2016高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)4.4函數(shù)y＝Asinωx＋φ的圖象及應(yīng)用教師用書理蘇教版

1、§4.4函數(shù)yAsin(x)的圖象及應(yīng)用1yAsin(x)的有關(guān)概念yAsin(x)(A>0，>0)，x0，)振幅周期頻率相位初相ATfx2.用五點(diǎn)法畫yAsin(x)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找五個(gè)特征點(diǎn)如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A03.函數(shù)ysin x的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象的步驟如下：【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)作函數(shù)ysin(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，確定的五點(diǎn)是(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)這五個(gè)點(diǎn)(×)(2)將函數(shù)y3sin 2x的圖象左移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得

2、圖象的解析式是y3sin(2x)(×)(3)函數(shù)ysin(x)的圖象是由ysin(x)的圖象向右移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的()(4)函數(shù)ysin(2x)的遞減區(qū)間是(k，k)，kZ.(×)(5)函數(shù)f(x)sin2x的最小正周期和最小值分別為，0.()(6)函數(shù)yAcos(x)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖象的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離為.()1(2013·江蘇)函數(shù)y3sin(2x)的最小正周期為_答案解析2，T.2(2013·四川改編)函數(shù)f(x)2sin(x)(>0，<<)的部分圖象如圖所示，則，的值分別是_答案2，解析T，T，2，2

3、15;2k，kZ，2k，kZ，又，.3設(shè)函數(shù)f(x)cos x (>0)，將yf(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值為_答案6解析由題意可知，nT (nN*)，n· (nN*)，6n (nN*)，當(dāng)n1時(shí)，取得最小值6.4設(shè)函數(shù)f(x)3sin(x)(>0，<<)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，它的周期是，則下列說(shuō)法正確的是_(填序號(hào))f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，)；f(x)在，上是減函數(shù)；f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心是(，0)；將f(x)的圖象向右平移|個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y3sin x的圖象答案解析周期為，2，f(x)3sin(2x)，f()3s

4、in()，則sin()1或1.又(，)，(，)，f(x)3sin(2x)：令x0f(x)，正確：令2k<2x<2k，kZk<x<k，kZ.令k0<x<，即f(x)在(，)上單調(diào)遞減，而在(，)上單調(diào)遞增，錯(cuò)誤：令xf(x)3sin 0，正確：應(yīng)平移個(gè)單位長(zhǎng)度，錯(cuò)誤.題型一函數(shù)yAsin(x)的圖象及變換例1設(shè)函數(shù)f(x)sin xcos x(>0)的周期為.(1)求它的振幅、初相；(2)用五點(diǎn)法作出它在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象；(3)說(shuō)明函數(shù)f(x)的圖象可由ysin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到的解(1)f(x)sin xcos x2(sin

5、xcos x)2sin(x)，又T，即2.f(x)2sin(2x)函數(shù)f(x)sin xcos x的振幅為2，初相為.(2)令X2x，則y2sin2sin X.列表，并描點(diǎn)畫出圖象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)方法一把ysin x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)sin的圖象，再把ysin的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin的圖象，最后把ysin上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)2sin的圖象方法二將ysin x的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x縮短為原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)sin 2x的圖象；再將ysin 2x

6、的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)sin 2sin的圖象；再將ysin的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)2sin的圖象思維升華(1)五點(diǎn)法作簡(jiǎn)圖：用“五點(diǎn)法”作yAsin(x)的簡(jiǎn)圖，主要是通過(guò)變量代換，設(shè)zx，由z取0，2來(lái)求出相應(yīng)的x，通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象(2)圖象變換：由函數(shù)ysin x的圖象通過(guò)變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象，有兩種主要途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”把函數(shù)ysin(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，再將圖象向右平移個(gè)單位，那么所得函數(shù)的解析式為_答案ycos 2x解析將ysin(x)圖象上各點(diǎn)的橫坐

7、標(biāo)縮短到原來(lái)的(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)ysin(2x)；再將圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)ysin2(x)sin(2x)cos 2x.題型二由圖象求函數(shù)yAsin(x)的解析式例2(1)已知函數(shù)f(x)2sin(x)(其中>0，|<)的最小正周期是，且f(0)，則_，_.(2)已知函數(shù)f(x)Asin(x) (A>0，|<，>0)的圖象的一部分如圖所示，則該函數(shù)的解析式為_答案(1)2(2)f(x)2sin解析(1)f(x)(>0，|<)的最小正周期為，T，2.f(0)2sin ，即sin (|<)，.(2)觀察圖象可知：A2且點(diǎn)(0,1)在圖象上

8、，12sin(·0)，即sin .|<，.又是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，且是圖象遞增穿過(guò)x軸形成的零點(diǎn)，2，2.f(x)2sin.思維升華根據(jù)yAsin(x)k的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個(gè)方面來(lái)考慮：A的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即A；k的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即k；的確定：結(jié)合圖象，先求出周期T，然后由T (>0)來(lái)確定；的確定：由函數(shù)yAsin(x)k最開始與x軸的交點(diǎn)(最靠近原點(diǎn))的橫坐標(biāo)為(即令x0，x)確定.如圖為yAsin(x)的圖象的一段(1)求其解析式；(2)若將yAsin(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得yf(x)，求f(x)的對(duì)稱軸方程

9、解(1)由圖象知A，以M為第一個(gè)零點(diǎn)，N為第二個(gè)零點(diǎn)列方程組解得所求解析式為ysin.(2)f(x)sinsin，令2xk(kZ)，則x (kZ)，f(x)的對(duì)稱軸方程為x (kZ)題型三函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)例3(2014·重慶改編)已知函數(shù)f(x)sin(x)(>0，<)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.(1)求和的值；(2)當(dāng)x0，時(shí)，求函數(shù)yf(x)的最大值和最小值解(1)因?yàn)閒(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，所以f(x)的最小正周期T，從而2.又因f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，所以2·k，kZ，由<得k0所以.綜上，

10、2，.(2)由(1)知f(x)sin(2x)，當(dāng)x0，時(shí)，2x，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)最大；當(dāng)2x，即x0時(shí)，f(x)最小.思維升華函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的性質(zhì)(1)奇偶性：k(kZ)時(shí)，函數(shù)yAsin(x)為奇函數(shù)；k(kZ)時(shí)，函數(shù)yAsin(x)為偶函數(shù)(2)周期性：yAsin(x)存在周期性，其最小正周期為T.(3)單調(diào)性：根據(jù)ysin t和tx(>0)的單調(diào)性來(lái)研究，由2kx2k(kZ)得單調(diào)增區(qū)間；由2kx2k(kZ)得單調(diào)減區(qū)間(4)對(duì)稱性：利用ysin x的對(duì)稱中心為(k，0)(kZ)來(lái)解，令xk(kZ)，求得其對(duì)稱中心利用ysin x的對(duì)稱軸

11、為xk(kZ)來(lái)解，令xk(kZ)得其對(duì)稱軸已知函數(shù)f(x)Asin(x)(xR，A>0,0<<)的最大值為2，最小正周期為，直線x是其圖象的一條對(duì)稱軸(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解(1)最小正周期為.即2.又直線x是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，2×k，kZ，即k，kZ.又(0，)，.又A2，函數(shù)f(x)的解析式為f(x)2sin(2x)(2)g(x)f(x)f(x)2sin2(x)2sin2(x)2sin 2x2sin(2x)2sin(2x)由2k2x2k，kZ可得kxk，kZ.即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k，k，k

12、Z.三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題典例：(14分)已知函數(shù)f(x)2sin()·cos()sin(x)(1)求f(x)的最小正周期(2)若將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間0，上的最大值和最小值思維點(diǎn)撥(1)先將f(x)化成yAsin(x)的形式再求周期；(2)將f(x)解析式中的x換成x，得g(x)，然后利用整體思想求最值規(guī)范解答解(1)f(x)2sin()·cos()sin(x)cos xsin x4分2sin(x)，6分于是T2.7分(2)由已知得g(x)f(x)2sin(x)，9分x0，x，sin(x)，1，11分g(x)

13、2sin(x)1,212分故函數(shù)g(x)在區(qū)間0，上的最大值為2，最小值為1.14分解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題的一般步驟：第一步：(化簡(jiǎn))將f(x)化為asin xbcos x的形式第二步：(用輔助角公式)構(gòu)造f(x)·(sin x·cos x·)第三步：(求性質(zhì))利用f(x)sin(x)研究三角函數(shù)的性質(zhì)第四步：(反思)反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范溫馨提醒(1)在第(1)問的解法中，使用輔助角公式asin bcos sin()(其中tan )，或asin bcos cos()(其中tan )，在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，幾乎年年使用到、考查到

14、，應(yīng)特別加以關(guān)注(2)求g(x)的最值一定要重視定義域，可以結(jié)合三角函數(shù)圖象進(jìn)行求解.方法與技巧1五點(diǎn)法作圖及圖象變換問題(1)五點(diǎn)法作簡(jiǎn)圖要取好五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，注意曲線凸凹方向；(2)圖象變換時(shí)的伸縮、平移總是針對(duì)自變量x而言，而不是看角x的變化2由圖象確定函數(shù)解析式由函數(shù)yAsin(x)的圖象確定A、的題型，常常以“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置要善于抓住特殊量和特殊點(diǎn)3對(duì)稱問題函數(shù)yAsin(x)的圖象與x軸的每一個(gè)交點(diǎn)均為其對(duì)稱中心，經(jīng)過(guò)該圖象上坐標(biāo)為(x，±A)的點(diǎn)與x軸垂直的每一條直線均為其圖象的對(duì)稱軸，這樣的最近兩點(diǎn)間橫坐標(biāo)的差的絕

15、對(duì)值是半個(gè)周期(或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心的距離)失誤與防范1由函數(shù)ysin x的圖象經(jīng)過(guò)變換得到y(tǒng)Asin(x)的圖象，如：先伸縮，再平移時(shí)，要把x前面的系數(shù)提取出來(lái)2復(fù)合形式的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的單調(diào)區(qū)間的確定，基本思想是把x看做一個(gè)整體若<0，要先根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化3函數(shù)yAsin(x)在xm，n上的最值可先求tx的范圍，再結(jié)合圖象得出yAsin t的值域.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1(2013·山東改編)將函數(shù)ysin(2x)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的取值為_答案k，kZ解析把函數(shù)ys

16、in(2x)沿x軸向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)ysin 2sin為偶函數(shù)，則k，kZ，k，kZ.2(2013·浙江改編)函數(shù)f(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分別是_答案，1解析f(x)sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin.所以最小正周期為，振幅為1.3已知函數(shù)f(x)2sin(x)(>0，且|<)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案k，k，kZ解析由函數(shù)的圖象可得T，T，則2.又圖象過(guò)點(diǎn)(，2)，2sin(2×)2，2k，kZ，|<.取k0，即得f(x)2sin(2x)，其單調(diào)遞增區(qū)間為k

17、，k，kZ.4.電流強(qiáng)度I(安)隨時(shí)間t(秒)變化的函數(shù)IAsin(t)(A>0，>0,0<<)的圖象如右圖所示，則當(dāng)t秒時(shí)，電流強(qiáng)度是_安答案5解析由圖象知A10，100.I10sin(100t)圖象過(guò)點(diǎn)，10 sin(100×)10，sin()1，2k，kZ，2k，kZ，又0<<，.I10sin，當(dāng)t秒時(shí)，I5安5已知函數(shù)f(x)2sin x在區(qū)間，上的最小值為2，則的取值范圍是_答案(，2，)解析當(dāng)>0時(shí)，x，由題意知，即；當(dāng)<0時(shí)，x，由題意知，2.綜上可知，的取值范圍是(，2，)6.設(shè)偶函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0

18、，>0,0<<)的部分圖象如圖所示，KLM為等腰直角三角形，KML90°，KL1，則f()的值為_答案解析取K，L中點(diǎn)N，則MN，因此A.由T2得.函數(shù)為偶函數(shù)，0<<，f(x)cos x，f()cos .7某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)yaAcos (x1,2,3，12，A>0)來(lái)表示，已知6月份的月平均氣溫最高，為28，12月份的月平均氣溫最低，為18，則10月份的平均氣溫值為_.答案20.5解析由題意得y235cos，當(dāng)x10時(shí)，y235×20.5.8已知函數(shù)f(x)cos xsin x(xR)，給出下

19、列四個(gè)命題：若f(x1)f(x2)，則x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在區(qū)間，上是增函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱其中真命題是_答案解析f(x)sin 2x，當(dāng)x10，x2時(shí)，f(x1)f(x2)，但x1x2，故是假命題；f(x)的最小正周期為，故是假命題；當(dāng)x，時(shí)，2x，故是真命題；因?yàn)閒()sin ，故f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，故是真命題9已知函數(shù)f(x)cos x·cos(x)(1)求f()的值；(2)求使f(x)<成立的x的取值集合解(1)f()cos·coscos·cos()2.(2)f(x)cos xcos(x)cos x&#

20、183;(cos xsin x)cos2xsin xcos x(1cos 2x)sin 2xcos(2x).f(x)<等價(jià)于cos(2x)<，即cos(2x)<0，于是2k<2x<2k，kZ.解得k<x<k，kZ.故使f(x)<成立的x的取值集合為x|k<x<k，kZ10(2014·福建)已知函數(shù)f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0<<，且sin ，求f()的值；(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間解方法一(1)因?yàn)?<<，sin ，所以cos .所以f()×()

21、.(2)因?yàn)閒(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k，kZ.方法二f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)(1)因?yàn)?<<，sin ，所以，從而f()sin(2)sin.(2)T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k，k，kZ.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：25分鐘)1將函數(shù)ysin(x)的圖象F向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到圖象F，若F的一個(gè)對(duì)稱中心為(，0)則的一個(gè)可能取值是_答案2

22、已知A，B，C，D是函數(shù)ysin(x)(>0,0<<)一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的四個(gè)點(diǎn)，如圖所示，A(，0)，B為y軸上的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，在x軸上的投影為，則，的值分別為_答案2，解析因?yàn)樵趚軸上的投影為，又點(diǎn)A(，0)，所以函數(shù)的四分之一個(gè)最小正周期為.即函數(shù)的最小正周期為，故2.又點(diǎn)A(，0)是處于遞增區(qū)間上的零點(diǎn)，所以2×()2k(kZ)，則2k(kZ)又因?yàn)?<<，所以.3函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)的部分圖象如圖所示，若x1，x2(，)，且f(x1)f(x2)，則f(x1x2)_.答案解析由f(x)的圖象可得A1，T()，所以最小正周期T2.又f()sin()0，|<，所以.又x1，x2(，)，且f(x1)f(x2)，所以x1x2，所以f(x1x2)sin(2×).4(2014·湖北)某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度(單位：)隨時(shí)間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)10costsint，t0,24)(1)求實(shí)驗(yàn)室這一