八年級(jí)數(shù)學(xué)幾何證明題技巧(含答案)

1、幾何證明題的技巧 1. 幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問(wèn)題，它有兩種基本類(lèi)型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類(lèi)問(wèn)題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問(wèn)題。 2. 掌握分析、證明幾何問(wèn)題的常用方法：（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過(guò)有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題解決；（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；（3）分析綜合法：將分析與綜合法合并使用，比較起來(lái)，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問(wèn)題

2、時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的。 3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的。1、證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問(wèn)題最后都可化歸為此類(lèi)問(wèn)題來(lái)證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例1. 已知：如圖1所示，中，。求證：dedf分析：由是等腰直角

3、三角形可知，由d是ab中點(diǎn)，可考慮連結(jié)cd，易得，。從而不難發(fā)現(xiàn) 證明：連結(jié)cd 說(shuō)明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)cd，因?yàn)閏d既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長(zhǎng)ed到g，使dgde，連結(jié)bg，證是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。 說(shuō)明：利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意： （1）制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證邊或者角；（2）添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形2、證明直線平行或垂直 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直

4、是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來(lái)證。證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來(lái)證。 例2. 已知：如圖4所示，abac，。求證：fded 證明一：連結(jié)ad 在和中， 說(shuō)明：有等腰三角形條件時(shí)，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。3、證明一線段和的問(wèn)題 （一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法） 例3. 已知：如圖6所示在中，bac、bca的角平分線ad、ce相交于o。 求證：acaecd分析：在ac上截取afae。易知，。由，知。，得： 證

5、明：在ac上截取afae 又 即（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)后的線段等于另一較長(zhǎng)線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法） 例4. 已知：如圖7所示，正方形abcd中，f在dc上，e在bc上，。求證：efbedf 分析：此題不易利用正方形這一條件。不妨延長(zhǎng)cb至g，使bgdf。 證明：延長(zhǎng)cb至g，使bgdf。 在正方形abcd中， 又 即gaefae【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 已知：如圖11所示，中，d是ab上一點(diǎn)，decd于d，交bc于e，且有。求證： 2. 已知：如圖12所示，在中，cd是c的平分線。 求證：bcacad 3. 已知：如圖13所示，過(guò)的頂點(diǎn)a，在a內(nèi)任引一射線，過(guò)b、c作此射線的垂線bp和cq。設(shè)m為bc的中點(diǎn)。 求證：mpmq【試題答案】1. 證明：取cd的中點(diǎn)f，連結(jié)af 又 2. 分析：本題采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的手法?！敖亻L(zhǎng)”即將長(zhǎng)的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”即將一條短線