2022年2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)分類討論思想

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載高考動向熱點(diǎn)分析高考沖刺：分類爭論思想精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分類爭論為一種重要的規(guī)律方法,也為中學(xué)數(shù)學(xué)中常常使用的數(shù)學(xué)思想方法之一 .突出考查同學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和周密性, 以及熟悉問題的全面性和深刻性, 提高同學(xué)分析問題, 解決問題的才能,能表達(dá) “著重考查數(shù)學(xué)才能 ”的要求 .因此分類爭論為歷年數(shù)學(xué)高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn) .而且也為高考的一個難點(diǎn).數(shù)學(xué)中的分類爭論貫穿教材的各個部分,它不僅形式多樣,而且具有很強(qiáng)的綜合性和規(guī)律性 .學(xué)問升華1分類爭論的常見情形（ 1）由數(shù)學(xué)概念引起的分類爭論：主要為指有的概念本身為分類的,在不同條件下有不同結(jié)論

2、,就必須進(jìn)行分類爭論求解,如肯定值.直線斜率.指數(shù)函數(shù).對數(shù)函數(shù)等.（ 2）由性質(zhì).定理.公式引起的分類爭論：有的數(shù)學(xué)定理.公式.性質(zhì)為分類給出的,在不同條件下精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載結(jié)論不一樣,如二次函數(shù)y=ax等比數(shù)列前n 項(xiàng)2+bx+ca ,0由 a 的正負(fù)而導(dǎo)致開口方向不確定,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載和公式因公比q 為否為 1 而導(dǎo)致公式的表達(dá)式不確定等.（ 3）由某些數(shù)學(xué)式子變形引起的分類爭論：有的數(shù)學(xué)式子本身為分類給出的,如 ax2+bx+c0, a=0,a 0, a 0 解法為不同的.（4）由圖形引起的分類爭論：有的圖形的類型.位置也要

3、分類,如角的終邊所在象限, 點(diǎn).線.面的位置關(guān)系等 .（ 5）由實(shí)際意義引起的爭論：此類問題在應(yīng)用題中常見.（ 6）由參數(shù)變化引起的爭論：所解問題含有參數(shù)時,必需對參數(shù)的不同取值進(jìn)行分類爭論；含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題中,參變量的不同取值,使得變形受限導(dǎo)致不同的結(jié)果.2分類的原就（ 1）每次分類的對象為確定的,標(biāo)準(zhǔn)為同一的；分類爭論問題的難點(diǎn)在于什么時候開頭爭論,即熟悉為什么要分類爭論,又從幾方面開頭爭論,只有明確了爭論緣由,才能精確.恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類與爭論.這就要求我們精確把握所用的概念.定理.定義,考慮問題要全面.函數(shù)問題中的定義域,方程問題中根之間的大 小,直線與二次曲線位置關(guān)系中的判別式等等,常

4、常為分類爭論劃分的依據(jù).（ 2）每次分類的對象不遺漏.不重復(fù).分層次.不越級爭論.當(dāng)問題中顯現(xiàn)多個不確定因素時,要以起主導(dǎo)作用的因素進(jìn)行劃分,做到不重不漏, 然后對劃分的每一類分別求解,再整合后得到一個完整的答案.數(shù)形結(jié)合為簡化分類爭論的重 要方法 .3分類爭論的一般步驟第一,明確爭論對象,確定對象的范疇；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載其次,確定分類標(biāo)準(zhǔn),進(jìn)行合理分類,做到不重不漏；第三,逐類爭論,獲得階段性結(jié)果；第四,歸納總結(jié),得出結(jié)論.4.分類爭論應(yīng)留意的問題第一,按主元分類的結(jié)果應(yīng)求并集.其次,按參數(shù)分類的結(jié)果要分類給出.第三, 分類爭論為一種重要的解題策略,但這種分類爭

5、論的方法有時比較紛雜,如有可能,應(yīng)盡量避免分類 .經(jīng)典例題透析類型一：不等式中的字母爭論1.（ 2021·山東）如對于任意,恒成立,就a 的取值范疇為 .思路點(diǎn)撥： 依據(jù)式子的特點(diǎn),進(jìn)行整理,分子分母同除以x.解析：對一切恒成立,在 r+ 上的最大值 .而當(dāng)且僅當(dāng)即 x=1時等取號.舉一反三：【變式 1】解關(guān)于的不等式 :（） .解析： 原不等式可分解因式為:,（下面按兩個根與的大小關(guān)系分類）（ 1）當(dāng),即或時,不等式為或,不等式的解集精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為：；（ 1）當(dāng),即時,不等式的解集為：；（ 2）當(dāng),即或時,不等式的解集為：；綜上所述,原不等式的解集

6、為：當(dāng)或時,；當(dāng)當(dāng)或時,時,；.【變式 2】解關(guān)于的不等式 :.解析：（ 1）當(dāng)時,不等式為、 解集為；（ 2）當(dāng)時,需要對方程的根的情形進(jìn)行爭論：即時,方程有兩根.就原不等式的解為.即時,方程沒有實(shí)根,此時為開口向上的拋物線,故原不等式的解為.即時,方程有兩相等實(shí)根為,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就原不等式的解為.（ 3）當(dāng)時,即時,方程恒成立,有兩根.此時,為開口向下的拋物線,故原不等式的解集為.綜上所述,原不等式的解集為：當(dāng)時,解集為；當(dāng)時,解集為；當(dāng)時,解集為；當(dāng)時,解集為.類型二：函數(shù)中的分類爭論2.設(shè)（）設(shè)為實(shí)數(shù),記函數(shù),求的取值范疇,并把的最大值為表示為的函數(shù),

7、；（）求；（）試求滿意解析：的全部實(shí)數(shù) .（ i）,要使有意義,必需且,即,且的取值范疇為,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由得：,（ ii ）由題意知即為函數(shù),的最大值,時,直線為拋物線的對稱軸,可分以下幾種情形進(jìn)行爭論：（ 1）當(dāng)時,函數(shù),的圖象為開口向上的拋物線的一段,由知在上單調(diào)遞增, 故；（ 2）當(dāng)時,有=2；（3）當(dāng)時,函數(shù),的圖象為開口向下的拋物線的一段,如即時,如即時,如即時,綜上所述,有=（ iii ）當(dāng)時,；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng)時,故當(dāng)時,；當(dāng)時,由知：,故；當(dāng)時,故或,從而有或,要使,必需有,即,此時,綜上所述,滿意的全部實(shí)數(shù)為：

8、或.舉一反三：【變式1】函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)-1, 3,且 fx 在-1, +上恒有 fx<3 ,求函數(shù)fx.解析： fx 圖象經(jīng)過點(diǎn) -1, 3,就,整理得：,解得或1當(dāng)時,就,此時 x -1 ,+時, fx>3 ,不滿意題意；2當(dāng),就,此時, x -1, +時,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 fx<3 ,滿意題意為所求.綜上,.【變式 2】已知函數(shù)有最大值2,求實(shí)數(shù)的取值 .解析：令,就.1當(dāng)即時,解得 :或（舍）；2當(dāng)即時,、解得 :或（舍）；3 當(dāng)即時,解得（全都舍去） .綜上,當(dāng)或時,能使函數(shù)的最大值為2.3.已知函數(shù)（） .（ 1）爭論的單調(diào)性；（

9、2）求在區(qū)間上的最小值 .解析：（ 1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?, +）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對求導(dǎo)數(shù),得解不等式,得 0 x e解不等式,得 x e故在（ 0, e）上單調(diào)遞增,在（e,+）上單調(diào)遞減（ 2）當(dāng) 2ae時,即時,由（ 1）知在（ 0, e）上單調(diào)遞增,所以當(dāng) ae時,由（ 1）知在（ e, +）上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,需比較與的大小由于所以,如,就,此時如 2 a e,就,此時綜上,當(dāng)0 a2時,；當(dāng) a 2 時總結(jié)升華： 對于函數(shù)問題,定義域要第一考慮,而（）中比較大小時,作差應(yīng)當(dāng)為特別有效的方法.舉一反三：【變式 1】設(shè),（ 1）利用函數(shù)單調(diào)性的意義,判定

10、fx 在（ 0, +）上的單調(diào)性；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）記 fx 在 0<x1上的最小值為ga,求 y=ga 的解析式 .解析：（ 1）設(shè) 0<x 1<x 2<+就 fx 2-fx 1=由題設(shè) x 2-x 1>0 ,ax1·x 2>0當(dāng) 0<x 1<x2 時, fx 2-fx 1<0 ,即 fx 2<fx 1,就 fx 在區(qū)間 0 ,單調(diào)遞減,當(dāng)<x 1<x 2<+時, fx 2-fx 1>0,即 fx 2>fx 1,就 fx 在區(qū)間（,+）單調(diào)遞增 .（ 2）由

11、于 0<x1,由（ 1）的結(jié)論,當(dāng) 0<1即 a1時, ga=f=2-;當(dāng)>1,即 0<a<1 時, ga=f1=a綜上,所求的函數(shù)y=ga .【變式 2】求函數(shù)在上的值域 .解析：令,就1當(dāng) 0 a1時,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 0x,a f x 只0有a=1 且 x=1 時 f x=0 fx 在0、a 上單增,從而,值域?yàn)椋?當(dāng) a>1 時, 0x,a fx 在單增,在上單減,并且,值域?yàn)椋?當(dāng) -1a<0時, 0x|,a| fx 在0、|a|上遞減從而即,值域?yàn)?當(dāng) a<-1 時, 0x|,a| fx 在單減,在上單增

12、,又,值域?yàn)?類型三：數(shù)列4 .數(shù)列 a n 的前n 項(xiàng)和為sn,已知 s n 為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,試比較與的大小,并證明你的結(jié)論.解析： 設(shè)等比數(shù)列 s n 的公比為q,就 q>0 q=1 時, sn=s1=a1當(dāng) n=1 時, a2=0,即當(dāng) n2時, an=sn-sn-1 =a1-a1=0,即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n-12q 1時, sn=s1·q當(dāng) n=1 時,=a1·qn-1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載,即.當(dāng) n2時,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載an=sn-sn-1 =a1·qn-

13、1-a1·qn-2n-2=a1·qq-1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載此時 q>1 時,0<q<1 時,.總結(jié)升華： 等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式分q=1 或 q1兩種情形進(jìn)行爭論.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載舉一反三：22343456精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【變式 1】求數(shù)列： 1, a+a 、a +a +a 、a +a +a +a 、（其中 a0）的前 n 項(xiàng)和 sn.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析： 數(shù)列的通項(xiàng)a =an-1n2n-2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載爭

14、論：n+a +a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）當(dāng) a=1 時, an=n, sn=1+2+n=（ 2）當(dāng) a=-1 時,（ 3）當(dāng) a±1且 a0時,.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【 變 式2 】 設(shè) a n 為 由 正 數(shù) 組 成 的 等 比 數(shù) 列 , sn 為 其 前n項(xiàng) 和 , 證明:.解析：（ 1）當(dāng) q=1 時,sn=na1,從而,（ 2）當(dāng) q1時, 從而由（ 1）（ 2）得 :. 函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).【變式 3】已知 a n 為公比為q 的等比數(shù)列,且a1, a3, a2 成等差數(shù)列 . 求 q 的值； 設(shè) b n 為以 2

15、為首項(xiàng), q 為公差的等差數(shù)列,其前n 項(xiàng)和為 sn,當(dāng) n2時,比較sn與 bn 的大小,并說明理由 .解析：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 由題設(shè) 2a3=a1+a222,即 2a q1=a1+a1q、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a10, 2q-q-1=0,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載或, 如 q=1 ,就當(dāng) n2時,如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) n2時,故對于 nn +,當(dāng) 2n9時, sn>bn；當(dāng) n=10 時, sn=bn；當(dāng) n11時, sn<b n.【變式4 】 對于數(shù)列,規(guī)定數(shù)列為數(shù)列的一階

16、差分?jǐn)?shù)列,其中； 一 般 地 , 規(guī) 定為的k階 差 分 數(shù) 列 , 其 中且 k n* , k2；（ 1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式；試證明為等差數(shù)列；（ 2）如數(shù)列的首項(xiàng)a1=13 ,且滿意,求數(shù)列及的通項(xiàng)公式；（ 3）在（ 2）的條件下,判定為否存在最小值；如存在,求出其最小值,如不存在,說明理由；解析：（ 1）依題意：,數(shù)列為首項(xiàng)為1,公差為5 的等差數(shù)列；（ 2）,（ 3）令,就當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增；又因,而,所以當(dāng) n=2 時,數(shù)列an 存在最小值,其最小值為18；類型四：解析幾何5.已知橢圓c 的方程為,點(diǎn) p（ a、b）的

17、坐標(biāo)滿意,過點(diǎn)p 的直線 l 與橢圓交于a .b 兩點(diǎn),點(diǎn)q 為線段 ab 的中點(diǎn),求：（ 1）點(diǎn) q 的軌跡方程 .（ 2）點(diǎn) q 的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個數(shù).思路點(diǎn)撥： 此題求點(diǎn)的軌跡方程,點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系,直線與橢圓相交等學(xué)問.解析：（ 1）設(shè)點(diǎn) a , b 的坐標(biāo)為（ x1, y1）,（ x 2, y2）,點(diǎn) q 的坐標(biāo)為q（ x、y ） .當(dāng) x1x2 時,可設(shè)直線l ： y=kx-a+b由已知,y1=kx 1 -a+b、y2=kx 2-a+b由得 x 1+x 2x 1-x 2 +y 1+y2 y 1-y 2=0由得 y1+y 2=kx 1+x2 -2ak+2b由.及,得22精品學(xué)

18、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載點(diǎn) q 的坐標(biāo)滿意方程2x+y -2ax- by=0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) x1=x 2 時, l 平行于 y 軸,因此 ab 的中點(diǎn) q 肯定落在x 軸上,即q 的坐標(biāo)為（ a、0）,明顯 q 點(diǎn)的坐標(biāo)滿意方程.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載+y綜上所述,點(diǎn)q 的坐標(biāo)滿意方程：2x22-2ax-by=0.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2設(shè)方程所表示的曲線為l ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222就由,得（ 2a +b） x -4ax+2-b =0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

19、 - 歡迎下載222由于 =8ba +-1,由已知a +12所以當(dāng) a +=1 時, =0,曲線 l 與橢圓 c 有且只有一個公共點(diǎn)p（ a、b） .當(dāng) a2+<1 時 <0,曲線 l 與橢圓無交點(diǎn),而由于（ 0, 0）在橢圓c 內(nèi),又在曲線l 上,所以曲線l 在橢圓 c 內(nèi).22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故點(diǎn) q 的軌跡方程為2x+y -2ax-by=0.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）由,解得或,又由,解得或,就當(dāng) a=0、b=0、即點(diǎn) pa、b為原點(diǎn) .曲線 l 與坐標(biāo)軸只有一個交點(diǎn)0、0當(dāng) a=0 且 0<|b| 時 、即點(diǎn)

20、pa、b不在橢圓c 外且在除去原點(diǎn)的y 軸上時 、點(diǎn) a、0與0、0 重合,曲線l 與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn)0、b 與0、0當(dāng) b=0 且 0<|a| 時1,即點(diǎn) pa、b不在橢圓c 外且在除去原點(diǎn)的x 軸上時 、曲線 l 與坐標(biāo)軸有兩個交點(diǎn)a、0 與0、0.當(dāng) 0<|a|<1 且 0<|b|<時、即點(diǎn) pa、b在橢圓 c 內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時、曲線 l 與坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)a、0、0、b 與0、0.總結(jié)升華： 此題充分運(yùn)用了分類爭論的思想方法 、以及綜合運(yùn)用學(xué)問解題的才能 、此題運(yùn)算量大 、涉及學(xué)問點(diǎn)較多 、需要較高的運(yùn)算才能和規(guī)律推理才能 、做為考題區(qū)分度好 、特殊為分類爭論時易出錯 .舉一反三：【變式 1】爭論 k 的取值,說明方程表示的曲線 .解析： 方程中 x.y 的平方項(xiàng)系數(shù)為否為0,為否相等打算著方程表示的曲線,故需要對k 值就以上情形分類爭論.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) k向左的拋物線 .2=0 即 k=0 時,方程化為,表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),x 軸為對稱軸,開口精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) 2k-1=0 即時,方程化為xx-8=02 x=