ABC系統(tǒng)磁鏈的電壓方程式

1、在同步電機的暫態(tài)過程中，其運行參數(shù)（電壓、電流、磁鏈、轉(zhuǎn) 距和轉(zhuǎn)速等）的微分方程有多種表達(dá)形式。在同步參考坐標(biāo)系即d、q、0坐標(biāo)系中的一組方程式被稱為同步電機基本方程式。這組方程 式首先由Park提出，所以又稱為Park方程式。它表明在d、q、0坐 標(biāo)系中，任意瞬間同步電機的電流、電壓、磁鏈、轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速等運行 參數(shù)的相互關(guān)系。這是一組常系數(shù)微分方程，同步電機的動態(tài)性能可 能通過分析和求解這組微分方程而獲得。 而同步電機的穩(wěn)態(tài)過程作為 暫態(tài)過程的一個特例，也能從態(tài)特性中分析得到。§4.1同步電機的基本方程式一、A B C系統(tǒng)磁鏈的電壓方程式（一）、同步電機的組成：同步電機由定子和轉(zhuǎn)子兩

2、部分組成，定子和轉(zhuǎn)子處于相對運動 中，定子上有ABC三個繞組，轉(zhuǎn)子縱軸方向有勵磁繞組F和阻尼繞組 D,橫軸上有阻尼繞組Q。這6個繞組之間有電磁耦合關(guān)系，如果其 中的一個繞組的電流發(fā)生變化，那么在其它繞組中就可能有相應(yīng)的感 應(yīng)電流產(chǎn)生。由于定子和轉(zhuǎn)子之間的相對運動， 故在暫態(tài)中這種電磁 耦合關(guān)系變得十分復(fù)雜，從而使得同步電機暫態(tài)特性的分析和計算變 得十分復(fù)雜和困難。（二）、同步電機的理想化為了簡化分析，我們對同步電機進(jìn)行理想化。（1）磁飽和、磁滯和渦流的影響可以略去不計，磁路是線性的,可以采用疊加原理進(jìn)行分析 雖然不考慮飽和，但必要時可采用適當(dāng)?shù)娘柡蛥?shù)來近似地計及飽和 的影響。（2） 定子繞組

3、的電流在電機空氣隙中只產(chǎn)生正弦分布的磁勢，忽 略磁場的高次諧波。（3） 定子是三相對稱的。即它們是三個完全相同的繞組，各 繞組的軸線在空間上相互差1200。（4）電機定子的空載電勢是正弦波。即轉(zhuǎn)子繞組和定子繞組之間 的互感系數(shù)是轉(zhuǎn)子位置角的正弦或余弦函數(shù)。（5） 各導(dǎo)條阻尼繞阻可以簡化為兩個獨立等效阻尼繞阻，分別在 縱軸d和橫軸q方向上各自短路。凡滿足以上條件的電機稱為理想電機。 實驗指出，根據(jù)理想電機 所得到的計算結(jié)果與實際電機的實驗非常接近， 誤差不超過工程上允 許的范圍，因此實際電機可以當(dāng)作理想電機來研究。（三）、A B、C系統(tǒng)的磁鏈和電壓方程式rDXdXfRfrQ圖4一1同步電機的定子

4、和轉(zhuǎn)子回路讓我們來研究轉(zhuǎn)子縱軸和橫軸上各有一個阻尼繞組的同步電機。這時同步電機中共有6個繞組回路。即定子繞組A、B、C ,勵磁繞組？?？v軸和橫軸阻尼繞組 D Q。設(shè)定子三相繞組 ABC分別接在電壓為U、Ub、UC的電源上，勵磁繞組接在 U?上，D Q短 路。六個繞組可以建立6個方程式，在建立方程式前，要先選定定子 和轉(zhuǎn)子的縱軸和橫軸的正方向。如圖41,選取由定子繞組端點流 入電機中心方向作為定子各相電流的正方向； 規(guī)定繞組磁鏈和電流 i方向符合右手螺旋規(guī)則；定子繞組的感應(yīng)電勢可以作反電勢e二竺dt定子的外加電壓口( t)與電勢e及電阻壓降ri(t)相平衡；勵磁繞組 外加直流電壓U?,縱橫軸的阻

5、尼繞組為短路，無外加電壓。根據(jù)選定的電流電壓的正方向，可對定子繞組ABC，勵磁繞組縱軸和橫軸阻尼DQ,寫出以下六個電壓平衡方程式。e=dWA +e=+rA 二 Uadte=業(yè)dtdWc門b 二Ube=dtdWfe=-dtdWDe=dtdWQr.ic 二 Ucr.if =Ufr.io = 0e=dt式中r、r.iQ = 0r?、5、rQ分別是定子繞組，勵磁繞組，轉(zhuǎn)子縱軸和橫軸阻尼繞組的內(nèi)阻；Wa, Wb, Wc, Wd, Wq, w?為各線圈的磁鏈這些磁鏈由iB、ic、i» i。、i?等6個電流共同產(chǎn)生。再由圖4-2示出三相定子繞組A、 E、C及縱軸D和橫軸Q的 正向關(guān)系，取Q軸超前D

6、軸9 0度，各繞組軸線的正方位向作為磁鏈 的正方向，各繞組的正向電流產(chǎn)生自身的正向磁鏈， 可以得出6個磁 鏈方程式：LaMabMacMa?M ADMaq)f iA%M BALbbM bcM b?M bdM BQ iB業(yè)MCAM cbLccM cbM cdMcq iCM?aM?bM ?cl?M ?d0 i?M DAM dbM DCM d?Ld0 iD%丿(MqaM qbM qc00Lq丿Q丿式中L aa、Lee、Lcc、L ?、Ld、Lq分別為各繞組的自感系 數(shù)。M xy = M yx是互感系數(shù)。在凸極電機中，由于各繞組磁通路徑所對 應(yīng)的磁導(dǎo)隨著轉(zhuǎn)子位置角0而變化，所以式（4-2 ）中自感系數(shù)和

7、 互感系數(shù)隨轉(zhuǎn)子位置角0而變化，即（4-2 ）中（4 1）中微 分方程的系數(shù)是時間的周期函數(shù)， 不易求解。為了尋找解微分方程組 （4 1）的方便途徑，必須研究式（4 2）中各自感系數(shù)和互感 系數(shù)。（圖 4-2）（四）同步電機各繞組自感系數(shù)和互感系數(shù)的確定。（1）定子繞組的自感系數(shù)L aa,Lbb,Lcc在同步電機定子線圈中通以電流后，由電流產(chǎn)生的磁鏈按其性 質(zhì)分為兩類：漏磁鏈和定子與轉(zhuǎn)子互感磁鏈， 漏磁鏈對應(yīng)電感系數(shù)與 轉(zhuǎn)子位置無關(guān)且為恒值；定子與轉(zhuǎn)子互感磁鏈與轉(zhuǎn)子位置相關(guān)。對于理想凸極同步電機，以d軸作為參考坐標(biāo)軸時，在距離d軸 角度為B的P點處（即圖4-2中定子A相軸線處）單位面積的氣隙

8、磁導(dǎo)可以足夠精確地表述為：入 s（ e）=入 °o + 入 2COS2 0（4-3）式中：0為d軸超前A相定子軸線的角度，入。為磁導(dǎo)平均值,入"為磁導(dǎo)的二次諧波幅值當(dāng)0=0 °時，即d軸方向氣隙磁導(dǎo) 入。d=入九+入。2當(dāng)0=9 0 °時，即d軸方向氣隙磁導(dǎo)由上面兩式可以得到所以=2（ d + ；q ）(4-4)在圖（4 1）中，當(dāng)通以電流 iA時，在A相軸線方向的磁勢FA=k! iA （ ki為比例系數(shù)），與P點氣隙磁導(dǎo)、心相對應(yīng)的A相氣隙磁 鏈Wa.與Fa成正比，即1=k ki iA 2(、d1+)+ 2( d -、q ) COS2 二1 1=2(

9、L AAd + LAAqL AAd - L AAq cos2 ) iA式中 LAAd = k ki IdLAAq = k ki ' q如果A相電流產(chǎn)生的漏磁鏈aL，與此漏磁鏈對應(yīng)的漏感為Laai, 則根據(jù)自感定義有Laa =(* +'Al)所以Laa1=LaAI( LAAd + LAAq )2LAAq )cos2=Lso + Ls2 cos2+1式中Lso = L AAl+ 1( l2 I LAAd+ LAAq )(4-7)1Ls2 = 2 ( LAAd LAAq )Lso為自感系數(shù)平均值Ls2為自感系數(shù)二次諧波幅值由于E相繞組和C相繞組與A相繞組只是在空間上互差 1200,

10、因此把(4-6 )中的0分別用0 1200和0 + 1200來代換，即可求 得B相和C相的自感系數(shù)。三相的自感系數(shù)為LaA = Ls0 ' Ls2 cos2 71Lbb 二 Ls0 Ls2COS2(一 1200)Lcc 二 Ls0 Ls2 COS2 120°)(4 8)對于隱極電機由于具有均勻的氣隙，在此情況下，氣隙各處的磁 導(dǎo)與轉(zhuǎn)子位置角0關(guān)無而為一恒值。Ls2 =0所以有La Ad二La a Laa二Lbb二Lcc。即各相自感系數(shù)相等，且為一恒值。(2) 定子繞組間的互感系數(shù)M AB = M ba M bc = M cb M CA = M AC當(dāng)A相繞組有電流iA流過時，

11、A相軸線方向上的磁勢Fa二kA可以分解為d軸分量FAd和q軸分量FAq。FAd 二 k/ACOSdFAq 二 k1i ASin 71FAd在d軸產(chǎn)生的磁鏈為'Ad =kFAd '、d rLAAqiACOSVFAq在q軸產(chǎn)生的磁鏈為J =kFAd '、d = LAAdiASi門二由于d軸與B相定子軸線相差（e1200 ）,因此申Ad只有一部分tAdCOS© 一120°）與B相定子交鏈，口 Aq 也只有一部分 ' Aq cos（ 120 0 一二 90 0- Aq sin （二-120 0 ）與 B 相定子相交鏈，因此A相電流產(chǎn)生的經(jīng)過氣隙與 B

12、相交鏈的磁鏈BA、.為：'-BA.JAdCOsG-1200）'AqSi n12O0）=LAAd coscosC -120°） LAAqsinr sin（v -120°） iA= -|4（LAAd LAAq） - 2（LAAd - L® cos2（= 30。）（4- 9）設(shè)A、B兩相之間的漏磁互感系數(shù)為Lbai ,它對應(yīng)的漏磁互感磁 鏈（包括端部漏磁，槽漏磁及齒頂漏磁互感磁鏈）為BAl，則ba產(chǎn)LbaJa。其中Lbai是一個與轉(zhuǎn)子位置B無關(guān)的系數(shù)，而且由于A B相繞組在空間分布上相差1200，所以Lbai是一個負(fù)值，令Lbai二-Mmi 貝S BAI

13、 - -M ml.iA （4-10）根據(jù)定義：Mba是定子A相單位電流所產(chǎn)生的與B相交鏈的磁鏈 故：Mba = BA一陰 把（4 9）與（4 10）代入上式得：iAMba 一 - Ms。 M s2 cos2 30。）（4 11）式中 Mso = M ml W （LAAd + LAAq）1Ms2 =2 LAAd - LAAq（ 4 12）以八120°與二120°代入（4 11）式中，即可得到B、C兩相及C A兩相之間的互感系數(shù)。A、B、C三相的互感系數(shù)為：M ab =M ba =-MS0 MS2cos 30° 1M BC 二 M CB = - M S° M

14、S2 cos2 二 - 90° 1M CA = M ac _ - M so 亠 M S2 COS2 v 150° 1(4 13)由（4 7）和式（4 12）可知：對理想電機由于自漏感LAAi和互 漏感Mml遠(yuǎn)小于（LAAd +LAAq ）,所以定子繞組的自感系數(shù)和互感系數(shù)之 間存在以下關(guān)系：Ls2 = M $2Ls° =2Mso（ 4 14）隱極電機：隱極同步電機和異步電機一樣，定子各相互感系數(shù)中 的二次諧波分量為0,即MS2-0，此時，定各相之間的互感都相等且 為與轉(zhuǎn)子位置角B無關(guān)的恒值。M AB = M ba = M CB = M BC = M CA = M

15、AC = -M so（3）定子和子之間的互感系數(shù)。對于理想電機，定子和轉(zhuǎn)子電流所產(chǎn)生的氣隙磁場均為正弦分布，因此定子，轉(zhuǎn)子繞組之間的互感系數(shù)隨角度 B按余弦規(guī)律變化。 當(dāng)定子某相繞組的軸線與轉(zhuǎn)子某一繞組的軸線重合時， 峽谷繞組的互 感系數(shù)達(dá)到最大，當(dāng)兩個繞組的軸線垂直時，它們之間的互感系數(shù)為 0。如圖（4 2）所示。勵磁繞組f與定子三相繞組間的互感系數(shù)為：M Af = M Sf COSTMBf -M Sf cosp 120°）MCf =MsfCOS（d 1200）（4 15）式中MSf為勵磁繞組與定子繞組軸線重合時的互感系數(shù)。同理阻尼繞組與定子繞組間的互感系數(shù)為:M ad = M s

16、d COS(r)M BD = M SD cos(v -120°)Mcd =Msdcos(j 120°)轉(zhuǎn)子橫軸阻尼繞組與定子三相繞組的互感系數(shù)為：M aq = -MsQSin(r)Mbq 二-MsQSin(二-120°)Mcq 一MsQSi120°)(4) 轉(zhuǎn)子繞組的自感系數(shù)和轉(zhuǎn)子組間的互感系數(shù)。轉(zhuǎn)子繞組的自感系數(shù)：Lf、Ld、Lq都是固定常數(shù)，與轉(zhuǎn)子位置 角無關(guān)。由于縱軸和橫軸之間沒有磁通交鏈，所以MfQ£ Mdqt MqMqdt。勵磁繞組與d軸阻尼繞組之間的互感系數(shù) MfD也是與轉(zhuǎn)子位置 角B無關(guān)的常數(shù)，且MfD二M°f。 MDf

17、為單位勵磁電流所產(chǎn)生的與d屮軸阻尼繞組D所交鏈的磁鏈，即MDf 巴o '-Df由兩部分組成，一部if分是if產(chǎn)生的經(jīng)過氣隙的公共磁鏈，也就是說f同時還與定子交鏈即是同時與勵磁繞組f，阻尼繞組D和定子繞組交鏈的經(jīng)過氣隙 的公共磁鏈。另一部分勵磁電流計產(chǎn)生的只與d軸阻尼繞組D交鏈的互漏磁鏈，Df,由于互漏遠(yuǎn)小于公共磁鏈，所以實際上可以認(rèn)為互感M Df只由穿過氣隙的公共磁鏈所確定。同理，也可以認(rèn)為互感Msf和Msd也只由d軸方向穿過氣隙的公共磁鏈決定而忽略相應(yīng)的互漏磁、d、q、o系統(tǒng)的電壓和磁鏈方程根據(jù)上圖所示的d、q正方向，類似于交流中的變化矩陣,我們可以得到下面的公式:i Aidi B=

18、ciqjc丿Qo丿2 X3cos°-s in 日72cos(e -120")-sin(日-120 °)1cos(e +120 0-si np +120°)1'idiqUo丿(4-18)變換陣:cos-sin -cos v -120-sin( v -120 )cos(，120 )-sin(r 120 )1 )石1石1忌(4-19)同理:f>Ua(、Ud仰 、' A'dUb=cUq屮B=c屮q2c2。丿嚴(yán)J嚴(yán)0丿(4-20)由C矩陣，我們可以看到cct,即C是正交矩陣，故我們有:idiqQo丿i BdAif 、'A屮q=

19、cT屮'B芒0 J嚴(yán)CI C丿(4-21)式中:cos d -120-sin(v -120 )1(4-22)(4-23)cosG 120 )-sin(=120 )1把前面求得的自感、互感表達(dá)式(4-8 )、(4-13 )、(4-15 )(4-17)帶入磁鏈?zhǔn)?4-21 ) 的 'sf 代入式(4-21 ) 的 ，二兒，利用iA,iB,ic與id,iq之間的變換關(guān)系:id mUaCOsB +iBcos(日 一 120°)+iC cos(B +120。)iAsin iBsin(二-120 ) iC sin120 )可以求得r,m為："d =Ldid JMsfif

20、 JMsDiD 屮廠 Lqiq+石MsQiQ'% = L°i°J式中，Ld,Lq,L°分別被稱為直軸同步電感、交軸同步電感和零序電感，他們分別為:3Ld 二Ls0Ms0-Ls22Lq = Ls0 ' M $0 一 § Ls2L0 - Ls0 1 2M s0利用iA，iB，ic與id,iq,i。之間的變換關(guān)系，由公式（4-2）的后面三個關(guān)系式可以求得用id，iq表示的三個轉(zhuǎn)子繞組的磁鏈方程：即 f = j2MfsQ + Lfif + M fDid 即 D = JM Ds id * M Df i f * Ld ip * 即Q =2MQsiq *LQiQ（4-24）d、q、0系統(tǒng)中同步電機定子方程可求得如下：由式（4-18）及（4-19）及式（4-20）得:2 1人= <3（id cos日-iqsi門日十拐。）1Ua =血 cosv -Uq sin ：-=u。）V21 屮 A=（屮 dCosjqsi n8+護(hù)。）（4-25）把以上各式帶入式（4-1 ）的定子A相電壓平衡