高等數(shù)學(xué) 習(xí)題87方向?qū)?shù)與梯度

1、章節(jié)題目第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度內(nèi)容提要方向?qū)?shù)的概念及計(jì)算梯度的概念與幾何意義重點(diǎn)分析方向?qū)?shù)的計(jì)算梯度概念的理解難點(diǎn)分析梯度概念的理解梯度的幾何意義習(xí)題布置 2、4、7、10備注教 學(xué) 內(nèi) 容一、問(wèn)題的提出實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行二、方向?qū)?shù)的定義討論函數(shù)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問(wèn)題設(shè)函數(shù)Z=f (x ,y)

2、在點(diǎn)P (x ,y)的某一領(lǐng)域U (P)內(nèi)有定義,自點(diǎn)P引射線L,設(shè)x軸正向到L射線的轉(zhuǎn)角為,并設(shè) (x+)為L(zhǎng)上的另一點(diǎn)且當(dāng)沿著趨于時(shí),是否存在？記為 依定義，函數(shù)在點(diǎn)沿著軸正向、軸正向的方向?qū)?shù)分別為；定理如果函數(shù)在點(diǎn)是可微分的，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向L的方向?qū)?shù)都存在，且有 ，其中為軸到方向L的轉(zhuǎn)角證明 由于函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以得到設(shè)為cos,為sin故有方向?qū)?shù)例1求函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù).解 這里方向即為, 故軸到方向的轉(zhuǎn)角. 所求方向?qū)?shù) 例2 求函數(shù)在點(diǎn)（1，1）沿與軸方向夾角為的方向射線的方向?qū)?shù).并問(wèn)在怎樣的方向上此方向?qū)?數(shù)有 （1）最大值；

3、（2）最小值； （3）等于零？解 由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知 故（1）當(dāng)時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最大值; （2）當(dāng)時(shí)，方向?qū)?shù)達(dá)到最小值;（3）當(dāng)和時(shí)，方向?qū)?shù)等于0.推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義對(duì)于三元函數(shù)，它在空間一點(diǎn)沿著方向L的方向?qū)?shù) ，可定義為（ 其中）設(shè)方向L的方向角為 同理：當(dāng)函數(shù)在此點(diǎn)可微時(shí)，那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向L的方向?qū)?shù)都存在，且有例3 設(shè)是曲面 在點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)在此處沿方向的方向?qū)?shù).解 令 故 方向余弦為 故 三、梯度的概念定義 設(shè)函數(shù)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)，都可定出一個(gè)向量，這向量稱為函數(shù)在點(diǎn)的梯度，記為.設(shè)是方向 上的單位向量，由方

4、向?qū)?shù)公式知 其中當(dāng)時(shí)，有最大值.結(jié)論：函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為 .當(dāng)不為零時(shí)，軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為在幾何上表示一個(gè)曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量等高線的畫(huà)法 例如, 梯度與等高線的關(guān)系：函數(shù)Z=f (x, y)在點(diǎn)p(x ,y)的梯度的方向與點(diǎn)p的等高線f (x, y)=c在這點(diǎn)法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等值線，而梯度的模等于等于函數(shù)在這個(gè)法線方向上的方向?qū)?shù)。梯度的概念可以推廣到三元函數(shù) 三元函數(shù)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于每一點(diǎn)，都可定義一個(gè)向量(梯度)類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.類似地,設(shè)曲面為函數(shù)的等量面，此函數(shù)在點(diǎn)的梯度的方向與過(guò)點(diǎn)P的等量面在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面，而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).例4 求函數(shù) 在點(diǎn) 處的梯度，并問(wèn)在 哪些點(diǎn)處梯度為零？解 由梯度計(jì)算公式得故在處梯度為0.四、小結(jié)1、方向?qū)?shù)的概念（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）2、梯度的概念（注意梯度是一個(gè)向量）3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)