廣義最優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析

1、廣義最優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析簽名：葉芳導師簽名：孟生旺日期：2009-5-14摘要在非壽險精算學屮，獎懲系統(tǒng)是昀為重要的經(jīng)驗估費系統(tǒng)之一,在我國汽車保險中也有普遍的應用。獎懲系統(tǒng)通過加收保費來懲罰在保險期內發(fā)生一次或多次事故的投保人，而對于那些無索賠的投保人，則通過保費折扣的方式予以獎勵。它不僅可以鼓勵投保人小心駕駛（抵消投保人的道德風險），還能更好的評估個體風險。然而0前的獎懲系統(tǒng)中，個體保費的后驗調整修正都是基于索賠次數(shù)。這種設計下，有一次小額索賠的投保人與發(fā)生一次大額損失的投保人遭受同樣的轉移懲罰，這對小額索賠的投保人而言是不公平的。因此，在昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計時加入索賠強度信息對系

2、統(tǒng)的公平性具有十分重要的理論價值和現(xiàn)實意義，這樣得到的昀優(yōu)系統(tǒng)即為廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)。本文的主要內容將以獎懲系統(tǒng)為主線，結合其在汽車第三者責任險屮的應 用而展開。首先討論現(xiàn)行獎懲系統(tǒng)的轉移規(guī)則下，昀優(yōu)保費尺度的確定。接從索賠次數(shù)和索賠強度兩個方面，計算廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的保費。在索賠次數(shù)及強度模型的建立中，還需考慮到先驗分類變量的影響。昀后，將2001年的第三者責任險樣本數(shù)據(jù)帶入模型進行實證分析，得到各獎懲系統(tǒng)昀優(yōu)保費水平的比較結果，論證了在獎懲系統(tǒng)中加入索賠強度信息的合理性與必要性，同吋也指出了其在實際應用中的局限性。關鍵詞:廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng);昀優(yōu)保費尺度;索賠次數(shù);索賠強度;先驗分類變量 ab

3、stractbonus-malus system bms is one of the most important experientialratemakingsystems in the non-life insurance actuarial science, and is alsopopular in chinabms penalize insureds responsible for one or more accidents by premiummaluses,and reward claim-free policyholders by awarding them bonuses.

4、besidesencouraging policyholders to drive carefully i. e. counteractingmoral hazard, it alsoaims to better assess individual risks. however, the bms now are allbased on theposteriori claim frequency only. in the models, policyholders withthe same numberof accidents pay the same malus，irrespectively

5、of the size of lossof their accidentsln this sense the bms designed in the above way areunfair for the policyholderswho had an accident with a small size of loss. therefore, it is veryimportant for boththe academic and practical use to take the claim severity informationintoconsideration in the desi

6、gn of general optimal bmsthis paper is basedon the bms, combined with its application in the automobile1 iability insurance. firstly, we discuss the determination of optimalbonus scalesunder the transfer rules of the bms in force. then we compute thepremiums of thegeneral optimal bms including claim

7、 frequency and severity components,whichshould also take the priori rating factors into consideration.finally, we apply thesample data of automobile liability insurance in 2001 for empiricalstudy to get thecomparison result of the optimal scales in each system- it isconcluded that it isreasonable an

8、d necessary to add the claim severity information intothe bms, andthere is also limitation in the practical applicationkeywords:general optimal bonus-malus system; optimal bonus scales; claimfrequency; claim severity; priori rating factors目錄第1章概述11.1研究背景11.2研宄意義21.3文獻綜述21.4研宄結構和研宄內容.4第2章現(xiàn)行轉移規(guī)則下的最優(yōu)保費

9、尺度52.1昀優(yōu)保費尺度確定的基木理論52.2實證分析8第3章廣義最優(yōu)獎懲系統(tǒng)133. 1索賠次數(shù)模型133.2索賠強度模型143.3考慮索賠次數(shù)及索賠強度的昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)153.4廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)163.4.1廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的索賠次數(shù)模型16 3.4.2廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的索賠強度模型173.4.3廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的性質.193 5實證分析.193.6各獎懲系統(tǒng)的昀優(yōu)保費尺度比較.26第4章結論28參考文獻31附錄33致謝40表格索引圖3-1索賠強度的頻率直方圖21表2-1樣本的索賠次數(shù)分布8表2-2泊松分布的偏差分析9表2-3泊松4變量模型的參數(shù)估計10表2-4無賠款優(yōu)待的保費浮動系數(shù)10表

10、2-5機動車商業(yè)保險行業(yè)基木條款a款系統(tǒng)下的數(shù)值結果11表3-1基于后驗索賠次數(shù)的昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的保費尺度.20表3-2基于索賠次數(shù)及索賠強度的昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的保費水平?總索賠額100021表3-3基于索賠次數(shù)及索賠強度的昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的保費水平?總索賠額10000 22表3-4第一年不同索賠經(jīng)驗數(shù)據(jù)對應的昀優(yōu)保費尺度的比較.23 表3-5偏差分析23 表3-6佩爾托兩變量模型的參數(shù)估計24 表3-7樣木風險單位的先驗分類分布24表3-8新保單，賠償限額50000,車輛用途4,地區(qū)2的投保人對應的保費25表3-9續(xù)保保單，賠償限額50000,車輛用途4,地區(qū)2的投保人對應的保費25表3-10現(xiàn)行轉移

11、規(guī)則下已知第一年索賠經(jīng)驗的典型投保人的保費尺度.26表3-11廣義獎懲系統(tǒng)下己知第一年索賠經(jīng)驗的典型投保人的昀優(yōu)保費尺度27廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析第1章概述1. 1研究背景在保險精算中，精算師的主耍工作是設計一個保費系統(tǒng)，使得賠付在投保人間公平的分配。因此,我們通常將所有保單根據(jù)先驗信息（如投保人的年齡、性別、婚姻狀況、地區(qū)等）進行分類，形成若干個相對同質的風險集合等級，在相同等級下的投保人繳納相同的保費。我們可以很方便的通過廣義線性模型（如，泊松冋歸廣義線性模型）來實現(xiàn)先驗分類。然而，可用的投保人的先驗信息有限，故依據(jù)已知分類變量劃分的風險類別內還是存在著較大的異質性。投保人在保

12、險期間的索賠次數(shù)信息一定程度反映了那些沒有考慮的分類變量。因此，在非壽險精算中，我們需要根據(jù)投保人的索賠經(jīng)驗逐年調整其保費水平，得到相應的后驗保費，以確保保費系統(tǒng)公平性。保費系統(tǒng)通過加收保費來懲罰在保險期內發(fā)生一次或多次事故的投保人，而對于那些無索賠發(fā)生的投保人，則通過保費折扣的方式予以獎勵。這樣的定價系統(tǒng)即為獎懲系統(tǒng)（bonus-malus system,簡記為bms），在我國亦稱為無賠款優(yōu)待（no claim discount,簡記為ncd），被廣泛應用于汽車保險。這種后驗的費率厘定方法對投保人的風險進行丫有效的區(qū)分。它不僅可以鼓勵投保人小心駕駛（抵消投保人的道德風險），還能更好的評估個體

13、風險。在應用獎懲系統(tǒng)時，投保人的保費多少不僅取決于現(xiàn)階段的費率因子（先驗分類的結果），還與其后驗的索賠經(jīng)驗相關。實踐中，獎懲系統(tǒng)通常由有限個等級組成,不同的等級對應于不同的相對保費水平。每份保單在一個保險期（假設各保險期相等且通常為1年）內位于其中的一個等級，第二年所在等級由前等級及該年內的索賠經(jīng)驗，依據(jù)公司的轉移規(guī)則唯一決定。投保人所繳納 保費則是由其在獎懲系統(tǒng)中所處等級決定的相對保費以及由先驗信息決定的基礎保費共同計算得到的。1廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析所謂的昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)要求：1.對保險人而言財務平衡，即懲罰的總額等于獎勵的總額;2.對投保人公平，即各投保人支付與其風險相當?shù)谋ＹM。

14、1.2研宄意義目前，獎懲系統(tǒng)中個體保費的后驗修正所依據(jù)的索賠經(jīng)驗僅包括索賠次數(shù)。這種設計下,有一次小額索賠的投保人與發(fā)生一次大額損失的投保人遭受同樣的轉移懲罰，這對小額索賠的投保人而言是不公平的。另外，由于索賠額信息決定了保險人的事故成本及保費水平，因而從實務角度出發(fā),在獎懲系統(tǒng)的設計中加入索賠額信息比加入索賠次數(shù)信息更為重要。因此，我們考慮設計一個同時包含索賠次數(shù)和索賠強度的昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)。進一步，考慮在上述獎懲系統(tǒng)的設計中加入投保人的先驗信息（即分類變量），得到同時考慮投保人個體特征、個體索賠次數(shù)及具體索賠強度的廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)。這樣得到的保費系統(tǒng)如果能在實踐中得以操作，將使得投保人所支付的

15、保費與其風險更為匹配,也實現(xiàn)/昀優(yōu)系統(tǒng)的公平性要求。1.3文獻綜述norberg(l976)，borgan, hoem 和 norberg(1981)，gilde 和 sundt (1989),joao manuel andrade e silva 和 maria de lourdes centeno(2005)等作者在其發(fā)表的論文中根據(jù)某種轉移規(guī)則，定義了不同的昀優(yōu)化準則，并給出了 bms系統(tǒng)的昀優(yōu)保費尺度的計算。lemaire(1995)在bichsel (1964)和b (ihlmann(1964)的基礎上設計了基于投保人索賠次數(shù)經(jīng)驗的昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)，在該系統(tǒng)中投保人需支付的保費與其估計的

16、索賠次數(shù)成比例，而昀優(yōu)的索賠次數(shù)的估計值則是通過的小化平方誤差損失函數(shù)確定。coene和doray(1996)通過比較無限等級(其權重為各等級的穩(wěn)態(tài)分布概率)的昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的保費和一定約束條件下保費的差值，昀小化平方損失函數(shù)，得到了建立財務平衡的獎懲系統(tǒng)的方法。walhin和par is (1997)的昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)則是通過對索賠次數(shù)采用hofmann分布進行擬合得到的。注意到,上述獎懲系統(tǒng)均只考慮了索賠次數(shù)信息,而沒有考慮到索2廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析賠強度以及先驗分類變量對保費可能造成的影響。dionne和vanasso(1989, 1992)討論了一個針對單個投保人的綜合考慮先驗

17、及后驗信息的獎懲系統(tǒng)，該系統(tǒng)是一個關于投保年數(shù)、索賠次數(shù)以及影響索賠次數(shù)的個人先驗分類變量的函數(shù)。picech(1994)通過啟發(fā)式算法建立了近似構優(yōu)考績制度(merit-rating system )的獎懲系統(tǒng);sigalotti (1994)則研究得到了一個遞歸過程來計算遞增的均衡保費序列，該均衡保費是用來平衡保費收入和由于獎懲系統(tǒng)轉移規(guī)則產(chǎn)牛.的減少的保費費用。taylor (1997)在確定昀優(yōu)保費尺度時考慮采用一系列的分類變量來補充僅考慮索賠次數(shù)經(jīng)驗所存在的內部異質性，同時指出后驗修正(即獎懲)的強度決定于根據(jù)已知的投保人先驗信息確定的保費的變化程度。上述獎懲系統(tǒng)在確定保費時，仍然沒

18、有考慮到索賠強度的影響。picard(1976)和pinquet(1997)在獎懲系統(tǒng)的設計中考慮加入了索賠強度。其中，picard推廣了負二項模型，將索賠分成小額損失和大額損失兩類。nicholas和spyridon(2001)在此基礎上設計了一個針對單個投保人的同時考慮索賠次數(shù)和索賠強度的廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)。國內方而，高瑋(2008)關于汽車保險獎懲系統(tǒng)的研宂中，也討論了考慮索賠大小的獎懲系統(tǒng)。類似現(xiàn)行考慮索賠次數(shù)的轉移規(guī)則，該系統(tǒng)將索賠總通過分段確立不同的等級，使得保費依據(jù)索賠額確定的轉移規(guī)則在各等級之變化，但其屮沒有考慮關于分段標準的確立。以上成果對獎懲系統(tǒng)進行了較為全面的研宄，但仍存在

19、不足之處。首先，除去nicholas和spyridon(2001),高瑋(2008),其余研究沒有考慮或很少慮到了索賠強度在獎懲系統(tǒng)中的應用。其次，研究大多只討論了獎懲系統(tǒng)在論上的設計與實現(xiàn)，得到的結果缺乏實踐上的指導意義。本文的研究是在前人的基礎上進行的，所作的創(chuàng)新主要體現(xiàn)在：第一，結合了中國的具體索賠數(shù)據(jù)，對各理論模型進行了實證分析，驗證了各理論模型對于中國數(shù)據(jù)的可行性。第二，引入了現(xiàn)行的實際獎懲系統(tǒng)，采用2008年昀新的機動車商業(yè)保險行業(yè)基本條款，將其與理論結果相比較，使得理論結果在實踐中具有應用價值。3廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析1.4研宄結構和研宄內容木文的主要內容將以獎懲系統(tǒng)

20、為主線，結合其在汽車第三者責任險中的應 用而展開，在上述研究的基礎上設計得到一個廣義的昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)，主要工 包括: 第二章討論了現(xiàn)行轉移規(guī)則（給定先驗分類，僅考慮索賠次數(shù)）下昀優(yōu)保費尺度的確定，并將其與財險公司實際采用的保費尺度進行比較。第三章是廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計。這一系統(tǒng)中，我們綜合考慮了索賠次數(shù)、影響索賠次數(shù)的先驗分類變量、索賠強度以及影響索賠強度的先驗分類變量。在上述兩章的討論中，我們都將利用中國2001年第三者責任險的樣本數(shù)據(jù)對模型進行實證分析。并選取昀具代表性的單個投保人，根據(jù)他的先驗信息及索賠經(jīng)驗，比較在各個獎懲系統(tǒng)屮的保費變化情況，說明其合理性。第四章為結論，同時指出論文的不

21、足和可以改進的部分。4廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析第2章現(xiàn)行轉移規(guī)則下的最優(yōu)保費尺度2.1最優(yōu)保費尺度確定的基木理論在汽車保險的費率擬定過程屮，我們首先要選取有效的先驗分類變量，將投保人劃分為不同的風險類別。然而,可用的投保人的先驗信息有限,故依據(jù)己知變量劃分的風險類別內還是存在著較大的異質性。而投保人在保險期間的索賠次數(shù)信息一定程度上反映了那些在先驗分類時沒有考慮的分類變量。因此，我們需耍根據(jù)投保人的索賠經(jīng)驗逐年調整其保費水平，以確保保費系統(tǒng)的公性。在非壽險精算實踐中，經(jīng)驗費率系統(tǒng)占有相當重要的位置，我們通過獎懲 系統(tǒng)屮不同等級的保費尺度調節(jié)來實現(xiàn)。這里，保費尺度是一個相對保費的念。對

22、于從屬于不同風險類別的投保人，在其基礎費率確定的情況下，各個保費等級的相對費率是一致的。本節(jié)的討論正是基于經(jīng)驗費率系統(tǒng)，有如下假定：1各保險期相等il通常為1年。2保單分成0、個有限等級，每份保單在一個保險期內等級不變。3所有保單的初始等級均相同。4保費尺度記為rro,rs，其屮rl表示保單組合屮位于1等級的保費水平，即位于1等級的被保險人所付保費為由先驗分類確定的基礎保費的rl倍。5轉移規(guī)則中投保人任意時期所在的等級是上期所在等級和報告索賠次數(shù)函數(shù)。6所有保單的索賠強度的均值為1。獎懲系統(tǒng)是在馬爾科夫鏈理論的基礎上發(fā)展的。以記一個期望索賠p入11次數(shù)為a的投保人從等級1轉移至1的概率。m a

23、為一步轉移概率矩陣，有12m x p1 x, ,1 0,1, so m a的v次冪則表示v步轉移矩陣，其屮11 1212v表示通過v次轉移從等級1至1的概率。p入11 1 2125廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析由各風險等級之間的互通性以及等級s經(jīng)過一個無索賠保險期后等級不變，知該馬爾科夫鏈是不可約，非周期的。因此它存在極限分布，有it入，it x n , x, k x ,其屮ii a表示期望索賠次數(shù)為a的投保人在等級1的01 s 1不變概率，即冗入入lim p 0lv ->+°°ll注意，這里n a與初始等級無關。由穩(wěn)態(tài)分布的知識，有1jt ''

24、入t 入m入冗入'e 1解之，可得1， /it 入？ el m 入+e其中，e是由1組成的列向量，e是由1組成的lss +x+1矩陣，i為單位矩陣。以l記穩(wěn)態(tài)分布下年期望索賠次數(shù)為x的投保人所在等級，則入prll ji x, 1 0, 1, so入1taylor （1997）的論文中提出，獎懲系統(tǒng)中的保費尺度對于那些先驗風險較大（即期望索賠次數(shù)較大）的類別存在過度懲罰的現(xiàn)象。他指出，根據(jù)先驗分類受到懲罰的投保人（先驗風險較大）將會堆積在獎懲系統(tǒng)的昀高等級而再受到懲罰，相反地，在投保時根據(jù)先驗分類獲得保費折扣的投保人也將獲得驗獎勵（因為他們占據(jù)著獎懲系統(tǒng)昀低的等級）?？紤]一個期望索賠次數(shù)

25、較大投保人，如城市的年輕男性司機，他的期望索賠次數(shù)較大（這也是他為什么在初始階段被“懲罰”，繳納較高的基礎保費的原因），進而將極有可能轉移至懲系統(tǒng)的昀高等級。相對的，一個郊區(qū)的中年女性司機，她的期望索賠次數(shù)較小，因此更有可能呆在獎懲系統(tǒng)中的昀低等級。則投保人在獎懲系統(tǒng)中所在等級在一定程度上也可以被他們的先驗分類變量解釋。因此，在公平定價中，應該將獎懲系統(tǒng)所含信息中沒有反映在先驗分類的部分分離出來，后驗修正只能由獎懲系統(tǒng)屮不被先驗分類變量解釋的那部分信息決定。接下來，我們量化這一結論。a從保單組合中隨機抽取一個投保人。令表示他的先驗期望索賠次數(shù)，它是由該投保人的先驗分類信息決定的，有e八a。顯然

26、，由于不可能考慮到所有的風險因子，故依據(jù)己知分類變量劃分的風險類別內還是存在著較大的異質性。表示在基礎費率擬定時未考慮的其他風險因子的剩余影響，則實際的年期望索賠次數(shù)為八久假設八和o相互獨立。又以w記第k類風險分類（先驗k6廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析期望索賠次數(shù)為x ）的權重，則顯然有pr八x w?，F(xiàn)假定投保人所在等級為l,有pr l l w jt 入 euede (1)lkk o ofk其中，prl 1表示位于等級1的投保人的比例。預測的準確性是衡量獎懲系統(tǒng)有效性的一個很好的指標。在一個獎懲系統(tǒng)中，如果投保人繳納的保費與他們“真實”的保費接近的話,則能很好的區(qū)分大小風險。norber

27、gl976采用信度理論的模型結構，按昀小期望平方誤差的則，求得在穩(wěn)態(tài)分布下的昀優(yōu)保費尺度，即昀小化2q 0 se0? r 1s2 er © - llprllz 11 0 (2)s2 e -rl pr ® 1 e e u d e2 wr 0 - 丌入 0 u 0 d 0zzkllkfkl 00 0解之，得rl e©1 1ee© li，八li el 1，八入入pra li (3)l kkkprll 0 0 x，八wprll a ,入kk k 0 0 ud 0l0 0prll a , x prll wu o ji 入 00 d oklkfk0 0wu丌入00

28、d 0zklkk f0 0當達到穩(wěn)態(tài)分布時，由財務平衡有erl。注意到，當不考慮任何先驗分類費1率,即所有的x a吋，（3）式可簡化為ke ji 入 e ud 0 e1f0 0r1t入 e ud e e0 0這個結果與norbergl976的結論完全一致。至此，我們得到了給定先驗分類變量的條件下昀優(yōu)保費尺度的確定，這里的轉移規(guī)則僅考慮了索賠次數(shù)信息，7廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析2.2實證分析本文實證分析所采用的數(shù)據(jù)是2001年汽車第三者責任保險的索賠樣本數(shù)據(jù)，共9747份保單。包括保單序號，車型，車輛用途，是否續(xù)保，地區(qū)，駕齡，賠償限額，總索賠次數(shù)和總賠款9個變量。其中，樣木索賠次數(shù)的

29、分布如表2-1所示，其索賠次數(shù)的均值為0.1706。1表2-1樣本的索賠次數(shù)分布己報告索賠次數(shù)k己報告索賠次數(shù)為k的保單數(shù)0 85411 8312 3093 514 145 1對于已知索賠數(shù)據(jù)，先驗的分類變量包括車型（8類），車輛用途（4類），是否續(xù)保，地區(qū)（2類），駕齡（1年以下駕齡，1-2年駕齡，3年以上駕齡）和賠償限額（50000, 100000,200000）,共 8*4*2*2*3*31052 個類別。通過已知數(shù)據(jù)知道，有702個類別中不包括保單樣本，故本例中共有350個類別。泊松分布適合于描述單位時間內隨機事件發(fā)生的次數(shù)。當風險集合同質時，索賠次數(shù)服從泊松分布。因此，這里采用泊松分

30、布來擬合索賠次數(shù)數(shù)據(jù)。令，nittl，2，表示投保人i在第t年的索賠次數(shù)，通過泊松廣義線性模型，利用投保人i在第t年的先驗分類變量，可得投保人i在第t年的期望索賠次數(shù)。入 enit it令表示剩余異質部分對索賠次數(shù)的影響，若給定，則投保人i的期望0 o 0 索賠次數(shù)為。更進一步，假設服從標準伽瑪分布，有入e ©it i1aaua ()() exp?a ()其中，。結構函數(shù)為伽瑪分布的泊松分布所形成的混合分布為負二項e 0 11分布。這里需要說明，在描述風險集合中任意風險次數(shù)時之所以使用負二項分布1本文表格的數(shù)據(jù)來源均為2001年汽車第三者責任險的索賠樣本數(shù)據(jù)。8廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計

31、及其實證分析是由其優(yōu)良性質決定的。首先，實際的風險集合中通常存在一定的異質性，而負二項分布的方差大于均值，為它在風險管理中的應用奠定了基礎。其次,負二項分布是當風險的索賠頻率、強度之間存在正向傳染是索賠次數(shù)的分布。而獎懲系統(tǒng)屮的保費調整過程正是按此原則進行的。因此，在描述風險集合索賠次數(shù)吋，即使某些情況下其他分布優(yōu)于負二項分布，通常仍采用負二項分布。首先通過廣義泊松回歸模型，利用先驗變量對已知數(shù)據(jù)進行分類?？紤]不同的先驗分類變量可以得到不同的回歸模型，可以通過擬合優(yōu)度檢驗選取昀的模型。本文采用的擬合優(yōu)度度量為偏差(doviarwo)，即d1 2 y;y ?1 u ;y。其中l(wèi);yy和b p y

32、分別是模型在y和p處的對數(shù)似然函數(shù)值。對于一個充分的模型，d服從自由度為n-p的漸近的卡方分布。若兩個模型進行比較，其中的個模型是另外一個模型的簡化版。令d1和dfl分別表示復雜模型的偏差和自由度，d2和df2對應于簡化版模型，其卡方統(tǒng)計量為d2-dl/df2-dfl，成將其與自由度為df'2-dfl的卡方分布進行比較，選取較優(yōu)模型。表2-2給出了各泊松回歸模型的擬合結果。表2-2泊松分布的偏差分析2模型偏差自由度d2-d1x p值無分類變量647. 8252 349 +是否續(xù)保 626. 1164 348 21.7088 1 21.7088 0.0000+賠償限額 599.0321

33、346 27. 0843 2 13.5422 0.0011+地區(qū) 591. 1900 345 7.8421 1 7.8421 0.0051+車輛用途 547.2903 342 43.8997 3 14.6332 0.0022+駕齡 541.2003 340 6. 0900 2 3.0450 0.2182+車型 500. 7864 333 40. 4139 7 5. 7734 0. 5664注:本表結果通過matlab軟件得到，具體程序參見附錄1基于偏差分析可知，駕齡和車型變量在0.01水平下是不顯著的，因此在昀優(yōu)模型中只考慮是否續(xù)保、賠償限額、地區(qū)、車輛用途四個分類變量，表2-3給出了該模型的

34、參數(shù)估計值。9廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析表2-3泊松4變量模型的參數(shù)估計參數(shù)估計值標準差p值p 截距項-1.8842 0.1972 0.00001p 用途 2 -0.6008 0.0970 0.000023 用途 3 -0. 8426 0. 1542 0. 000033 用途 4 -0.4471 0.0947 0.00004p 續(xù)保-0. 3276 0. 0683 0. 00005p 地區(qū) 2 0.4841 0. 1726 0.00505p 賠償限額 100000 0.2691 0.0551 0.00006自由度df 342偏差 deviance 547.2907注:本表結果通過mat

35、lab軟件得到，具體程序參見附錄1表2-3結果表明在a 0.01水平下，所有參數(shù)的估計值均顯著。因此，基于上述偏差分析和參數(shù)估計的結果，得到了泊松假設k的昀優(yōu)4變量模型，它樣本分成了 4*2*2*348個風險類別，這是我們確定的先驗費率分類。在此基上，進行昀優(yōu)保費尺度的確定。采用2008年昀新的機動車商、ik保險行業(yè)基本條款a款確定的轉移規(guī)則，具體見表2-4 o表2-4無賠款優(yōu)待的保費浮動系數(shù)系數(shù)名稱說明系數(shù)連續(xù)3年沒有發(fā)生賠款0. 7連續(xù)2年沒有發(fā)牛.賠款0.8上年沒有發(fā)生賠款0.9無賠款優(yōu)待新?；蛏夏曩r款次數(shù)在3次以下1.0上年發(fā)生3次賠款1. 1上年發(fā)生4次賠款1.3 10廣義昀優(yōu)獎懲系

36、統(tǒng)的設計及其實證分析由表2-1可以知道，僅1份保單發(fā)生5次及以上索賠。因此，對上述轉移規(guī)則稍作簡化，取消上年發(fā)生5次及以上賠款等級，上年發(fā)生4次賠款等級則定義為上年發(fā)生4次及以上賠款。則轉移矩陣m a為3pp+?pp 1 p0123 l ii 03pp+?pp 1 pz0123 ii 03pp+? pp 1 pz0123 ii 0mx3pp+? p p 1 p01 2 3 i i 03pp+? p p 1 pl01 2 3 ii 0 3pp+? p p 1 p01 2 3 z i i 0表2-5給出了該轉移規(guī)則下的具體數(shù)值結果：表2-5機動車商業(yè)保險行業(yè)基木條款a款系統(tǒng)下的數(shù)值結果不考慮先驗加

37、入先驗分實際保等級1 prl 1分類的昀優(yōu)類的昀優(yōu)保el八1費尺度保費尺度費尺度0 59. 94%0. 440.920. 700.171 11. 15%1.761.100.800.182 13.22%2.281.130. 900.183 15.61%2.971.161.000.184 0.07% 6.51 1.49 1. 10 0. 205 0.00% 9.27 1.67 1.25 0.22注:本表結果通過matlab軟件得到,具體程由表2-1的索賠次數(shù)數(shù)據(jù)，可以得到該樣本的均值等于0.1706,方差等于0. 2556,方差大于均值，數(shù)據(jù)確實存在過離散。因此，用負二項分布來擬合索賠次數(shù)是合理的

38、。由樣本數(shù)據(jù)可以得到，入0.1706，a 0.3426。由式(4)，得到表2-5屮的第三列數(shù)據(jù)，即沒有先驗分類條件下的昀優(yōu)保費尺度。若考慮先驗分類，則可由表2-3結果得到相應的a以及a 5. 4248,再由式(3),可以得到k表2-5屮的第四列數(shù)據(jù)，即加入先驗分類條件下的昀優(yōu)保費尺度。表2-5的昀后一列數(shù)據(jù)表示的是加入先驗分類后各等級保單的索賠次數(shù)的條件期望，即11廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析el a1 入入 pra l1z kkkprll 八入wkk入z kprll入 ji wu 入 00 d 0z kk 1 kfk0 0wu丌入00 d 0zklkk f0 0可以看到，各等級保單的期

39、望索賠次數(shù)隨著等級的增加而增加，這表明現(xiàn)有系統(tǒng)下仍存在過度懲罰的現(xiàn)象，這可能是由于先后驗信息在獨立性不能得到確保。但是，芥等級索賠次數(shù)的條件期望在一定程度上已經(jīng)趨于一致了，這說明在一定程度上，可以認為獎懲系統(tǒng)的后驗修正是由不被先驗分類變量解釋的那部分剩余信息決定。當達到穩(wěn)態(tài)狀態(tài)吋，有近60%的保單占據(jù)等級0,享受昀大的折扣。再來看保費尺度。加入前述4個先驗分類變量后昀低保費尺度由原來的0.44增加到0.92;而昀高的保費尺度則由原來的9. 27減少到1.67。由此可見，在費率擬定時考慮先驗分類會使得后驗修正的嚴厲性大大減弱。這與taylor (1997)的理論是一致的，即后驗修正(即獎懲)的強

40、度決定于根據(jù)已知的投保人先驗信息確定的保費的變化程度。而財險公司在確定實際費率時，除了車輛用途、地區(qū)、是否續(xù)保及賠償限額四個變量外，還考慮了性別、年齡、平均年行駛里程數(shù)等分類變量。依據(jù)taylor (1997)的理論，當保險人采用越多的分類變量吋，其中仍存在的異質性也就越小，后驗修正的強度也就應該越小。因此采用現(xiàn)行實際的分類變量得到的昀優(yōu)保費尺度相較于表2-5第4列所示的昀優(yōu)保費尺度，其修正強度應該更小。再看財險公司實際使用的保費尺度，其懲罰部分的嚴厲性的確小于昀優(yōu)保費尺度，但是，其獎勵程度卻高于昀優(yōu)保費尺度。這可能是實踐中為提高系統(tǒng)的激勵機制、公司競爭等因素所導致的。現(xiàn)行轉移規(guī)則下的獎懲系統(tǒng)

41、在確定昀優(yōu)保費尺度時只是基于索賠次數(shù)。這種設計下，有一次小額索賠的投保人與發(fā)生一次人額損失的投保人遭受同樣的轉移懲罰，這對小額索賠的投保人而言是不公平的。因此，在下一章中我們考慮設計一個同時包含索賠次數(shù)和索賠強度的昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)。12廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析第3章廣義最優(yōu)獎懲系統(tǒng)目前，除了韓國以外，其他國家的保險公司在獎懲系統(tǒng)的設計中都未考慮 索賠額大小的影響。這主要是因為投保人之間索賠額的差異通常十分顯著， 按期望損失原理來確定其保費水平，則高風險投保人所應繳納的保費有時可是他所無法接受的。然而，由于索賠額信息決定丫保險人的事故成本及保費水平，因而從實務角度出發(fā)，在獎懲系統(tǒng)的設計中加

42、入索賠額信息比加入索賠次數(shù)信息更為重因此，在本章中我們考慮設計一個加入索賠強度的昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)。進一步，我們將在上述獎懲系統(tǒng)的設計中加入投保人的先驗信息，即分類變量。這樣們就得到了一個同時考慮個體特征、個體索賠次數(shù)及具體索賠強度的廣義獎系統(tǒng)。上述系統(tǒng)在設計時，均假設各投保人的索賠強度和索賠次數(shù)相互獨立，且保費的確定均是針對單個具體的投保人而言。3.1索賠次數(shù)模型先考慮索賠次數(shù)部分，其分布假設與第二章相同:給定® e (風險類別屮剩余異質部分對索賠次數(shù)的影響)，索賠次數(shù)服從參數(shù)為a ()的泊松分布,其中0服從gammaaa，分布。令k表示投保人在第i年的索賠次數(shù),it 1，k k表示該投

43、保人在t年內的總索賠次數(shù)。由貝葉斯理論可以得到該投保z ii 1人對應的關于g的結構函數(shù)的后驗分布：pk0 0 uuk 0 kpk x 0 tk aaet 入 0 /k !a 0 exp? r a 0/ ar + kaa /t /k!1/1+a/入入 t a/t/l+a/入tka+ ka?l?a+x 0 tr+ ak13廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析其中x表示該投保人所在風險類別索賠次數(shù)的均值。由上可知，該后驗分布服從gamma，a+ k a x t分布。利用平方誤差損失函數(shù)，對于索賠次數(shù)經(jīng)驗k，k的投保人，其關于0的昀優(yōu)值為上述后驗分布的均值，即1 t t +1ak +0 kk，。tt

44、+11at + x故第t+1年的期望索賠次數(shù)的昀優(yōu)估計值滿足ak +入 0 kk， 入。（6）tt +11at + x3.2索賠強度模型本節(jié)討論索賠強度模型。令x表示投保人單次索賠的索賠額，y表示該投保人的平均索賠強度。假設該投保人索賠強度的條件分布（x y）為指數(shù)分布，2?xy /1則有fxy ?e。其中xy, 0: exy y, varxyy 。顯然對于不同y的投保人，其平均索賠強度y是不盡相等的。故假設y服從參數(shù)為s，ni的逆伽瑪分布，有my /1/mcgys +1/ ym r s其中。則關于x的無條件分布為參數(shù)為s，m的佩爾托分布，有ey ? m/s 1s ?s ?1 px fx yg

45、ydy smx+m of0為了在昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計中加入索賠額的影響，我們需要得到在己知索賠額經(jīng)驗數(shù)據(jù)的情況k平均索賠強度y的后驗分布。令x表示第k次索賠的索kkxx賠額，則已知的索賠經(jīng)驗數(shù)據(jù)為x，x ,t年內總的索賠額為。由z1 k kk 1貝葉斯理論可以得到，給定索賠額經(jīng)驗數(shù)據(jù)條件下，平均索賠強度y的后驗布為14廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析gx y gykgy x xl kk 1pxkx?/ y my s+1xy / e /xt t k e /m /y /m skx?/ y my s+1x /ye /xr r k e /m /y /m sdyf0ks+? m+x/ymx + eks

46、+1yk r+s它服從參數(shù)為s+k，m+x的逆伽瑪分布。利用平方誤差損失函數(shù)，平均索賠強度后驗分布的均值，即第t+1年的期望索賠強度的昀優(yōu)估計值滿足mx +tk +11sk + ?13.3考慮索賠次數(shù)及索賠強度的最優(yōu)獎懲系統(tǒng)由第一、二節(jié)，在已知t年經(jīng)驗數(shù)據(jù)(索賠次數(shù)及索賠強度)條件下，該投保人在第t+1年的期望索賠次數(shù)為，期望索賠強度為入 0 kk，t +11 ty xx，。則該投保人在第t+1年的純保費為t +11 kak+ m x入at+ x s k?1該昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)有如下性質：1) 依據(jù)w葉斯理論，考慮投保人在保單組合中的歷史索賠經(jīng)驗,投保人支付其索賠次數(shù)和索賠強度相對應的保費，因而該系

47、統(tǒng)是公平的。這里采用了投保人具體的索賠額數(shù)據(jù)來區(qū)分那些有著相同索賠次數(shù)經(jīng)驗的投保人的保費水平，而非僅僅是保單組合的平均索賠強度。2) 系統(tǒng)是財務平衡的。各年的平均總保費是不變的，滿足pm 入 /s ?1(9)所有投保人的初始保費也均等于式(9)。其中，由于假設索賠次數(shù)和索賠強度相互獨立，滿足ee 入入 e()k，k 入1 tey eey x , x m /s?liklemaire(1995)和vrontos(1998)給出丫上述兩式的證明。15廣義h勻優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計及其實證分析3) 索賠發(fā)牛.的次數(shù)越多，損失的規(guī)模越大，則相應的保費也就越高。4) 當沒有索賠發(fā)生時，保費通常會減少。5) 在該

48、昀優(yōu)系統(tǒng)下，由于保費水平的確定考慮到了索賠強度大小的影響，當投保人發(fā)生小額索賠時也可能會向系統(tǒng)報告。因而減少了獎勵驅動(bonushunger,即投保人為了獲得折扣獎勵而不報告索賠)的現(xiàn)象，可以獲得更精確的索賠次數(shù)數(shù)據(jù)。6) 由于索賠額信息決定了保險人的事故成本及保費水平，因而從實務角度出發(fā)，在獎懲系統(tǒng)的設計中加入索賠額信息比加入索賠次數(shù)信息更為重要。3.4廣義最優(yōu)獎懲系統(tǒng)木節(jié)將討論廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的設計。dionne和vanasse (1989, 1992)討論了考慮風險分類以及各投保人歷史索賠次數(shù)經(jīng)驗的獎懲系統(tǒng)。引入索賠強度部分，可以擴展上述系統(tǒng)。廣義昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)正是在3. 3節(jié)中考慮索賠次數(shù)及索賠強度的昀優(yōu)獎懲系統(tǒng)的基礎上加入先驗分類變量以確定保費，它是一個關于投保人在保單組合中的年數(shù)t、經(jīng)驗索賠次數(shù)、經(jīng)驗索賠強度以及該投保人的先驗分類信息的函數(shù)。類似的，由獨立性假設，將純保費分解為索賠次數(shù)和索賠強度兩部分的乘積，即pg bm ?gbm 。fs3.4.1廣義最優(yōu)獎懲系統(tǒng)的索