線性代數(shù)：第7章 對稱矩陣和二次型

1、Exe 5.1()() |() | | ,| | | |The characteristic equations of and are the same. is an eigenvalue of if and only if is an eigeTTTTTTTTTTTAIAIAIAIAILet BAI thenBAIBBAIAIAAAnvalue of . TAExe 5.2FFTFFFTFExe 5.3Chap 6小結 理解正交、標準正交基、正交投影的定義及性質(zhì) 理解具有單位正交列向量的矩陣的性質(zhì) 熟練掌握用格拉姆-施密特方法求解正交基的算法矩陣的QR分解第7章 對稱矩陣和二次型 7.1 對

2、稱矩陣的對角化 7.2 二次型13對稱矩陣symmetric matrix 一個對稱矩陣是一個滿足AT = A 的矩陣A 方陣，主對角線元素任意，其他元素在主對角線的兩邊成對出現(xiàn) Solution 621|261115AI1231118,1 ,6,1 ,3,1 ,021vvv 12311 1,11 1021Pv v v1863P APLet then 821042(8)(6)(3)0015 821861015 15Solution 621|261(8)(6)(3)0115AI 1231118,1 ,6,1 ,3,1 ,021vvv 1231/21/61/31/2,1/6 ,1/3 ,02/61

3、/3uuu 11/21/6 1/31/21/6 1/302/61/3P111863P APLet then 11111TP PandOccasional？對稱矩陣 定理1 如果A是對稱矩陣，那么不同特征空間的任意兩個特征向量是正交的。11 122212,TAA Axx Axx12120Txxx xTT1 121 12121212=TTTxxxxAxxx A xx Ax（）（）21212212212=TTxxxxxxx Ax1 12212xxxx1212()0 xx可正交對角化orthogonally diagonalizable 一個矩陣 A 稱為可正交對角化，如果存在一個正交矩陣 P （滿足

4、P-1 = PT）和一個對角矩陣 D 使得A = PDPT = PDP-1 什么條件下矩陣可正交對角化？ n個線性無關且單位正交的特征向量 若矩陣 A 可正交對角化，A T= (PDPT ) T= PTTD TPT = PDPT = A A是對稱矩陣！ 定理 2 一個 nn 矩陣A 可正交對角化的充分必要條件是A是對稱矩陣(proof omitted)可正交對角化 對稱矩陣 如何可正交對角化？ 找到n個線性無關且單位正交的特征向量！ n個不同的特征值時，一定可正交對角化 少于n個不同的特征值時？12311/217,0 ,1,2,1/2 ,101vvv 1231/ 181/22/30,4/ 18

5、,1/3 ,2/31/21/ 18uuu 1237,72Pu u uD1.P APDLet, then 譜定理 矩陣A的特征值的集合有時稱為A的譜 定理3 對稱矩陣的譜定理 一個對稱的 矩陣具有下面特性： A有n個實特征值，包含重復的特征值 對每一個特征值，對應特征子空間的維數(shù)等于作為特征方程的重數(shù) 特征空間相互正交，這種正交性是在特征向量對應不同特征值的意義成立的 A可正交對角化nn21譜分解Spectral Decomposition 假設A = PDP-1 ，此處P的列是A的單位正交特征向量 ，且相應的特征值 屬于對角矩陣D，那么P-1 =PT 將A分解為A的譜（特征值）確定的小塊，這個

6、A的表示就稱為A的譜分解，每一項都是秩為1的nn矩陣11111 11 1 1222TTnTnnTTTTnnnnnTnuAPDPuuuuuuu uu uu uu1nuu1,.,n237.2二次型 Quadratic form Q( x ) = xTx Rn 上的一個二次型是一個定義在 Rn 上的函數(shù)，它在向量x處的值可由表達式 Q( x ) = xTAx計算，此處A 是一個nn 對稱矩陣，且矩陣 A 稱為關于二次型的矩陣 matrix of the quadratic form. 二次型與對稱矩陣的關系25Given Q( x ) , write the quadratic forms 1232

7、,.27Txx Ax where Axx221122347xx xx1212123227xxxxxx11223227xxxx112237xxxx24x2122xx123407xxA=?2622212312235328Tx Axxxxx xx x51/20,1/234 .042then A A=?22212312235328xxxx xx x112323532xxxxxx122112xx3244xx11232112312321235034042xxxxxxxxxxxx11232351/201/234042xxxxxx二次型的變量代換 在某些情況下，沒有交叉項的二次型會顯得更容易使用，也就是二次型

8、對應的矩陣是對角矩陣。 交叉項可以通過用適當?shù)淖兞看鷵Q來消去二次型的變量代換1 nnnxxPyyP xPyPyx如果 表示中的向量變量，那么變量代換是下面形式的等式： 或此處 是可逆矩陣且 是中的一個新變量。的列可確定的一個基， 是相對于該基向量的 的坐標向量。TTTTTTTT-1T-1()()()=x AxPyA Pyy P APyyP AP yP APPAPPP AP P AP D如果用變量代換處理二次型，那么 且新的二次型矩陣是。如果 可將 正交對角化，那么，且新二次型矩陣式對角矩陣。是Example : Make a change of variable that transforms

9、 the quadratic form into a quadratic form with no cross-product term. 12212112221414,854545TxAx Axxxxx xxx3021445 16045AI 123,7. 241234800AI221xx121let v1284174200AI1221xx 212let v 122/51/51/52/5yxPyy 二次型的變量代換 二次型相等的意義 利用新二次型計算Q(x)在x=(2,-2)處的值。主軸定理Principal Axes Theorem 定理4 主軸定理 設A是一個nn 對稱矩陣，那么存在一個正

10、交變量代換 x = Py, 它將二次型 xTAx 變換為不含交叉項的二次型 yTDy 矩陣P的列稱為二次型 xTAx 的主軸，向量y是向量x在由這些主軸構造的 空間的單位正交基下的坐標向量。n主軸的幾何意義 A是一個22可逆對稱矩陣 C是一個常數(shù) 可以證明 中所有滿足的x的集合，對應一個橢圓、雙曲線、兩條相交直線或單個點，或根本不含任意點 如果A是一個對角矩陣，圖2中的圖像是標準位置 反之，圖3中的圖像是標準位置的旋轉 找到主軸等同于找到一個新的坐標系統(tǒng)，在該系統(tǒng)下，其圖形是在標準位置下的圖形2521021025AI123,7.221132200AI211xx 11212let v 22117

11、2200AI211xx21212let v 37()()TTthen x AxPyA Py12yxPyPy1/21/21/21/2let P 1122TyyyP APy11223007yyyy221237yy二次型的分類 當當A是一個nn 矩陣時，二次型 是一個定義域為 的實值函數(shù) 對二次型定義域中的每一個點對應的 ，可畫出點 ，其中n12(,)xx x12(, )x x z( )zQ x二次型的分類 定義定義 正定，負定，不定正定，負定，不定 一個二次型Q是：a. 正定的positive definite，如果對所有x 0，有Q(x) 0 b. 負定的negative definite，如果

12、對所有x 0，有Q(x) 0c. 不定的indefinite ，如果Q(x)既有正值又有負值 半正定的：如果對所有x 0，有Q(x) 0 半負定的：如果對所有x 0，有Q(x) 0Q(x)由誰決定？二次型的分類41二次型與特征值Quadratic Forms and Eigenvalues 定理定理 5設A 是一個 nn 對稱矩陣，那么一個二次型是:a.正定的，當且僅當A的所有特征值是正數(shù)b.負定的，當且僅當A的所有特征值是負數(shù)c.不定的，當且僅當A既有正特征值又有負特征值矩陣的分類 正定矩陣positive definite matrix 定義 一個正定矩陣A 是一個對稱矩陣，則二次型 xTAx 是正定的 其他形式的矩陣的概念（負定矩陣、不定矩陣、半正定矩陣、半負定矩陣）可類似定義320222021A3232022263100021AI 小結 掌握矩陣正交對角化的方法和性質(zhì) 掌握對稱矩陣的譜定理 理解二次型、二次型矩陣、變量代換及二次型的分類 理解二次型