加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程為:x_0100 x000000001 00029.40xx+103uo o+x 0 0o oo 1o

42、 o1 o- -兀 0-y直線一級(jí)倒立擺的極點(diǎn)配置轉(zhuǎn)化為：對(duì)于如上所述的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制器，要求系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時(shí) 間（約3秒）和合適的阻尼（阻尼比q = 0.5）o按極點(diǎn)配置步驟進(jìn)行計(jì)算。1）檢驗(yàn)系統(tǒng)可控性，由報(bào)告第五部分系統(tǒng)可控性分析可以得到, 系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù)（4）,系統(tǒng)的輸出 完全可控性矩陣的秩等于系統(tǒng)輸出向量y的維數(shù)（2）,所以系統(tǒng)可控。2）計(jì)算特征值根據(jù)要求，并留有一定的裕量，我們選取期望的閉環(huán)極點(diǎn)s = “,(i = l,2,3,4),其中:叢=一10,2 二一10,“3 =-1.5 + ；3v0.75,/z4 =-1.5-./3v0.75其中，角,

43、“4使一對(duì)具有$ = 0.5,© =3的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)，口,角位于主 導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的左邊，因此其影響較小，因此期望的特征方程為：(s- m )(s “2 )(s “3 )(s “4)=(s+10)(s+ 10)(s+1.5 j3v075)(s-1.5 + ；3v(x75)=s4+ 23 y +169s2 + 4805 + 900因此可以得到：ocx 23, a, 169, a、 480,(xa 900由系統(tǒng)的特征方程：si-a = s4-29as2因此有：ax 0, a2 = 29.4, a3 = 0, a4 = 0系統(tǒng)的反饋增益矩陣為:a： = a4-a4;a3-a3;a2-a2;a1

44、 -ajt"13) 確定使?fàn)顟B(tài)方程變?yōu)榭煽貥?biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣t:t = mw式中:m=b;ab;a2b;a3b =00088.20088.20tz3 a2r 0-29.40ra2 qi0-29.4010q 10001001 000_ 1000于是可以得到:t = mw =-29.400.00-0.03401-29.4003000.011300103_(0.0)_1131-0.0340廠i _000.33330_ 0000.33334）于是有狀態(tài)反饋增益矩陣為:k二禺 _&4；03 _&3；。2 _幻；0 ajt"1900 - 0; 480-0;169 + 29

45、.4; 23-01-0.0340000-0.034000.011300.3333000.011300.3333=-30.6122 -16.3265 76.3374 13.1088得到控制量為：“ =kx 二 30.6122兀 +16.3265%- 76.33740-130880以上計(jì)算可以采用matlab編程計(jì)算。clear;a= 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0;b=0 103*;c= 1 0 0 0; 0 0 1 0;d=0 01;j=-10 0 0 0; 0-10 0 0; 0 0 -1.5-3*sqrt(0.75)*li 0;0 0 0-1.5

46、+3*sqrt(0.75)*li;pa=poly(a);pj=poly(j);m=b a*b aa2*b aa3*b;w= pa(4) pa pa 1; pa pa 1 0;pa(2) 100; 1000;t=m*w;k二pj(5)pa(5) pjpa pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)/tac = (a-b*k);be = b; cc = c; de = d;t=0:0.005:5;u=0.2*ones(size(t);cn=10 0 0;nbar=rscale(a,b,cn,o,k);bcn=nbar*b;xx=lsim(ac/bcn/cc,dc,u,t); plot(xx(:,l),-,color,/recl,)； hold on;plotccxj:)/-1,'color','yellow'); hold on;plot(tzx(:,3),'color','green'); hold on;plotftxf:/)；-1)l