高中數(shù)學(xué)2.5.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和導(dǎo)學(xué)案(含解析)新人教版必修5-新人教版高二必修5數(shù)學(xué)學(xué)案

1、第二章第五節(jié) 數(shù)列前 n 項(xiàng)和習(xí)題課目標(biāo)定位： 運(yùn)用分組求和法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，弄清每一種方法對(duì)應(yīng)的題型特征。 （重點(diǎn)和難點(diǎn)）1等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式是什么？其公式是如何推導(dǎo)的？2等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)有哪些？分組轉(zhuǎn)化法求和 例 1 已知數(shù)列 cn ：112，214，318，試求 cn的前n項(xiàng)和 解 令cn的前n項(xiàng)和為sn，則sn112214318n12n(1 23n) 12141812nnn1212112n112nn12112n. 即數(shù)列 cn 的前n項(xiàng)和為snn2n2112n. 類題通法 當(dāng)一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，但如果它的通項(xiàng)公式可以拆分為幾項(xiàng)的和

2、，而這些項(xiàng)又構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列，那么就可以用分組求和法，即原數(shù)列的前n項(xiàng)和等于拆分成的每個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和的和 活學(xué)活用 1求和：sn3333333333n個(gè). 解：數(shù)列 3,33,333 ，3333n個(gè)的通項(xiàng)公式an13(10n1) sn13(10 1) 13(1021) 13(10n1) 13(10 102 10n) n313101 10n110n31027(10n1) n3. 錯(cuò)位相減法求和 例 2 (2012浙江高考 ) 已知數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn，且sn2n2n，nn*，數(shù)列bn滿足an4log2bn 3，nn*. (1) 求an，bn；(2) 求數(shù)列 anbn 的前n項(xiàng)和tn

3、. 解 (1) 由sn2n2n，得當(dāng)n1 時(shí)，a1s13；當(dāng)n2時(shí)，ansnsn14n1，所以an4n 1，nn*. 由 4n1an4log2bn3，得bn2n1，nn*. (2) 由(1) 知anbn(4n1)2n1，nn*，所以tn 3721122 (4n1)2n1,2tn32722 (4n5)2n1(4n1)2n，所以 2tntn(4n1)2n3 4(2 22 2n1) (4n5)2n5. 故tn(4n5)2n5，n n*. 類題通法 如果數(shù)列 an是等差數(shù)列， bn 是等比數(shù)列， 求數(shù)列 anbn的前n項(xiàng)和時(shí)， 可采用錯(cuò)位相減法在寫出“sn”與“qsn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)

4、對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“snqsn”的表達(dá)式 活學(xué)活用 2已知ann3n，求數(shù)列 an的前n項(xiàng)和sn. 解：sn13232333n13n1n3n，13sn132233n13nn3n1，兩式相減得23sn1313213313nn3n113113n113n3n112123nn3n1，sn34143n1n23n342n343n. 裂項(xiàng)相消法求和 例 3 已知等差數(shù)列an滿足：a37，a5a726，an的前n項(xiàng)和為sn. (1) 求an及sn；(2) 令bn1a2n1(nn*)，求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和tn. 解(1) 設(shè)等差數(shù)列 an的首項(xiàng)為a1，公差為d，由于a37，a5a726，a12d7,2

5、a110d26，解得a13，d2. 由于ana1(n 1)d，snna1an2，an2n1，snn(n2) (2) an2n1，a2n14n(n1)，因此bn14nn1141n1n 1. 故tnb1b2bn1411212131n1n11411n1n4n1. 數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和tnn4n 1. 類題通法 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)( 通項(xiàng) ) 分解，然后重新組合使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的 利用裂項(xiàng)法的關(guān)鍵是分析數(shù)列的通項(xiàng)，考察是否能分解成兩項(xiàng)的差，這兩項(xiàng)一定要是同一數(shù)列相鄰( 相間 ) 的兩項(xiàng)，即這兩項(xiàng)的結(jié)論應(yīng)一致 活學(xué)活用 3在數(shù)列 an 中，an1n12n1nn1，且bn2a

6、nan1，求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)的和解：an1n 1(1 2n) n2，bn2anan1，bn2n2n128(1n1n 1) ，數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和為sn 8(1 12) (1213) (1314) (1n1n1) 8(1 1n1) 8nn1. 數(shù)列求和的常用方法歸納 1公式法 ( 分組求和法 ) 如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)是由幾個(gè)獨(dú)立的項(xiàng)組合而成，并且各獨(dú)立項(xiàng)也可組成等差或等比數(shù)列，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和可考慮拆項(xiàng)后利用公式求解2裂項(xiàng)求和法對(duì)于裂項(xiàng)后明顯有能夠相消的項(xiàng)的一類數(shù)列，在求和時(shí)常用“裂項(xiàng)法”，分式的求和多利用此法 可用待定系數(shù)法對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行拆項(xiàng)，相消時(shí)應(yīng)注意消去項(xiàng)的規(guī)律，即消去哪些項(xiàng)，保

7、留哪些項(xiàng)，常見的拆項(xiàng)公式有：1nnk1k(1n1nk) ；若 an為等差數(shù)列，公差為d，則1anan11d(1an1an1) ；1n1nn1n等3錯(cuò)位相減法若數(shù)列 an 為等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，由這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成的新數(shù)列為 anbn，當(dāng)求該數(shù)列的前n項(xiàng)的和時(shí)，常常采用將anbn 的各項(xiàng)乘以公比q，然后錯(cuò)位一項(xiàng)與 anbn的同次項(xiàng)對(duì)應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和，所以這種數(shù)列求和的方法稱為錯(cuò)位相減法4倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加求和法 隨堂即時(shí)演練

8、1已知an( 1)n，數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn，則s9與s10的值分別是 ( ) a1,1 b 1， 1 c1,0 d 1,0 解析：選 d s9 111 111111 1，s10s9a10 110. 2數(shù)列 an ，bn 滿足anbn1，ann23n2，則 bn的前 10 項(xiàng)和為 ( ) a.14b.512c.34d.712解析：選 b 依題意bn1an1n23n21n1n21n11n2，所以 bn 的前 10 項(xiàng)和為s1012131314141511111212112512，故選 b. 3求和：sn 1112 11214 11214181121412n1_. 解析：被求和式的第k項(xiàng)為：ak 1121412k 1112k1122 112k. 所以sn2112 1122112n2n1212212312n2n12112n1122n 112n2n12n12. 答案： 2n12n12 4已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an2n12n，其前n項(xiàng)和sn32164，則項(xiàng)數(shù)n等于 _解析：an2n12n112nsnn12112n112n 112n321645164，n6. 答案： 6 5已知等比數(shù)列an中，a2 8，a5512. (1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2) 令bnnan，求數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和sn. 解