高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)小題精做系列之?dāng)?shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與極限1（精編版）

1、- 1 - 江西省 高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)小題精做系列之?dāng)?shù)列、 數(shù)學(xué)歸納法與極限1一基礎(chǔ)題組1. 【上海市黃浦區(qū)2014 屆高三上學(xué)期期末考試即一模數(shù)學(xué)理試題】已知數(shù)列na是公差為2 的等差數(shù)列，假設(shè)6a是7a和8a的等比中項，則na=_. 2. 【 上海市嘉定區(qū)2014 屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研一模 數(shù)學(xué)理 試卷】 已知數(shù)列na的前n項和2nsn*nn ，則8a的值是 _3. 【上海市嘉定區(qū)2014 屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研一模數(shù)學(xué) 理試卷】假設(shè)nnrr12lim存在，則實數(shù)r的取值范圍是_4. 【虹口區(qū)2013 學(xué)年度第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科期終教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測試題】在nnncba- 2 - 中，

2、記角na、nb、nc所對的邊分別為na、nb、nc，且這三角形的三邊長是公差為1 的等差數(shù)列，假設(shè)最小邊1nan，則nnclim .a2.b3.c4.d65. 【上海市浦東新區(qū)20132014 學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測高三數(shù)學(xué)試卷理卷】221lim2nnnn_. 6. 【上海市普陀區(qū)2014 屆高三上學(xué)期12 月質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué) 理試題】假設(shè)圓1)1(22yx的圓心到直線:nl0nyx*nn的距離為nd，則nndlim . 【答案】 1 【解析】試題分析：圓心為(0,1)，21nndn，221limlim1111nnnnn考點：點到直線距離公式，極限7. 【 2013學(xué) 年 第 一 學(xué) 期 十

3、二 校 聯(lián) 考 高 三 數(shù) 學(xué) 理 考 試 試 卷 】 計 算 ：- 3 - 2(1)(1 3 )lim(2)(1)nnnn nn_8. 【上海市浦東新區(qū)20132014 學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測高三數(shù)學(xué)試卷理卷】已知數(shù)列na中，11a，*13,(2,)nnaannn，則na=_. 9. 【 2013 學(xué)年第一學(xué)期十二校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)理考試試卷】設(shè)正項數(shù)列na的前 n 項和是ns, 假設(shè)na和ns都是等差數(shù)列, 且公差相等 , 則1a=_. 【答案】14【解析】試題分析： 等差 數(shù)列na的公差為d，則21()22nddsnan，21()22nddsnan，數(shù)列ns是等差數(shù)列，則ns是關(guān)于n的一

4、次函數(shù)或者是常函數(shù)，則102da，2ndsn，從而數(shù)列ns的公差是2d，那么有2dd，0d舍去或12d，114a- 4 - 考點：等差數(shù)列的通項公式10. 【 上 海 市 十 三 校2013年 高 三 調(diào) 研 考 數(shù) 學(xué) 試 卷 理 科 】 計 算 ：2211lim()12nnnnn=_11. 【上海市十三校2013 年高三調(diào)研考數(shù)學(xué)試卷理科】設(shè)正數(shù)數(shù)列na的前n項和是ns,假設(shè)na和ns 都是等差數(shù)列 , 且公差相等 , 則da1_ _. 12. 【 2013 學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科理科】計算：210lim323xnn= . 【答案】23【解析】試題分析： 這屬于

5、“”型極限問題， 求極限的方法是分子分母同時除以nn的最高次冪 ，化為一般可求極限型，即210lim323xnn1022lim2333nnn- 5 - 考點：“”型極限13. 【 2013 學(xué) 年 第 一 學(xué) 期 徐 匯 區(qū) 學(xué) 習(xí) 能 力 診 斷 卷 高 三 年 級 數(shù) 學(xué) 學(xué) 科 理 科 】 如 果1111112312nf nnn(*nn) 那么1f kf k共有項. 14. 【上海市楊浦區(qū)20132014 學(xué)年度第一學(xué)期高三年級學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷理科】計算：133limnnn15. 【上海市長寧區(qū)2013 2014 第一學(xué)期高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷理科】已知數(shù)列nnba,都是公差為1

6、的等差數(shù)列 , 其首項分別為11,ba, 且,511ba,11nba設(shè)),(nnacnbn則數(shù)列nc的前 10 項和等于 _. 【答案】85【解析】試題分析：數(shù)列nc到底是什么暫時不知，因此我們試著把其前10 項的和10s表示出來，1210bbsaa10ba11121(1)(1)(1)nababab1121010()10abbb- 6 - 1110 91010102ab1110()451085ab. 考點：等差數(shù)列的通項公式與前n和公式 .二能力題組1. 【上海市黃浦區(qū)2014 屆高三上學(xué)期期末考試即一模數(shù)學(xué)理試題】已知數(shù)列na滿足nnnaannn,11，則數(shù)列na的前 2016 項的和201

7、6s的值是 _可行，由此我們可得2016s12344342414()()kkkkaaaaaaaa20132014(aa2015a2016)a(222)(22 6)(22(42)(222014)k25044(1351007)1017072- 7 - 考點：分組求和2.【 上海市嘉定區(qū)2014 屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研一模數(shù)學(xué)理試卷】某種平面分形圖如以下圖所示，一級分形圖是一個邊長為1的等邊三角形圖1 ；二級分形圖是將一級分形圖的每條線段三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊圖2 ；將二級分形圖的每條線段三等邊，重復(fù)上述的作圖方法，得到三級分形圖圖 3 ；重復(fù)上述作圖

8、方法，依次得到四級、五級、n級分形圖則n級分形圖的周長為 _3. 【虹口區(qū)2013 學(xué)年度第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科期終教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測試題】已知函數(shù)2sin)(2nnnf，且)1()(nfnfan，則2014321aaaa【答案】4032【解析】試題分析： 考慮到sin2n是呈周期性的數(shù)列，依次取值1,0, 1,0,，故在122014aaa時要分組求和，又由na的定義，知1352013aaaa(1)(2)(3)(4)(2013)(2014)ffffff22222213572009201120131(53)(53)(97)(97)圖 1圖 2圖 3- 8 - (20132011) (2013201

9、1)12(357920112013)1 1006 2016，242014aaa(2)(3)(4)fff(5)(2014)(2015)fff2222352013201522(352013)20152100620062015，從而122014aaa12 1006 2016220154032考點：周期數(shù)列，分組求和4. 【虹口區(qū)2013 學(xué)年度第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科期終教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測試題】已知na是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且1a與5a的等比中項為2， 則42aa的最小值等于5.【 上海市長寧區(qū)20132014第一學(xué)期高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷理科】數(shù)列na滿足*,5221.2121221nnnaaa

10、nn，則na . 6. 【上海市浦東新區(qū)20132014 學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測高三數(shù)學(xué)試卷理卷】已知- 9 - 函數(shù),1)(22xxxf則111112(2013)20142320132014ffffffff (a) 201021 (b) 201121 (c) 201221 (d) 2013217. 【上海市普陀區(qū)2014 屆高三上學(xué)期12 月質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué) 理試題】數(shù)列na中， 假設(shè)11a，nnnaa211*nn ，則)(lim221nnaaa . 8. 【上海市普陀區(qū)2014 屆高三上學(xué)期12 月質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)理試題】數(shù)列na的前n項和為ns，假設(shè)2cos1nnan*nn ，則2014s

11、. 【答案】 1006 【解析】試題分析：組成此題數(shù)列的通項公式中，有式子cos2n，它是呈周期性的，周期為4，因此- 10 - 在求和2014s時，想象應(yīng)該分組，依次4個為一組，12341(12)1(14)aaaa6，56781(16)1(18)6aaaa，434241411(42)1(14 )kkkkaaaakk6， 最后還剩下20131a，2014120142013a， 所以20146 503120131006s考點：分組求和9. 【 2013 學(xué)年第一學(xué)期十二校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)理考試試卷】假設(shè)數(shù)列na滿足：111,2()nnaaann，則前 6 項的和6s .用數(shù)字作答10. 【上海市十三

12、校2013 年高三調(diào)研考數(shù)學(xué)試卷理科】 等差數(shù)列na中，1102,15as，記2482nnbaaaa，則當(dāng)n_時，nb取得最大值 . 11. 【 上 海 市 十 三 校2013年 高 三 調(diào) 研 考 數(shù) 學(xué) 試 卷 理 科 】 已 知 函 數(shù)2318,3133,3xtxxfxtxx，記*naf nnn，假設(shè)na是遞減數(shù)列，則實數(shù)t的- 11 - 取值范圍是 _. 12. 【上海市十三校2013 年高三調(diào)研考數(shù)學(xué)試卷理科】已知無窮數(shù)列na具有如下性質(zhì) : 1a為 正 整 數(shù) ； 對 于 任 意 的 正 整 數(shù)n, 當(dāng)na為 偶 數(shù) 時 ,12nnaa; 當(dāng)na為 奇 數(shù)時,112nnaa. 在數(shù)

13、列na中，假設(shè)當(dāng)nk時，1na，當(dāng)1nk時，1na2k，*kn ，則首項1a可取數(shù)值的個數(shù)為用k表示三拔高題組1. 【虹口區(qū)2013 學(xué)年度第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科期終教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控測試題】數(shù)列na是遞增的等差數(shù)列，且661aa，843aa1求數(shù)列na的通項公式；2求數(shù)列na的前n項和ns的最小值；3求數(shù)列na的前n項和nt【答案】 (1)210nan； 220； 3229 ,15,*,940,6,*,nnnnnntnnnnn- 12 - 【解析】- 13 - 2. 【 上海市普陀區(qū)2014 屆高三上學(xué)期12 月質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué) 理試題】已知數(shù)列na中，13a，13 2nnnaa，*nn. 1證明數(shù)

14、列2nna是等比數(shù)列，并求數(shù)列na的通項公式；2在數(shù)列na中，是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？假設(shè)存在，求出所有符合條件的項；假設(shè)不存在，請說明理由；3假設(shè)1 rs且r，*sn，求證：使得1a，ra，sa成等差數(shù)列的點列, r s在某一直線上 . - 14 - 2假設(shè)在數(shù)列na中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列，不妨設(shè)連續(xù)的三項依次為1ka，ka，1ka2k，*kn ，由題意得，112kkkaaa，將1)1(2kkka，211) 1(2kkka，kkka)1(211代入上式得7 分)1(2)1(2) 1(221211kkkkkk 8 分化簡得，21)1(42kk，即11)1(42kk，得4)2(1k，解得3

15、k所以，存在滿足條件的連續(xù)三項為2a，3a，4a成等比數(shù)列。10 分3. 【上海市十三校2013 年高三調(diào)研考數(shù)學(xué)試卷理科】 已知無窮數(shù)列na的前n項和為ns，且滿足2nnnsaabac，其中a、b、c是常數(shù) . 1假設(shè)0a，3b，2c，求數(shù)列na的通項公式；2假設(shè)1a，12b，116c，且0na，求數(shù)列na的前n項和ns；3試探究a、b、c滿足什么條件時，數(shù)列na是公比不為1的等比數(shù)列 . 【答案】113( )2nna； 224nns； 30a，11qbq或12或0，0c- 15 - 3假設(shè)數(shù)列na是公比為q的等比數(shù)列，- 16 - 4. 【 2013 學(xué)年第一學(xué)期徐匯區(qū)學(xué)習(xí)能力診斷卷高三年

16、級數(shù)學(xué)學(xué)科理科】稱滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列12,na aa為2,3,4,n n階“期待數(shù)列” ：1230naaaa；1231naaaa. 1假設(shè)等比數(shù)列na為2*k kn階“期待數(shù)列” ，求公比q及na的通項公式；2假設(shè)一個等差數(shù)列na既是2*k kn階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；3記n階“期待數(shù)列”ia的前k項和為1,2,3,kskn：i 求證：12ks；- 17 - ii 假設(shè)存在1,2,3,mn使12ms，試問數(shù)列ks能否為n階“期待數(shù)列”？假設(shè)能，求出所有這樣的數(shù)列；假設(shè)不能，請說明理由. 【答案】1或；2；3 i 證明見解析； ii 不能，證明見解析試題解析：1假

17、設(shè)，由得，得，矛盾 -1分假設(shè)，則由=0，得，-3分由得或- 18 - 所以，數(shù)列的通項公式是或-4分- 19 - 記數(shù)列ks(1,2,3, )kn的前k項和為kt，則由 i 知，12kt，1212mmtsss，而12ms，1210msss，從而1210maaa，12ma，又1212mmnaaa，則12,0mmnsss，-16分123123nnssssssss，1230nssss與123nssss1不能同時成立，所以，對于有窮數(shù)列12,(2,3,4,)na aan，假設(shè)存在1,2,3, mn使12ms，則數(shù)列na的和數(shù)列ks(1,2,3, )kn不能為n階“期待數(shù)列” -18分考點：1等比數(shù)列

18、的前n和公式與通項公式； 2等差數(shù)列的前n和公式與通項公式； 3數(shù)列綜合題5. 【上海市黃浦區(qū)2014 屆高三上學(xué)期期末考試即一模數(shù)學(xué)理試題】 已知數(shù)列na，- 20 - 滿足62a，naaaannnn11111nn，1已知1111,(*)(1)nnabbnnn n，求數(shù)列nb所滿足的通項公式；2求數(shù)列na的通項公式；3己知02limnnn，設(shè)ncnanc(*)nn，常數(shù)0,ccr, 假設(shè)數(shù)列nc是等差數(shù)列，記23123nnnsc cc cc cc c，求limnns. 【答案】11,112,21nnbnn； 2(21)nann； 349.【解析】試題分析：1這屬于數(shù)列的綜合問題，我們只能從已

19、知條件出發(fā)進(jìn)行推理，以向結(jié)論靠攏，由 已 知11111nnnnaaaan可 得1(1)(1)(1)nnnanan， 從 而 當(dāng)1n時 有 結(jié) 論11(1)(1)nnaannn nn11n，很幸運，此式左邊正好是1nnbb，則此我們得到了數(shù)列nb的相鄰兩項的差1nnbb，那么為了求nb，可以采取累加的方法也可引進(jìn)新數(shù)列求得， 注意這里有2n，對1b要另外求得； 2有了第 1小題nb，那么求na就方便多了，因為(1)nnan nb，這里不再累贅不； 3在 2基礎(chǔ)上有(21)nnncnc，我們只有求出c才能求出ns，這里可利用等差數(shù)列的性質(zhì)， 其通項公式為n的一次函數(shù)當(dāng)然也可用等差數(shù)列的定義求出12

20、c，從而得到2ncn，那么和ns的求法大家應(yīng)該知道是乘公比錯位相減法，借助已知極限lim02nnn可求出極限limnns. - 21 - 1,112,21nnbnn. 說明：這里也可利用1111111(1)11nnnnbbbbnnnn，依據(jù)遞推，得21112(2)111nnbbbnnn- 22 - 6. 【上海市長寧區(qū)20132014 第一學(xué)期高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷理科】 由函數(shù))(xfy確定數(shù)列na，)(nfan. 假設(shè)函數(shù))(1xfy能確定數(shù)列nb，)(1nfbn，則稱數(shù)列nb是數(shù)列na的“反數(shù)列”. 1假設(shè)函數(shù)xxf2)(確定數(shù)列na的反數(shù)列為nb，求.nb；2對 1中的nb，不等式)

21、21(log21111221abbbannn對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；3設(shè))12(2) 1(132)1(1ncnn為正整數(shù) ，假設(shè)數(shù)列nc的反數(shù)列為nd，nc與nd的公共項組成的數(shù)列為nt公共項qpkdctqpk,為正整數(shù)，求數(shù)列nt的前n項和ns. - 23 - 3當(dāng)為奇數(shù)時，12ncn，)1(21ndn. 11分- 24 - 由) 1(2112qp，則34pq，即nndc，因此12ntn， 13分所以.2nsn 14分當(dāng)為偶數(shù)時，nnc3，ndn3log. 15分由qp3log3得pq33，即nndc，因此nnt3， 17 分所以).13(23nns 18分考點：1反函數(shù)

22、；2數(shù)列的單調(diào)性； 3分類討論，等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和7.【 上海市嘉定區(qū)2014 屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研一模數(shù)學(xué)理試卷】數(shù)列na的首 項 為a0a ， 前n項 和 為ns， 且astsnn 10t 設(shè)1nnsb，nnbbbkc21rk 1求數(shù)列na的通項公式；2當(dāng)1t時，假設(shè)對任意*nn，|3bbn恒成立，求a的取值范圍；3當(dāng)1t時，試求三個正數(shù)a，t，k的一組值，使得nc為等比數(shù)列，且a，t，k成等差數(shù)列- 25 - 02)3)(3(ann，可分類1,2,3,4nnnn分別求出a的范圍，最后取其交集即得； 3考查同學(xué)們的計算能力，方法是一步步求出結(jié)論，當(dāng)1t時，1nnaat，(1)

23、1nnatst，(1)11nnatbt111naattt，最后用分組求和法求出12nnckbbb121(1)1natatntt22(1)(1)ktatt，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式的特征一定有0)1 ()1 (,01122tattktta，再加上三個正數(shù)a，t，k成等差數(shù)列，可求出a，t，k，這里考的就是計算，小心計算- 26 - 3 當(dāng)1t時，ttasnn1)1(，tattattabnnn11111)1(，- 27 - 8. 【上海市浦東新區(qū)20132014 學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量抽測高三數(shù)學(xué)試卷理卷】設(shè)項數(shù)均為k*2,kkn的數(shù)列na、nb、nc前n項的和分別為ns、nt、nu. 已知集合12

24、12,kka aab bb=2, 4, 6,42,4 kk. 1已知nnnu22，求數(shù)列nc的通項公式；2假設(shè)22nnnstn*(1,)nk nn，試研究4k和6k時是否存在符合條件的數(shù)列對na，nb ，并說明理由；3假設(shè)*2(1,)nnabnnk nn，對于固定的k，求證：符合條件的數(shù)列對na，nb有偶數(shù)對 . 【答案】114,122, 2nnncnk； 24k時，數(shù)列na、nb可以為不唯一6,12,16,14； 2,8,10,4，6k時，數(shù)列對na，nb不存在 . 3證明見解析- 28 - 【解析】 6,12,16,14；2,8,10,4 16, 10,8,14；12,6,2,4 8 分- 29 - 當(dāng)6k時，11122222(1 1)kkkkkab01221111112kkkkkkkccccc012211122()4kkkccckk(1)(4)44kkkk此時ka不存在 . 故數(shù)列對na，nb不存在 . 10 分另證：1122224284kkkkkabkk當(dāng)6k時，012