安徽大學(xué)2008-2009學(xué)年第一學(xué)期《量子力學(xué)》(B)卷及答案

1、1 r r , r , 安徽大學(xué) 2008-2009 學(xué)年第一學(xué)期量子力學(xué)（b）卷及答案一、簡(jiǎn)答題1. 能級(jí)簡(jiǎn)并、簡(jiǎn)并度。答：量子力學(xué)中，把處于不同狀態(tài)、具有相同能量、對(duì)應(yīng)同一能級(jí)的現(xiàn)象稱(chēng)為能級(jí)簡(jiǎn)并。把對(duì)應(yīng)于同一能級(jí)的不同狀態(tài)數(shù)稱(chēng)為簡(jiǎn)并度。2. 用球坐標(biāo)表示，粒子波函數(shù)表為r, ,，寫(xiě)出粒子在球殼r , r dr 中被測(cè)到的幾率。2解： p r 2 dr sindr,2 d。0 0 3. 粒子在一維勢(shì)壘v (x) (x) (0) 中運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)為(x) ，寫(xiě)出(x) 的躍變條件。解：(0 ) (0 ) 2m(0) 。2 4. 寫(xiě)出電子自旋 s z 的二本征值和對(duì)應(yīng)的本征態(tài)。解： s z, 2

2、1 1 2 (s z ) 0； s , z 20 1 2 (s z ) 1。二、填充題5. 量子力學(xué)中，體系的任意態(tài)(x) 可用一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)n (x) 展 開(kāi) ， 展 開(kāi) 式 為(x) cnn (x) n ， 展 開(kāi) 式 系 數(shù)cn n (x),(x)(x)(x)dx * 26. 一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)的旋量波函數(shù)為r , s r ,，電子自旋向上z 2r , （ sz 2 ） 、位置在處的幾率密度為 / 22 ；電子自旋向下（s 2 ）的幾率為d 3 r / 22 。n z 2 j1 j2 jm x x x x 7. 二粒子體系，僅限于角動(dòng)量涉及的自由度，有兩種表象，分別為耦合表象和非

3、耦合表象；它們的力學(xué)量完全集分別是j 2 , j 2 , j 2 , j 和j 2 , j , j 2 , j ；在1 2 z 兩種表象中，各力學(xué)量共同的本征態(tài)分別是和1 1z 2 2 z 。8. 計(jì)算下列對(duì)易式：(1) x , d 1 （2） d , x 2 2x d x d x 三、證明題9. 設(shè)力學(xué)量 a 不顯含時(shí)間 t ，證明在束縛定態(tài)下，證：設(shè)束縛定態(tài)為，即有d a 0 。d t h e ，h e ，d a 1 d t ia, ha 。t 因 a 不顯含時(shí)間 t ，所以a 0 ，因而t d a 1 d t ia, h 1 iah ha1 iah ha1 e a ie a 0 。10.

4、 粒子自旋處于 sz 2 的本征態(tài)1 0 ，試證明 sx 和sy 的不確定關(guān)系2 / 4 解：( sx)2 (s sx)2 s 2 s 2 。但s 2 2 / 4 （常數(shù)） ，?0 11sx sx1 0 0 ，2 所以( s )2 2 / 4 。1 00j1m1 j2 m2（s ）2 （s ）2x y x 3 （s ）2 （s ）2x y 3 y r 2 21 1同理，( s )2 2 / 4 。所以2 / 4 。四、計(jì)算題11. 氫原子處于狀態(tài)1r , s y11 ，r 21 y10 2 2 求軌道角動(dòng)量的z 分量 lz 的平均值； 求自旋角動(dòng)量的z 分量 sz 的平均值；e 求總磁矩e 的

5、 z 分量m 的平均值。m 1 22l s z3 2 1解：lz 2 0 。2 4 1 2 3 2 sz 2 2 2 2 4 。 m el e s e e e1 m 。z 2zz 24 4 84 b 12. 考慮在無(wú)限深勢(shì)阱（0 x a ）中運(yùn)動(dòng)的兩電子體系，略去電子間的相互作用以及一切與自旋有關(guān)的相互作用，求體系的基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的波函數(shù)和能量，并指出其簡(jiǎn)并度。解：二電子體系，總波函數(shù)反對(duì)稱(chēng)。一維勢(shì)阱中，體系能級(jí)為e nn,n , n , , n na（1）基態(tài)：ea ?？臻g部分波函數(shù)是對(duì)稱(chēng)的：( )( ) , n sin na x 。z a 4 2 2自旋部分波函數(shù)是反對(duì)稱(chēng)的：總波函數(shù)(

6、)( ) ( )( ) 。( )( ) ( )( ) 。( )( ) ( )( ) （2）第一激發(fā)態(tài)：ea 。空間部分波函數(shù)：s 1 (1)2( 2 ) 1 ( 2 )2(1) ，1 (1)( 2 ) ( 2 ) (1) 。a 1 2 1 2 自旋部分波函數(shù)：( )( )s ( , ) ( ) ( ) ，( )( ) ( )( ) a ( , ) ( )( ) ( )( ) 。二電子體系的總波函數(shù)a s ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s a 基態(tài)不簡(jiǎn)并，第一激發(fā)態(tài)是四重簡(jiǎn)并的。13.對(duì)于一維諧振子，取基態(tài)試探波函數(shù)形式為e x2 ，為參數(shù)。用變分法求基態(tài)能量。解：設(shè)基態(tài)波函數(shù)c e x2 ，歸一化，得c e x22d x c e2 x2 d x c 2 1/ 2 1 1 2 25 2取21 / 4c 則有1 / 4 2ex22 d2 1 2 2h x2d x2x 2e 1/ 2 * hd x x22 d2 1 2 2 x22d x2 2 1/ 2 2 2e2 x2 1 2 x2 d x 1 2e2 x2x2