北京市西城區(qū)2014 — 2015學年高三(文)第一學期期末試卷

1、北京市西城區(qū)2014 2015學年度第一學期期末試卷 高三數(shù)學（文科） 2015.1第卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 1設集合，則集合（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，所以故答案為：B【考點】集合的運算【難度】 12設命題：，則為（ ） （A）（B） （C）（D）【答案】B【解析】“”的否定為“”，“”的否定為“”所以，為：故答案為：B【考點】全稱量詞與存在性量詞【難度】 13在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c. 若為銳角，則（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由正

2、弦定理得，所以，所以。因為為銳角三角形，所以故答案為：A【考點】正弦定理【難度】 1a=2，x=3開始 x=x+1輸出x結束否是4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的x值為（ ） （A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】時，；時，；時，；時，輸出。故答案為：C【考點】算法和程序框圖【難度】 15設函數(shù)的定義域為，則“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（ ）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，滿足，但不是奇函數(shù)；若是上的奇函數(shù)，則有，所以，即。所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的必要而不充分條件。故答案為：B【考點】充分條件與必要條件【難度】 16

3、. 某天，甲要去銀行辦理儲蓄業(yè)務，已知銀行的營業(yè)時間為9：00至17：00，設甲在當天13：00至18：00之間任何時間去銀行的可能性相同，那么甲去銀行恰好能辦理業(yè)務的概率是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】此題是幾何概型的題，如圖所示：13:0018:00 共5個小時，其中13:0017:00 這4個小時，可以辦理業(yè)務，所以甲去銀行且恰好能辦理業(yè)務的概率是故答案為：D【考點】幾何概型【難度】 27 設拋物線的焦點為F，過F的直線與W相交于A，B兩點，記點F到直線l：的距離為，則有（ ） （A）（B） （C）（D）【答案】A【解析】設中點為，準線與軸的交點為，分別過作準線

4、的垂線，分別交準線與點，如圖所示：由拋物線的定義可知，所以.為梯形的中位線，所以當且僅當垂直于軸時，否則，若不垂直于軸，則四邊形為梯形，且。綜上，所以故答案為：A【考點】拋物線【難度】 2ABECDGHF8. 如圖，在空間四邊形中，兩條對角線互相垂直，且長度分別為4和6，平行于這兩條對角線的平面與邊分別相交于點，記四邊形的面積為y，設，則（ ） （A）函數(shù)的值域為 （B）函數(shù)的最大值為8 （C）函數(shù)在上單調遞減 （D）函數(shù)滿足 【答案】D【解析】由題可得，所以.同理，所以，所以四邊形為平行四邊形，又,所以,所以平行四邊形為矩形，因為，所以，所以，因為，所以,所以。所以矩形的面積，函數(shù)圖象關于對

5、稱，在上單調遞增，在上單調遞減，可求得，所以值域是。故答案為：D【考點】函數(shù)模型及其應用【難度】 3第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9. 復數(shù)，則_.【答案】【解析】，所以故答案為：【考點】復數(shù)綜合運算【難度】 110設平面向量滿足，那么的夾角_.【答案】【解析】因為，所以故答案為：【考點】平面向量的線性運算【難度】 111一個四棱錐的三視圖如圖所示，那么這個四棱錐最長棱的棱長為_. 【答案】【解析】根據(jù)三視圖畫出此四棱錐的直觀圖：其中，根據(jù)此四棱錐的特征可知，最長棱可能為或.求得.所以最長棱為，長度為.故答案為：【考點】空間幾何體的三視圖與直觀圖【

6、難度】2 12設為雙曲線C：的左、右焦點，且直線為雙曲線C的一條漸近線，點P為C上一點，如果，那么雙曲線C的方程為_；離心率為_.【答案】 【解析】因為直線是雙曲線的一條漸近線，所以.因為，所以，所以.雙曲線的方程為；因為，所以離心率【考點】雙曲線【難度】213. 某小學教師準備購買一些簽字筆和鉛筆盒作為獎品，已知簽字筆每支5元，鉛筆盒每個6元，花費總額不能超過50元. 為了便于學生選擇，購買簽字筆和鉛筆盒的個數(shù)均不能少于3個，那么該教師有_種不同的購買獎品方案. 【答案】【解析】設購買簽字筆支，鉛筆盒個，根據(jù)題意，需滿足條件，當時，；當時，；當時，；當時，；時無解.所以該教師有9種不同的購買

7、方案.故答案為：【考點】線性規(guī)劃【難度】214. 設函數(shù)（1）如果，那么實數(shù)_； （2）如果函數(shù)有且僅有兩個零點，那么實數(shù)的取值范圍是_. 【答案】或4 【解析】由題意，解得；第二問如圖：的圖像是由兩條以為頂點的射線組成，當在之間（包括不包括）時，函數(shù)的圖像和直線有兩個交點，即由兩個零點。所以的取值范圍是故答案為：或4 【考點】零點與方程【難度】2三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）已知函數(shù)，xR .（）求函數(shù)的最小正周期；（）判斷函數(shù)在區(qū)間上是否為增函數(shù)？并說明理由.【答案】見解析【解析】（）解：因為，所以函數(shù)的最小正周期.

8、 （）解：結論：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù). 理由如下：由， 解得， 所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，. 當時，知在區(qū)間上單調遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).【考點】三角函數(shù)綜合【難度】316（本小題滿分13分）已知數(shù)列滿足，且其前項和（）求的值和數(shù)列的通項公式； （）設數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，且其前項和滿足，求的取值范圍【答案】見解析【解析】（）解：由題意，得， 因為 ， 所以 ，解得 . 所以 當時，由， 得 . 驗證知時，符合上式，所以，. （）解：由（），得.因為 ，所以 ， 解得 又因為，所以的取值范圍是 【考點】數(shù)列綜合應用【難度】317（本小題滿分14分）B CA1 D1D A B1 C1

9、E F 如圖，在四棱柱中，底面，且，. 點E在棱AB上，平面與棱相交于點F.（）求證：平面； （）求證： 平面；（）寫出三棱錐體積的取值范圍. （結論不要求證明）【答案】見解析【解析】B CA1 D1D A B1 C1 E F （）證明：因為是棱柱，所以平面平面.又因為平面平面，平面平面，所以 . 又 平面，平面，所以 平面. （）證明：在四邊形ABCD中，因為 ，,且，所以 ，.所以 ，即. 因為 平面平面，所以 . 因為在四棱柱中，所以 . 又因為 平面，所以 平面. （）解：三棱錐的體積的取值范圍是.【考點】立體幾何綜合【難度】318（本小題滿分13分） 最近，張師傅和李師傅要將家中閑置

10、資金進行投資理財. 現(xiàn)有兩種投資方案，且一年后投資盈虧的情況如下： （1） 投資股市：投資結果獲利不賠不賺虧損概 率（2） 購買基金：投資結果獲利不賠不賺虧損概 率（）當時，求q的值；（）已知“購買基金”虧損的概率比“投資股市”虧損的概率小，求的取值范圍；（）已知張師傅和李師傅兩人都選擇了“購買基金”來進行投資，假設三種投資結果出現(xiàn)的可能性相同，求一年后他們兩人中至少有一人獲利的概率【答案】見解析【解析】（）解：因為“購買基金”后，投資結果只有“獲利”、“不賠不賺”、“虧損”三種且三種投資結果相互獨立，所以 +=1. 又因為 ， 所以 = （）解：由“購買基金”虧損的概率比“投資股市”虧損的概

11、率小，得 ，因為 +=1， 所以 ，解得 . 又因為 ，所以 .所以 . （）解：記事件為 “一年后張師傅和李師傅兩人中至少有一人獲利”， 用，分別表示一年后張師傅購買基金“獲利”、“不賠不賺”、“虧損”，用，分別表示一年后李師傅購買基金“獲利”、“不賠不賺”、“虧損”，則一年后張師傅和李師傅購買基金，所有可能的投資結果有種， 它們是：， 所以事件的結果有5種，它們是：，.因此這一年后張師傅和李師傅兩人中至少有一人獲利的概率. 【考點】概率綜合【難度】319（本小題滿分14分）已知橢圓C：的右焦點為F，右頂點為A，離心率為e，點滿足條件.（）求m的值；（）設過點F的直線l與橢圓C相交于M，N兩

12、點，記和的面積分別為，若,求直線l的方程.【答案】見解析【解析】（）解：因為橢圓C的方程為 ，所以 , 則 ，.因為 ，所以 . （）解：若直線l的斜率不存在，則有 ，不合題意. 若直線l的斜率存在，設直線l的方程為，.由 得 ， 可知 恒成立，且 ，.因為和的面積分別為，,所以. 即 .所以 ，則 ，即 ，即 ，解得 . 所以直線l的方程為 或 .【考點】圓錐曲線綜合【難度】420（本小題滿分13分）對于函數(shù)，如果它們的圖象有公共點P，且在點P處的切線相同，則稱函數(shù)和在點P處相切，稱點P為這兩個函數(shù)的切點.設函數(shù),.（）當,時, 判斷函數(shù)和是否相切？并說明理由； （）已知，且函數(shù)和相切，求切點P的坐標； （）設，點P的坐標為，問是否存在符合條件的函數(shù)和，使得它們在點P處相切？若點P的坐標為呢？（結論不要求證明）【答案】見解析【解析】（）解：結論：當,時,函數(shù)和不相切. 理由如下：由條件知，由，得， 又因為 ， 所以當時，所以對于任意的，.當,時,函數(shù)和不相切. （）解：若，則，設切點坐標為 ，其中,由題意，得 ， ， 由，