研究生課程紊流數(shù)學(xué)模型結(jié)課作業(yè)3（精編版）

1、.4. 簡(jiǎn)述時(shí)均方程的定義與其封閉性問(wèn)題。解： 時(shí)均方程的定義：紊流運(yùn)動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究說(shuō)明，雖然紊流結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜， 但它仍然遵循連續(xù)介質(zhì)的一般動(dòng)力學(xué)規(guī)律，因此，雷諾在1886 年提出用時(shí)均值概念來(lái)研究紊流運(yùn)動(dòng)。他認(rèn)為，紊流中任何物理量雖然都隨時(shí)間和空間而變化， 但是任一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)仍然符合連續(xù)介質(zhì)流動(dòng)的特征，流場(chǎng)中任一空間點(diǎn)上應(yīng)該適用黏性流體運(yùn)動(dòng)的根本方程。此外， 由于各個(gè)物理量都具有某種統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，所以根本方程中任一瞬時(shí)物理量都可用平均物理量和脈動(dòng)物理量之和來(lái)代替，并且可以對(duì)整個(gè)方程進(jìn)展時(shí)間平均運(yùn)算。雷諾從不可壓縮流體的連續(xù)性方程和n-s 方程，導(dǎo)出紊流平均運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程和動(dòng)量方程即雷諾方程。隨

2、后，人們引用時(shí)均值概念又導(dǎo)出了紊流平均運(yùn)動(dòng)的能量方程和紊動(dòng)動(dòng)能方程等，并且把它們推廣到可壓縮流體中，從而形成了目前廣泛使用的一種經(jīng)典紊流理論。時(shí)均方程的封閉性問(wèn)題： 推導(dǎo)的時(shí)均流物理量的方程都是準(zhǔn)確方程，因?yàn)橥茖?dǎo)過(guò)程中未作任何近似假設(shè)。但這些方程不再構(gòu)成封閉的方程組：由于方程10 / 10ii(u'u ' )01txidu udu1p2uiii(ii )uiu ( fi )dt2dtxixk xk2u f( pu )u (uiuk )(uiuk )uiiiiixixkxkxixkxixku u''的非線(xiàn)性，對(duì)時(shí)間平均的過(guò)程引入了未知的脈動(dòng)速度相關(guān)ij 和速度 -

3、 標(biāo)量ui''脈動(dòng)相關(guān)'' 。從物理意義分析，這兩個(gè)相關(guān)如乘以密度，就分別表示紊動(dòng)產(chǎn)生的動(dòng)量輸運(yùn)和熱或物質(zhì)的輸運(yùn)。ijxi 方向的動(dòng)量沿xj 方向的輸運(yùn)u u是或 xj 方向的動(dòng)量沿 xi 方向的輸運(yùn)， 對(duì)于流體的作用與應(yīng)力一樣， 故被稱(chēng)為紊動(dòng)應(yīng)u''力或雷諾應(yīng)力；i是標(biāo)量沿 xi 方向的輸運(yùn)，即紊動(dòng)熱或物質(zhì)通量。在大多數(shù)流動(dòng)區(qū)域中，紊動(dòng)應(yīng)力和紊動(dòng)通量比層流的應(yīng)力ui /x j 和層流的通量i /xi 大得多，因而可忽略層流應(yīng)力和層流通量。''''為了求解方程 5-18 至方程 5-20 ，得出速度、壓力和溫度或濃

4、度u u的時(shí)均值，就必須確定紊動(dòng)相關(guān)項(xiàng)ij 和 ui，這正是紊流計(jì)算的癥結(jié)所在。為了封閉前面所得的方程組， 比擬切實(shí)可行的方法是引入紊流模型，用較低階的相關(guān)或時(shí)均流的變量近似地表示一定階數(shù)的相關(guān)。紊流模型描述紊動(dòng)輸運(yùn)的規(guī)律， 用以模擬實(shí)際紊流的時(shí)均性質(zhì)。紊流模型表示為微分方程或代數(shù)方程，這些方程與時(shí)均流方程 5-18 至5-20 聯(lián)立，組成封閉的方程組，便可求解紊流的速度場(chǎng)、壓力場(chǎng)、溫度場(chǎng)、濃度場(chǎng)。ui0(5-18a)xiu'i0(5-18b)xidu jpf(u ju' u')(5-19)jijdtxixixijijduif(5-20)dtxi5. 用 k 方程模型理

5、論證明混合長(zhǎng)模型理論的缺陷。kkkuuuk 3/2解： 在 k 方程u(t)(ij )ic，如果變itdtxixikxix jxixll化率項(xiàng)、對(duì)流輸運(yùn)項(xiàng)、擴(kuò)散輸運(yùn)項(xiàng)均可忽略不計(jì)，那么k 的產(chǎn)生等于 k 的耗散， 這樣的紊動(dòng)被稱(chēng)為處于當(dāng)?shù)仄胶鉅顟B(tài)。對(duì)于無(wú)浮力的剪切層，k 方程變?yōu)?；uk3/2td() 2cylct將上式代入柯莫哥洛夫 - 普朗特表達(dá)式'kl ，消去 k，可得：cu'31/22t()lcdyuc'3這是方程tl 21x2中引入的混合長(zhǎng)公式，因?yàn)榭蓪⒒旌祥L(zhǎng)l m 視作()1/4 乘以cd長(zhǎng)度比尺 l。這一推導(dǎo)清楚地說(shuō)明，混合長(zhǎng)模型只適合于紊動(dòng)處于當(dāng)?shù)仄椒€(wěn)狀態(tài)

6、的水流。1混合長(zhǎng)假設(shè)忽略了紊動(dòng)量的擴(kuò)散輸運(yùn)由公式知，一旦速度梯度為零，vt 和便相應(yīng)為零。這與實(shí)際情況相悖。例如在管路和渠道水流中，中心線(xiàn)上u 為零，但 v 的數(shù)值不為零，只比tv 的最大ty值小 20左右。幸運(yùn)的是，中心線(xiàn)上的剪應(yīng)力恰好為零，所以這種謬誤對(duì)流場(chǎng)的計(jì)算影響不大。 但在熱輸運(yùn)計(jì)算中， 中心線(xiàn)上值取零就會(huì)導(dǎo)致十分荒謬的結(jié)果，例如當(dāng)熱量從渠道的一側(cè)傳到另一側(cè)時(shí)，如果中心線(xiàn)上為零，渠道的另一側(cè)就永遠(yuǎn)得不到熱量。 事實(shí)上，在管路、明渠的水流中， 紊流主要產(chǎn)生在近壁區(qū)， 熱量是通過(guò)紊動(dòng)的擴(kuò)散作用被輸運(yùn)到中心線(xiàn)。 混合長(zhǎng)假設(shè)忽略了擴(kuò)散輸運(yùn)， 因而錯(cuò)誤地認(rèn)為在中心線(xiàn)得不到紊動(dòng)。2混合長(zhǎng)假設(shè)忽略

7、了紊動(dòng)量的對(duì)流輸運(yùn)網(wǎng)格后的均勻流， 是均勻紊流的典型例子。 網(wǎng)格的存在使得紊流在網(wǎng)格后形成尾跡， 紊動(dòng)由時(shí)均流的對(duì)流輸運(yùn)輸送到下游，在下游形成均勻紊流。 這種情況下，下游區(qū)域的時(shí)均流的流速均勻，假設(shè)按混合長(zhǎng)假設(shè)，應(yīng)得出vt0 ，從而得出下游無(wú)紊動(dòng)的錯(cuò)誤結(jié)論。 究其根源，是因?yàn)榛旌祥L(zhǎng)假設(shè)中忽略了對(duì)流輸運(yùn)。(3) 混合長(zhǎng)模型缺少通用性混合長(zhǎng)模型對(duì)于不同類(lèi)型的水流需采用不同的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，這是混合長(zhǎng)理論中忽略了紊動(dòng)量的擴(kuò)散輸運(yùn)和對(duì)流輸運(yùn)的必然結(jié)果?；旌祥L(zhǎng)假設(shè)的要害， 是將紊動(dòng)處理為沒(méi)有時(shí)間積累、沒(méi)有空間輸運(yùn)，就地產(chǎn)生，就地消亡的當(dāng)?shù)仄胶鉅顟B(tài)，這 當(dāng)然就會(huì)限制混合長(zhǎng)假設(shè)的使用圍。6. 簡(jiǎn)述紊流模型的分類(lèi)，

8、各自的優(yōu)缺點(diǎn)與適用性。解： 紊流模型可定義為一組方程代數(shù)方程或微分方程 ，這組方程能確定時(shí)均流方程中的紊動(dòng)輸運(yùn)項(xiàng)， 從而封閉時(shí)均流方程組。 根據(jù)紊流模型采用的微分輸運(yùn)方程的個(gè)數(shù)， 將紊流模型劃分為 : 零方程模型、 單方程模型、 二方程模型和多方程模型。零方程模型 ：普朗特在 1925 年提出的混合長(zhǎng)假設(shè)，是第一個(gè)描述紊動(dòng)粘性系數(shù)分布的紊流模型， 亦堪稱(chēng)為第一個(gè)比擬適宜的紊流模型。 普朗特受到氣體運(yùn)動(dòng)理論的啟發(fā)，假設(shè)紊動(dòng)粘性系數(shù)v t 正比于時(shí)均速度 v 和混合長(zhǎng)lm ?；旌祥L(zhǎng)按照以下方式進(jìn)展定義：設(shè)一流體團(tuán)塊，以其原有的時(shí)均流速運(yùn)動(dòng)，由于紊動(dòng)，該團(tuán)塊在橫向由y1 位移到y(tǒng)2 。在y2 點(diǎn)，團(tuán)

9、塊原有速度與周?chē)橘|(zhì)時(shí)均速度之差為u ；如果在y2 點(diǎn)的平均橫向脈動(dòng)速度恰好為u ，那么距離y2y1定義為混合長(zhǎng)lm 。對(duì)于剪力層，只有一個(gè)起主導(dǎo)作用的紊動(dòng)應(yīng)力uv 和速度梯度u ，普朗特y認(rèn)為v 等于時(shí)均速度的梯度和混合長(zhǎng)l m 的乘積： vu 。據(jù)此，并設(shè)比例常lmy數(shù)為 1，可將紊動(dòng)系數(shù)寫(xiě)為：vt2u 。這是著名的普朗特混合長(zhǎng)假設(shè)。這一lmy假設(shè)將紊動(dòng)粘性系數(shù)當(dāng)?shù)貢r(shí)均流速梯度聯(lián)系起來(lái)，同時(shí)引入了未知參數(shù)混合長(zhǎng)l m 。對(duì)于防止確定l m ，卡門(mén)建議將l m 與時(shí)均流速分布按照下式建立關(guān)系：l mkuy此式對(duì)于近壁水流可以得出較好的結(jié)果，但是缺少通用性。例如2uy2在射流和尾跡中，速度剖面

10、含有拐點(diǎn)，由式得出無(wú)限大的混合長(zhǎng)?；旌祥L(zhǎng)理論至今仍被廣泛地應(yīng)用于各種水力計(jì)算，但其不可克制的固有的缺陷也更加深刻地被人們所認(rèn)識(shí)。這主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：1混合長(zhǎng)假設(shè)忽略了紊動(dòng)量的擴(kuò)散輸運(yùn)由公式知，一旦速度梯度為零，vt 和便相應(yīng)為零。這與實(shí)際情況相悖。例如在管路和渠道水流中，中心線(xiàn)上u 為零，但yvt 的數(shù)值不為零，只比vt 的最大值小 20左右。幸運(yùn)的是，中心線(xiàn)上的剪應(yīng)力恰好為零，所以這種謬誤對(duì)流場(chǎng)的計(jì)算影響不大。 但在熱輸運(yùn)計(jì)算中， 中心線(xiàn)上值取零就會(huì)導(dǎo)致十分荒謬的結(jié)果，例如當(dāng)熱量從渠道的一側(cè)傳到另一側(cè)時(shí)，如果中心線(xiàn)上為零，渠道的另一側(cè)就永遠(yuǎn)得不到熱量。 事實(shí)上，在管路、明渠的水流中，

11、紊流主要產(chǎn)生在近壁區(qū)，熱量是通過(guò)紊動(dòng)的擴(kuò)散作用被輸運(yùn)到中心線(xiàn)?；旌祥L(zhǎng)假設(shè)忽略了擴(kuò)散輸運(yùn)， 因而錯(cuò)誤地認(rèn)為在中心線(xiàn)得不到紊動(dòng)。2混合長(zhǎng)假設(shè)忽略了紊動(dòng)量的對(duì)流輸運(yùn)網(wǎng)格后的均勻流， 是均勻紊流的典型例子。 網(wǎng)格的存在使得紊流在網(wǎng)格后形成尾跡， 紊動(dòng)由時(shí)均流的對(duì)流輸運(yùn)輸送到下游，在下游形成均勻紊流。 這種情況下，下游區(qū)域的時(shí)均流的流速均勻，假設(shè)按混合長(zhǎng)假設(shè)，應(yīng)得出vt0 ，從而得出下游無(wú)紊動(dòng)的錯(cuò)誤結(jié)論。 究其根源，是因?yàn)榛旌祥L(zhǎng)假設(shè)中忽略了對(duì)流輸運(yùn)。(3) 混合長(zhǎng)模型缺少通用性混合長(zhǎng)模型對(duì)于不同類(lèi)型的水流需采用不同的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，這是混合長(zhǎng)理論中忽略了紊動(dòng)量的擴(kuò)散輸運(yùn)和對(duì)流輸運(yùn)的必然結(jié)果?；旌祥L(zhǎng)假設(shè)的要害，

12、 是將紊動(dòng)處理為沒(méi)有時(shí)間積累、沒(méi)有空間輸運(yùn)，就地產(chǎn)生，就地消亡的當(dāng)?shù)仄胶鉅顟B(tài)，這 當(dāng)然就會(huì)限制混合長(zhǎng)假設(shè)的使用圍。一般地說(shuō)， 混合長(zhǎng)模型可用以計(jì)算許多簡(jiǎn)單的剪力層型的流動(dòng)，因?yàn)檫@種情況下可用經(jīng)驗(yàn)方法確定l m ；而對(duì)于在紊動(dòng)輸運(yùn)過(guò)程中占有重要地位的較復(fù)雜的水流，那么很難確定 l m ，混合長(zhǎng)模型便不再適用。單方程模型 ：考慮到紊動(dòng)速度比尺的對(duì)流輸運(yùn)和擴(kuò)散輸運(yùn)；在非恒定流動(dòng)中， 還考慮到紊動(dòng)的歷史。 當(dāng)對(duì)流輸運(yùn)或擴(kuò)散輸運(yùn)比擬重要時(shí)，單方程模型自然比混合長(zhǎng)模型優(yōu)越得多。 如自由流條件急劇變化的、 非平衡狀態(tài)的邊界層， 自由流為紊流的邊界層，穿過(guò)對(duì)稱(chēng)平面或者對(duì)稱(chēng)軸u0 的熱輸運(yùn)，湍流中的熱輸運(yùn)等。y

13、但是，單方程模型中關(guān)于如何確定長(zhǎng)度比尺l，目前仍為不易解決的問(wèn)題。對(duì)于比剪力層復(fù)雜的流動(dòng)， 欲確定長(zhǎng)度比尺的分布就如同在混合長(zhǎng)模型中確定混合長(zhǎng)的分布一樣， 很難用經(jīng)驗(yàn)方法解決。 這使得單方程模型迄今為止仍限用于剪力層流動(dòng)。對(duì)于剪力層型的流動(dòng)，前已述與，混合長(zhǎng)模型也可得出滿(mǎn)意的結(jié)果，且比 單方程模型更為簡(jiǎn)單。為了滿(mǎn)足紊流模型開(kāi)展的實(shí)際需要，人們轉(zhuǎn)而開(kāi)始尋求更普遍、 更精細(xì)的方法來(lái)確定長(zhǎng)度比尺l 的分布，其結(jié)果就是雙方程紊流模型。二方程模型： 長(zhǎng)度比尺 l，表征大的含能渦旋的尺寸大小，它與紊動(dòng)能量k 一樣，受輸運(yùn)過(guò)程的影響和制約。 例如，網(wǎng)格后形成的渦旋通過(guò)對(duì)流傳播到下游， 下游任何點(diǎn)處的渦旋尺寸

14、均取決于網(wǎng)格后的渦旋尺寸；耗散過(guò)程破壞小渦旋， 其效果是增大渦旋尺寸； 渦旋之間的拉拽， 形成能量梯級(jí)， 其效果是減小渦旋尺寸。所有這些決定著 l 的分布的過(guò)程之間的平衡，可用l 的微分輸運(yùn)方程表示， 據(jù)此便可計(jì)算 l 的分布。人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐， 也未能找到描述和計(jì)算l 分布的普遍適用公式， 所以不得不采用長(zhǎng)度比尺的微分輸運(yùn)方程，構(gòu)造不同類(lèi)型的雙方程紊流模型。 k模型是目前紊流研究中應(yīng)用廣泛的一種湍流模型。二方程模型優(yōu)點(diǎn)：1雙方程紊流模型不僅考慮到紊流速度比尺的輸運(yùn)，而且考慮到紊流長(zhǎng) 度比尺的輸運(yùn)， 因而能確定各種復(fù)雜水流的長(zhǎng)度比尺分布。尤其是有些形態(tài)的水流，其長(zhǎng)度比尺不可能用簡(jiǎn)單的方法經(jīng)驗(yàn)

15、確實(shí)定，這時(shí)， 雙方程模型便是有希望成功的計(jì)算這些水流的最簡(jiǎn)單模型。例如，回流和一些由幾個(gè)自由層和璧面層相互作用形成的復(fù)雜剪力層， 用零方程和單方程模型均難得出較好的結(jié)果，用雙方程模型卻能得到極好的計(jì)算結(jié)果。2雙方程紊流模型已經(jīng)在相當(dāng)廣的應(yīng)用圍得到驗(yàn)證，證明有效。二方程模型缺點(diǎn)：1模型中的經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，通用性尚不令人十分滿(mǎn)意，對(duì)弱剪力層和軸對(duì)稱(chēng)射流，必須用一些函數(shù)代替幾個(gè)經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。2紊動(dòng)粘性系數(shù)是各向同性的標(biāo)量，無(wú)法反映應(yīng)力的各向異性與由此造成的流動(dòng)宏觀參數(shù)的改變。3 k方程適用于紊流雷諾數(shù)足夠大的區(qū)域。紊流問(wèn)題中涉與低雷諾數(shù)的固體壁面與其上的邊界層粘性底層與過(guò)渡層， k方程必須做出修正，或?qū)Ρ诿?/p>

16、附近的渦粘系數(shù)做出特殊的處理。7. 簡(jiǎn)述紊流計(jì)算中邊界條件的類(lèi)型與其給法。解：紊流的邊界可以是固體壁面、自由外表，也可以是無(wú)紊動(dòng)的水流，例如 射流或尾跡的自由邊界。 固體壁面和自由外表的位置是確定的，而自由邊界的位置卻是不確定的，因?yàn)槲蓜?dòng)流體和非紊動(dòng)流體之間的交界面犬牙交織且不恒定。 為了便于實(shí)際計(jì)算， 常將自由邊界定義為速度或某個(gè)標(biāo)量近似等于其自由流數(shù)值例如為 99%的位置。以上所說(shuō)，皆為真實(shí)的物理邊界。如果水流對(duì)稱(chēng)，只需計(jì)算其一半。對(duì)稱(chēng)平面或?qū)ΨQ(chēng)線(xiàn)也可以作為計(jì)算區(qū)域的邊界。原那么上說(shuō)，對(duì)于壁面邊界，可以在固體壁面上規(guī)定無(wú)滑動(dòng)邊界條件，即：時(shí)均流速和脈動(dòng)速度的各個(gè)分量均為零，耗散率為一有限值

17、。按照自由邊界的定義， 在自由邊界上， 速度和標(biāo)量的數(shù)值應(yīng)等于自由流的對(duì)應(yīng)數(shù)值。通常假設(shè)層外流完全不受紊動(dòng)的影響，故一切紊動(dòng)量， 如紊動(dòng)應(yīng)力和紊動(dòng)通量的各個(gè)分量k、等，在自由邊界上均取零值。2在對(duì)稱(chēng)平面或?qū)ΨQ(chēng)線(xiàn)上，由于對(duì)稱(chēng)性，一些量的法向梯度必須為零；同時(shí)，另一些量本身的數(shù)值必須為零。前者如：所有的標(biāo)量, k,等、平行于對(duì)稱(chēng)平面或?qū)ΨQ(chēng)線(xiàn)的速度分量、法向應(yīng)力等。 后者如： 垂直于對(duì)稱(chēng)平面或者對(duì)稱(chēng)線(xiàn)的速度分量、標(biāo)量通量、剪應(yīng)力等。對(duì)自由外表提出適宜的邊界條件，是比擬復(fù)雜的問(wèn)題， 為此幾乎形成了一個(gè)獨(dú)立的子學(xué)科， 因?yàn)樽杂赏獗砩贤ǔＳ酗L(fēng)成剪應(yīng)力，還有與大氣層的熱交換， 物理機(jī)制相當(dāng)復(fù)雜。 目前尚無(wú)準(zhǔn)

18、確且綜合性能好的邊界條件可供選用，這里只介紹兩種近似表示法。1如果略去自由外表上的風(fēng)應(yīng)力和與大氣層的熱交換，可將自由外表近似看作對(duì)稱(chēng)平面， 按對(duì)稱(chēng)平面的特殊條件提出邊界條件。還可將自由外表看作移動(dòng)的平面，自由外表附近形成剪力層，故可近似采用前述壁面邊界條件，即式5-75 式5-78 。u res1 ln( y e)(5-75)uk0(5-76)xnk1(5-77)u 2c3u(5-78)ky2自由外表的存在應(yīng)減小紊動(dòng)長(zhǎng)度比尺。為了考慮這一效應(yīng)和風(fēng)成剪力的影響，羅迪建議采用以下的邊界條件：當(dāng)ks /cu a 時(shí)，對(duì) k 采用對(duì)稱(chēng)條件，否那么?。?u 2kacv3v1v3v2v3v3v3v3v1h

19、 3v3 v2h 3th 1q1h 2q2h 3q3h 3 h 1q1h 3 h 2q2(ks /c )3/2k yah(1u 2aksc)式中，下標(biāo) s 表示自由外表數(shù)值； h 為剪力層的垂向厚度； a 為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，可取 0.07 。8.寫(xiě)出正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系中流體力學(xué)的根本方程解： 連續(xù)性方程式為：t1( h 1h 2h 3h 1h 3v1)q1(h 3 h 1v2 )q2(h 1h 2 v3 ) q30(2-79)動(dòng)量方程式為：v2tv1v2h1q2v2 h 22v2q2v3v2h 3q3v2v1h 2h 2 h 1q1v2v3h 2h 2 h 3q3v23h3v1h1h 2 h 3q2h

20、2 h 1q2f121h 1 h 2 h 3q1( h h13 12)q2( h h3122)q3(h h1232)12h 1h 2h 2q123h 2h 2 h 3q333h 2 h 3h 3q211h 1 h 2h 1 q2(2-80b)v21h1v22h2h 3 h 1q3h 3 h 2q3f131h 1 h 2h 3q1( h h2331)q2( h h3123)q3( h h12 33)31h 1h 3h 3q123h 2 h 3h 3q211h 122h 2 (2-80c)h 3 h 1q3h 3 h 2q311( pv)211(2-81a)22( pv)222(2-81b)33( pv)233(2-81c)1221212(2-81d)2332223(2-81e)3113231(2-81f)其變形率量的分量為111v1v2h 1v3h 1(2-82a)h 1q1h 1h 2q2h 1h 3q31v2v3h 2v1h 2h 2q2h 2 h 3q3h 2 h1q11v3v1h 3v2h 3h 3q3h 3 h1q1h 3 h 2q222(2-82b)33(2-82c)2 122 231v21v3v2h 2h 21v11v2v1h 1v2h 2q2h 1q1h 1h 2q2h 1h 2q1v