柯西不等式設(shè)計(jì)

1、中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）i 摘要柯西不等式是一個非常重要的公式，對于柯西不等式的深入了解對于我們解決一些問題有非常大的幫助。本文給出了柯西不等式的二維形式、三角形式、向量形式、一般形式、推廣形式、積分形式，對于柯西不等式的證明本文也給出了多種證明方法包括構(gòu)造二次函數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、配方法、均值不等式法、向量法、行列式證明法、利用二次型法、利用線性相關(guān)性法，本文結(jié)尾對于柯西不等式在距離問題、證明等式及不等式、解三角形和幾何相關(guān)問題、求最值、利用柯西不等式解方程、用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用給出了具體的例子，幫助大家更好的理解和掌握柯西不等式。關(guān)鍵詞：柯西不等式；形式；證明方法

2、；應(yīng)用；例子中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）ii abstract cauchy inequality is a very important formula, for in-depth understanding of cauchy inequality for we have the very big help solve some of the problems. this paper gives the cauchy inequality two-dimensional form, triangular form, a vector of the form, the general

3、form, extended form, integral form, the proof of cauchy inequality is also given in this paper some proving method includes the construction of two function method, the mathematical induction method, distribution, mean inequality method, vector method, the determinant method, proved by two method, u

4、sing linear correlation method, in the end, the cauchy inequality in the distance problem, proving inequality, triangle and geometric problems, solving the most value, using the cauchy inequality using cauchy inequality interpretation gives the sample of the linear correlation coefficient equation,

5、specific examples, to help you better understand and master the cauchy inequality. key words: cauchy inequality; form; proof method; application; examples 中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）iii 目錄前言. 1 一 柯西不等式的知識背景. 2 二 柯西不等式的形式 . 3 （1）二維形式 . 3（2）三角形式 . 3（3）向量形式 . 3（4）一般形式 . 3（5）推廣形式 . 3（6）概率論形式 . 4（7）積分形式 . 4（8）小結(jié) .

6、 4三 柯西不等式的證明方法. 5 （1）構(gòu)造二次函數(shù)法 . 5（2）數(shù)學(xué)歸納法 . 5（3）配方證明法 . 6（4）向量證明法 . 7（5）利用均值不等式法 . 7（6）利用行列式證明柯西不等式. 8（7）利用線性相關(guān)性證明柯西不等式. 9（8）利用二次型 . 9四 柯西不等式的應(yīng)用 .11 （1）距離問題 . 11（2）證明等式及不等式 . 12（3）解三角形和幾何相關(guān)問題. 13（4）求最值 . 13（5）利用柯西不等式解方程. 14（6）用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù). 15（7）小結(jié) . 16參考文獻(xiàn) . 17 中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）iv 致謝. 18 中央民族大學(xué)本科

7、生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）1 前言現(xiàn)在我國數(shù)學(xué)界對于柯西不等式的證明及應(yīng)用都有非常深厚的認(rèn)識，各位數(shù)學(xué)教授以及愛好柯西不等式研究的學(xué)者朋友們在柯西不等式的證明以及應(yīng)用方面都給出了很好的方法和思路，而我現(xiàn)在首要的任務(wù)就是將大家的方法和思路做一個統(tǒng)一的整理，對柯西不等式結(jié)合初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方法。讓我們更加清楚的認(rèn)識到柯西不等式的證明方法和應(yīng)用層次，在論文中我也會參考書籍資料挑選好的例題來增強(qiáng)大家對柯西不等式的理解，更加完美的詮釋柯西不等式的魅力所在。中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）2 一 柯西不等式的知識背景不等式作為我們學(xué)習(xí)和生活中非常重要的工具，為我們的學(xué)習(xí)和生活帶來了很大的便捷。在

8、學(xué)習(xí)上巧妙的運(yùn)用不等式能使我們遇到的問題迎刃而解，在生活中運(yùn)用不等式可以統(tǒng)籌規(guī)劃，放大資源的利用，使生產(chǎn)更有效更有利可圖。而柯西不等式做為不等式的典型的存在，在我們學(xué)習(xí)中顯得尤為重要，所以在高中柯西不等式就和廣大的學(xué)子見面了，但是當(dāng)時(shí)的我們稚嫩懵懂，只知道拿來主義的運(yùn)用柯西不等式，而并未對它的由來做充分的研究，對它的證明以及更深層次的運(yùn)用更加沒有過了解，但是在上大學(xué)后再一次見到了柯西不等式，所以如今借著論文的形式來對柯西不等式做一個簡單的了解和研究?？挛鞑坏仁绞怯纱髷?shù)學(xué)家柯西(cauchy) 在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時(shí)得到的?？挛鞒錾屠?，是一位虔誠的天主教徒，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得了很多成就，

9、柯西不等式的發(fā)現(xiàn)就是他眾多成就之一。但是要說真正讓柯西不等式發(fā)光發(fā)熱，buniakowsky 和 schwarz 兩位數(shù)學(xué)家功不可沒，因?yàn)檎撬麄儶?dú)立的在積分學(xué)中推而廣之，才將柯西不等式的近乎完善的呈現(xiàn)在大家面前。所以柯西不等式準(zhǔn)確的講應(yīng)該稱為cauchy-buniakowsky-schwarz不等式。就這樣柯西不等式得到了大家的追捧，尤其是很多的數(shù)學(xué)學(xué)者對柯西不等式更是愛不釋手，所以柯西不等式的運(yùn)用可以說是無時(shí)無刻都在發(fā)展，現(xiàn)今已知的關(guān)于柯西不等式運(yùn)用在求解距離問題、證明等式及不等式、解三角形和幾何相關(guān)問題、求最值、利用柯西不等式解方程、用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)數(shù)學(xué)問題方面比較顯著。

10、如果說數(shù)學(xué)是思維的體操，那柯西不等式一定是體操教員，對初等數(shù)學(xué)有很重要的指導(dǎo)作用?？挛鞑坏仁侥艽蚱瞥Ｒ?guī)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，很好的提高數(shù)學(xué)思考能力和解題能力，能高瞻遠(yuǎn)矚，使用起來能方便的解決數(shù)學(xué)中的問題，提高解題的效率。中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）3 二 柯西不等式的形式相信大家對于柯西不等式形式的都有所了解，最常見的就是一般形式，但其實(shí)柯西不等式除了一般形式以外還有其他很多種形式。充分的了解這些形式，勢必會增加我們對柯西不等式的了解，在解題的過程中靈活的運(yùn)用，選擇合適的形式，使我們的解題達(dá)到事半功倍的效果。同樣對于諸多形式的了解和掌握也會為我們學(xué)習(xí)更深層次的數(shù)學(xué)理論奠定良好的基礎(chǔ)。具體

11、如下：（1）二維形式1若dcba,都是實(shí)數(shù)，則柯西不等式可表述為22222)()(bdacdcba，當(dāng)且僅當(dāng)bcad時(shí)，等號成立。（2）三角形式1若dcba,都是實(shí)數(shù)，則柯西不等式表述為：)()(222222dbcadcba，當(dāng)且僅當(dāng)bcad時(shí)，等號成立。（3）向量形式1若 兩 向 量 模 的 乘 積 大 于 等 于 兩 向 量 點(diǎn) 乘 的 模 ， 即， 其 中 兩 向 量)2,)(,.,(),.,(21321nnnbbbaaaann，為零向量或者）（r則等號成立（4）一般形式1)2, 1( ,)() )()()(222nibabaiiii等號成立的條件是：nnbabababa:.:33221

12、1，或者iabi、均為零。（5）推廣形式1nnniinniinnyxyxyxyx.)()(.).).(.)(11112211此推廣式又稱卡爾松不等式，其表述是： 在nm矩陣中，各行元素之和的幾何平均不小于個列元素之和的幾何平均之積。中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）4 （6）概率論形式1)()()(xyeyexe（7）積分形式1)()()()()(222xxxdxgdxfdxgxf（8）小結(jié)從上述的眾多形式我們不難看出，對于高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、概率論這三個看似沒有聯(lián)系的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，其實(shí)是存在內(nèi)在聯(lián)系的，雖然柯西不等式在這三門課程中以不同的形式存在，也擁有不一樣的名稱，但是其實(shí)質(zhì)意義是一致的。

13、中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）5 三 柯西不等式的證明方法對于柯西不等式的了解我們不能局限于外表的形式，更要了解柯西不等式的證明過程，這樣在學(xué)習(xí)和運(yùn)用柯西不等式的過程中能有更為清晰的思路，在運(yùn)用中才能做到游刃有余，從而幫助我們更好的解決問題。對于柯西不等式的的證明方法多種多樣，大家所熟悉的有像構(gòu)造二次函數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、配方法、均值不等式法這些比較容易理解的方法和掌握的方法，但其實(shí)還有向量法、行列式證明法、利用二次型法、利用線性相關(guān)性法這些雖然相對其他方法稍難理解和記憶，但在證明柯西不等式時(shí)， 也是非常不錯的幾種方法。在加強(qiáng)我們對于柯西不等式的理解和運(yùn)用存在著非常重要的作用。具體方法如下：

14、（1）構(gòu)造二次函數(shù)法322233222211)()()()()(nnbxabxabxabxaxf)()(2)(222133221122221nnnnnnbbbxbabababaxaaa0232221nnaaaa0)(xf恒成立0)(4)(42221222122211nnnnnnbbbaaabababa又即)()(2221222122211nnnnnnbbbaaabababa當(dāng)且僅當(dāng))2, 1(0iinixbxa即nnbababa2211時(shí)等號成立綜上柯西不等式成立（2）數(shù)學(xué)歸納法32i ）當(dāng)1n時(shí)，有2121211)(baba，柯西不等式成立當(dāng)2n時(shí)，有221122222121222112)(

15、babababababa212222212222212122212221)(bababababbaa2211212222212babababa)()(2221222122211bbaababa當(dāng)且僅當(dāng)1221baba時(shí)，等號成立2 ,1n時(shí)，柯西不等式成立中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）6 ii)假設(shè))2,( ,nknkk時(shí)，柯西不等式成立即)()(222212222122211kkkkbbbaaabababa當(dāng)kkabii,為常數(shù) ,ni2, 1或021kaaa時(shí)等號成立設(shè)kkkkbababacbbbbaaaa22112222122221,則22121212121)(kkkkkbaabab

16、bbaa)(2112121112kkkkkkbacbabcac)(21222212122221kkkkbbbbaaaa2112211)(kkkkbabababa當(dāng)kkabii,為常數(shù)，ni2, 1或0k21aaa時(shí)等號成立即1kn時(shí)不等式成立綜合 i ）ii ）可知 , 柯西不等式成立（3）配方證明法)()()()(111212211212jnjjiniinjjniiniiinjjniibababababaninjjjiininjjibababa111122ninjijjjiijibabababa112222)2(210)(21211ijninjjibaba211212211212)()(,0

17、)()(niiinjjniiniiinjjniibabababa即即)()(22221222212211nnnnbbbaaabababa當(dāng)且僅當(dāng)),2, 1,(0njibabaijji即)0;, 2, 1;,2 , 1(jijjibnjnibaba時(shí)等號成立綜上所述柯西不等式成立中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）7 （4）向量證明法設(shè) n 維空間中有兩個向量),(),(2121nnbbbbaaaa其中n2121,bbbaaan；為任意兩組實(shí)數(shù)由向量長度定義，有2222122221,nnbbbbaaaa又由向量的內(nèi)積定義，cosbaba，其中為ba ，的夾角再nnbabababa2211而1co

18、s所以baba于是有22221222212211nnnnbbbaaabababa即)()(222212222122211nnnnbbbaaabababa當(dāng)且僅當(dāng)1cos時(shí)，即a與b共線時(shí)等號成立由),2 ,1,0(2211nibbababainn綜上所述，柯西不等式成立。（5）利用均值不等式法當(dāng)0)(2222122221nnbbbaaa時(shí)，柯西不等式成立當(dāng)0)(2222122221nnbbbaaa時(shí)，柯西不等式可化為)()(1222212222122211nnnnbbbaaabababa由均值不等式可知)()(222212222122211nnnnbbbaaabababa2)()(222221

19、2222211nnnaaaaaaaa2)()(2222212222211nnnbbbbbbbb22222122222121nnnaaaaaaaa中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）8 22222122222121nnnbbbbbbbb1即)()(1222212222122211nnnnbbbaaabababa當(dāng)且僅當(dāng)),2 ,1,0(2211nibbababainn時(shí)等號成立綜上所述，柯西不等式得證. （6）利用行列式證明柯西不等式4首先存在定理：設(shè))(,11111111ijnnnnnnnnccabbbbbbaaaaa其中naajiaijsjibac1,2,1,則 c 等于 a中所有的s階子試與

20、 b中對應(yīng)的s子試的乘積之和即svvvbvvvssnvvsm2121aab211211（當(dāng)nm時(shí)規(guī)定右邊為零）再用上述定理給出柯西不等式的行列式證明方法如下：令矩陣nnbbbaaaa2121，則niiniiiniiiniibbabaa121112aac故211212)()(niiiniiniibabac但由上述定理知：njiijjijjiinjijijibababababbaac121)(而ia及ib為實(shí)數(shù)，故0c當(dāng)且僅當(dāng)naaa,21與nbbb,21成正比時(shí)等號成立中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）9 于是0)()(211212niiiniiniibaba即柯西不等式得證 . （7）利用線性

21、相關(guān)性證明柯西不等式1設(shè)nr 為向量空間若nnnrbbbaaa),(),(2121則)()(222212222122211nnnnbbbaaabababa成立當(dāng)且僅當(dāng)向量與線性相關(guān)時(shí))()(222212222122211nnnnbbbaaabababa證明：i) 設(shè)與線性相關(guān)，則存在不全為零的nrlk,，使0lk所以有或者，其中rlkkl,-以上兩種情況帶入柯西不等式兩端均可使等號成立ii)設(shè)與線性無關(guān)，則對每一個rx有0- x，即至少有一個 i 使0iixba于是2222211)()()()(nnbxabxabxaxf或者0)()(2)()(222212211222221nnnnbbbxba

22、babaxaaaxf這里0，否則與線性相關(guān)與題設(shè)矛盾于是有nbbb,21不全為零和022221nbbb這樣就有0即0)(4)(4222212222122211nnnnbbbaaabababa于是)()(222212222122211nnnnbbbaaabababaiii)若柯西不等式等號成立，則必線性相關(guān)與不然由 ii)將推出柯西不等式不等號成立故綜上所述柯西不等式成立（8）利用二次型1對于不等式22222)()(2)()(0ybxybaxaybxaiiiiii中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）10 即關(guān)于yx,的二次型非負(fù)定，那么022iiiiiibbabaa即222)(iiiibaba，柯

23、西不等式得證中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）11 四 柯西不等式的應(yīng)用對柯西不等式形式和證明方法的理解其目的在于讓我們更好的運(yùn)用柯西不等式，所以柯西不等式作為工具我們就應(yīng)該對它的應(yīng)用有一定的掌握。而這也正是柯西不等式的本質(zhì)意義?？挛鞑坏仁皆诓坏仁街姓紦?jù)很重要的地位，掌握好柯西不等式并靈活巧妙的運(yùn)用它，可以使一些較為困難的問題迎刃而解?？挛鞑坏仁皆谧C明不等式、解三角形、求函數(shù)最值、解方程等問題的方面都有很好的應(yīng)用。對柯西不等式的應(yīng)用相信大家也都了解一二，論文的意義也在于把更多的柯西不等式的應(yīng)用思路清晰的呈現(xiàn)在大家的面前，在以后的學(xué)習(xí)和研究中希望能對大家有所幫助。所以通過對學(xué)者論文以及相關(guān)書籍的

24、整理，梳理出了以下幾方面對于柯西不等式的應(yīng)用，在論文中也會給出相應(yīng)的典型例題幫助大家更好的理解柯西不等式應(yīng)用的巧妙之處。主要應(yīng)用包括下列幾方面: （1）距離問題1利用柯西不等式證明：平面點(diǎn)),(00yxp到直線0cbyax的距離公式2200bacbyaxd證明：對直線上的任意一點(diǎn)),(yxq得cbyax，且022ba由柯西不等式得：200202022)()()()()(yybxxayyxxba200200)()()(cbyaxbyaxbyax則有22002020)()(bacbyaxyyxx當(dāng)byyaxx00時(shí)，等式成立，由垂線段最短可得2200bacbyaxd中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)

25、）12 （2）證明等式及不等式7已知正數(shù)cba,滿足1cba證明3222333cbacba證明：利用柯西不等式有)()()()()()(22322322322123212321232222cbacbaccbbaacba1cba2333223223223)()()()()(cbacbacbacba又因?yàn)閏abcabcba222在此不等式兩邊同乘以2，再加上222cba得：)(3)(222cbacba)(3)()(2223332222cbacbacba3222333cbacba設(shè)rxxxn,21，且121nxxx，求證：111112222121nxxxxxxnn證明：上述不等式可以寫成1)111)

26、(1(2222121nnxxxxxxn由)111)(1(2222121nnxxxxxxn)111()111(222212121nnnxxxxxxxxx2222111)111111(nnnxxxxxxxxx1)(221nxxx綜上不等式成立。已知11122abba，求證：122ba。證明：由柯西不等式得：中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）13 1)1()1(11222222bbaaabba當(dāng)且僅當(dāng)bbab2211時(shí)，等號成立)1)(1(,11222222bababaab于是有122ba。（3）解三角形和幾何相關(guān)問題設(shè) p 是abc內(nèi)的一點(diǎn)，zyx,是 p 到三邊cba,的距離， r是abc外接圓

27、的半徑，證明22221cbarzyx證明：由柯西不等式得cbaczbyaxcczbbyaaxzyx111111記 s為abc的面積，則rabcrabcsczbyax242222221212cbarcabcabrabccabcabrabczyx故不等式成立。（4）求最值6已知實(shí)數(shù)dcba,滿足5632,32222dcbadcba試求a的最值解：由柯西不等式得2222)()613121)(632(dcbdcb即2222)(632dcbdcb由條件可得，22)3(5aa解得，21a當(dāng)且僅當(dāng)616313212dcb時(shí)等號成立。中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）14 帶入61,31, 1dcb時(shí)，2ma

28、xa，31,32,1dcb時(shí)，1mina已知132zyx，求1222zyx的最小值。解：1)32()321)(2222222zyxzyx141222zyx當(dāng)且僅當(dāng)321zyx即143,71,141zyx時(shí)222zyx取最小值141。（5）利用柯西不等式解方程6在實(shí)數(shù)集內(nèi)求解方程組39246849222zyxzyx解：由柯西不等式得2222222)2468()24(6)8()(zyxzyx（1）222222239)1443664(49)24(6)8()(zyx又2239)2468(zyx2222222)24(6)8()()2468(zyxzyx即不等式（ 1）中僅等號成立從而由柯西不等式中等號成

29、立的條件得2468zyx從而有方程組3924682468zyxzyx可得1318,269,136zyx求解方程組486)()(6922222224zywwzyxxwxzyx解：原方程組可化簡為486)(6922222wxzyxwxzyx中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）15 運(yùn)用柯西不等式得27)()(2222zyxzyx，18)(222wxwx兩式相乘得到486)(22222wxzyx當(dāng)且僅當(dāng)3wzyx時(shí)取等號故原方程組的解為3wzyx。（6）用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)87在線性回歸中，有樣本相關(guān)系數(shù)niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()()(當(dāng)1r且 r 越接近于 1

30、，相關(guān)程度越大，越接近于0，則相關(guān)程度就越小利用柯西不等式解釋線性相關(guān)系數(shù)先設(shè)yybxxaiiii,，則有niiniiniiibabar12121，由柯西不等式有，1r當(dāng)1r時(shí)，niiniiniiibaba121212)(此時(shí)，kkabxxyyiiii,)()(，為常數(shù)點(diǎn)niyxii,2, 1),(均在直線)(xxkyy上當(dāng)1r時(shí)，niiniiniiibaba121212)(，即0)(121212niiniiniiibaba而njiijjiniiniiniiibabababa12121212)()(kkabbabababaiiijjinjiijji,00)(12為常數(shù)此時(shí)kkabxxyyiiii,)()(為常數(shù)中央民族大學(xué)本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）16 點(diǎn)),(iiyx均在直線)(xxkyy附近，所以 r 越接近于 1，相關(guān)程度越大當(dāng)0r時(shí)，),(iiba不具備上述特征，從而找不到合適的常數(shù)k使得點(diǎn)),(iiyx不都在直線)(xxkyy附近，所以 r 越接近于 0，則相關(guān)程度越小。（7）小結(jié)綜上所述的柯西不等式應(yīng)用的解釋也不是最完美的，但這只