九類常見遞推數(shù)列求通項公式方法60079

1、For personal use only in study and research; not forcommercial use遞推數(shù)列通項求解方法舉隅類型一： an 1 pan q （ p 1）思路 1(遞推法)： an pan 1 q p(pan 2 q) q p p pan 3 q q qFor personal use only in study and research; not for commercial usen 1 2 p a1 q(1 p pn2p )a1q pn 1 qp1 1 p思路 2（構(gòu)造法）：設(shè) an 1 p an，即 p 1 q 得q ，數(shù)列p1an是以 a

2、1為首項、 p 為公比的等比數(shù)列，則 anqa1p1q pn 1 ，即 p1qp1pn 1 1qp例 1 已知數(shù)列 an 滿足 an 2an 1 3且 a1 1 ，求數(shù)列 an 的通項公式。 解：方法 1（遞推法） ：an 2an 1 3 2（2an 2 3） 3 2 2 2an 3 3 3 3 2n 13(1 2222n2 )1 32n 13 2n 13。2 1 12方法2(構(gòu)造法)：設(shè)an 12an ，即 3， 數(shù)列an3 是以a13 4為首項、 2為公比的等比數(shù)列，則an 34 2n 12n 1，即an2n13。類型二： an 1 an f (n)思路 1(遞推法)：an an 1 f

3、(n 1) an 2 f (n 2) f (n 1) an 3 f (n 3) f (n 2) f (n 1) n1 a1f (n) 。i1思路 2(疊加法)： an an 1 f (n 1) ，依次類推有： an 1 an 2 f (n 2) 、 n1an 2 an 3 f (n 3)、 a2 a1 f (1)，將各式疊加并整理得 an a1f (n) ，即i1n1an a1f (n) 。i1例 2 已知 a1 1， an an 1 n ，求 an 。解：方法 1(遞推法)：an an 1 n an 2 (n 1) n an 3 (n 2) (n 1) nn(n 1)2na1 2 3 (n

4、2) (n 1) n ni1方法 2(疊加法) ：anan 1n ，依次類推有：an 1an 2n1、an 2an 3n2、a2 a1 2 ，將各式疊加并整理得nan a1n ，i2nana1i2n n n(n 1)i 1 2類型三： an 1 f(n) an思路 1(遞推法)：an f(n 1) an1 f(n 1) f(n 2) an 2 f(n 1) f(n 2) f(n 3) an 3 f (1) f (2) f (3) f(n 2) f(n 1) a1。思路 2(疊乘法)： an f (n 1) ，依次類推有： an 1 f (n 2) 、an 1an 2a2an 2 f(n 3)、

5、 a2 f (1) ，將各式疊乘并整理得 anan 3a1a1f (1) f (2) f (3) f (n 2) f (n 1) ，即 an f(1) f (2) f (3) f (n 2) f (n 1) a1 。n1例 3 已知 a1 1， anan 1 ，求 an 。n1解：方法 1(遞推法)：ann 1an1n 1 n 2an 2n 1n 2 n 3an3n 1n 1 nn 1 n n 12。n(n 1)方法 2（ 疊乘法）an 1n1n1，依次類推有：an 1an 2n 2 an 2 n 3 、n an 3 n 1a3 2 a2 4an n 1 n 2 n 3 a1 n 1 n n

6、11 ，即3思路（特征根法） ：為了方便，我們先假定a1 m、 a2 n 。遞推式對應(yīng)的特征方程2為 x2 px q ，當(dāng)特征方程有兩個相等實根時，ancn d2pn1c、d 為待定系a2 12 ，將各式疊乘并整理得a1 3n1n2n 3 21ann n 1nn1432 n(n 1)類型四：an 1 pan qan 1數(shù)，可利用 a1 m、 a2 n求得） ；當(dāng)特征方程有兩個不等實根時 x1、 x2 時，an ex1n 1 fx2n 1（ e、 f 為待定系數(shù)，可利用 a1 m、 a2 n求得 ） ；當(dāng)特征方程的根 為虛根時數(shù)列 an 的通項與上同理，此處暫不作討論。例 4 已知 a1 2、a

7、2 3, an 1 6an 1 an,求an 。解：遞推式對應(yīng)的特征方程為 x2 x 6 即 x2 x 6 0，解得 x1 2 、 x23。設(shè) an ex1fx2 ，而 a1 2 、 a2 3 ，即e f 2 ，解得2e 3f 39e5 ，即1an 92n1 1( 3)n1。55類型五： an 1 pan rqn ( p q 0 )思路(構(gòu)造法) ： an pan 1 rqn 1 ，設(shè) annann 11，nqn 1rqn 1 ，從而解得n 1 rpq。那么ar nr nqn是以pqa1r 為首項，q p qp 為公比的等比數(shù)列。 q例 5 已知 a1 1 ， an an 1 2n 1 ，求

8、an 。解：設(shè) a2nn2ann 11，則 2 1 n1 2n 2n n 1 ，解得2，1ann 12n 311是以 1 1231 為首項， 1 為公比的等比數(shù)列，即 ann 16 22n 361 21 n1，ann2n 1。3類型六： an 1 pan f(n) ( p 0 且 p 1)思路(轉(zhuǎn)化法) ：an pan 1 f (n )1 ，遞推式兩邊同時除以 pn 得an n pan 1 f(n 1) annn 11n ，我們令 nn bn ，那么問題就可以轉(zhuǎn)化為類型二進(jìn)行求解了。p p p例 6 已知 a1 2， an 1 4an 2n 1，求 an 。n n a a 1 n，令 ann

9、bn ，則4解：an4an 1 2n，式子兩邊同時除以 4n得4ann 4ann 1112bn bn 1b1112，依此類推有 bn 1 bn 2，各式疊加得bn b1 n 12 n 1 i 2 2bn b1112 n in1 12 nn1、 bn 2bn 3n，即1 12n212an4nbn4n1an4bn412類型七： an 1 panr （ an 0 ）思路（轉(zhuǎn)化法） ：對遞推式兩邊取對數(shù)得 logm an 1 r logm an logm p ，我們令bn logm an，這樣一來，問題就可以轉(zhuǎn)化成類型一進(jìn)行求解了。例 7 已知 a1 10，an 1 an2，求 an。lgan1 2l

10、g an，令 lgan bn，則n12 為公比的等比數(shù)列，即 bn 2n 1 ，解：對遞推式 an 1 an2 左右兩邊分別取對數(shù)得bn 1 2bn ，即數(shù)列 bn 是以 b1 lg10 1 為首項，b2n 1因而得 an 10bn 102 。c an類型八： an 1n （ c 0）pan d思路（轉(zhuǎn)化法）1：對遞推式兩邊取倒數(shù)得an 1c anpand ，那么 1d1p，an 1canc1令 bn，這樣，an問題就可以轉(zhuǎn)化為類型一進(jìn)行求解了。4，an1 2 an ，求 an。n 1 2an 1 nan 12anan 11解：對遞推式左右兩邊取倒數(shù)得 12an 1 即 1 1 11，令 1b

11、n則2 anan11bn 12bn 1。設(shè) bn 1 2 bn，17即2 ， 數(shù)列 bn 2 是以 2 為442n 12n 2 71首項、 1 為公比的等比數(shù)列，則 bn 22n1，即 bn n1， an n2 。2n12n12n27類型九：an 1 a an b （ c 0 、 ad bc 0 ） c an da 1a d an a2cd為等差數(shù)列，我思路 （特征根法） ：遞推式對應(yīng)的特征方程為 x ax b 即 cx2 （d a）x b 0 。當(dāng) cx d特征方程有兩個相等實根 x1 x2時，數(shù)列 即1 2an1們可設(shè)ad an 1 2c1（ 為待定系數(shù)，可利用 a1、a2 求得）；當(dāng)特征

12、方程 ad2can有兩個不等實根x1、an x1x2時，數(shù)列n 1 是以 a1 x1 為首項的等比數(shù)列，我們可設(shè)an x2a1 x2anx1anx2a1 x1a1 x2n 1 （ 為待定系數(shù)，可利用已知其值的項間接求得） ；當(dāng)特征方程的根為虛根時數(shù)列an 通項的討論方法與上同理，此處暫不作討論。例 9 已知 a114an 1 32 ， anann11 2n 2 ），求 an 。解：當(dāng) n 2 時，遞推式對應(yīng)的特征方程為4x 3xx2即 x2 2x 3 0，解得x11、 x2 3 。數(shù)列an 1 是以 a1 x1an 3a1 x2221 為首項的等比數(shù)列，設(shè)2an 1 1 n 1 ，由an 31

13、 a 1a1 1 得 a2 2 則 3 ，3 ，即 an 1 1 3n 1 ，2an 3n3n 1 從而 an3n 1 11 ,n 12an2n3n 133n1 11,n 2寒假專題常見遞推數(shù)列通項公式的求法重、難點：1. 重點： 遞推關(guān)系的幾種形式。2. 難點： 靈活應(yīng)用求通項公式的方法解題。典型例題】例 1 an 1 kan b 型。1) k1時， an1anban 是等差數(shù)列，anb n(a1b)2)k 1時，設(shè) an 1 mk(an m)an 1 kan km m比較系數(shù)： km m bbmk1an b n k 1 是等比數(shù)列，公比為k ，首項為bk1an(a1kb1) kn 1 kb

14、1anb(a1b ) k n 1n k 1 1 k 1 例 2 an 1 kan f (n) 型。1) k 1 時， an 1 anf(n) ，f(n) 可求和，則可用累加消項的方法。例：已知 an 滿足 a1 1 ，an 1 an1n(n 1) 求an 的通項公式。解：an 1ann(n 1)anan 111an 2an 3n1an 1an 2n 2 n1n3n211 a3 a2 2 3a2 a1112對這( n 1 )個式子求和得：ana111nan 2 1nn2)k 1時，當(dāng) f(n) an b則可設(shè) an1 A(n 1) B k(an An B)an 1 kan (k 1)An (k

15、1)B A(k 1)A a a b aA B 2(k 1)B A b 解得： k 1 ， k 1 (k 1)an An B是以 a1 A B為首項， k 為公比的等比數(shù)列n1an An B (a1 A B) k n 1n1an (a1 A B) kn 1 An B將 A 、 B 代入即可n(3) f(n) q ( q 0，1)an 1 k an 1 n 1 n 1 n 等式兩邊同時除以 q 得 q q q qan n qCn 1kqCnqCn可歸為 an 1kanb型例 3 an 1 f (n) an 型。1)若 f (n) 是常數(shù)時，可歸為等比數(shù)列。2)若 f (n) 可求積，可用累積約項的

16、方法化簡求通項。例：已知：1a1 3， an2n 1a2n 1 n 1( n2）求數(shù)列 an 的通項。anan 1解：an 1an 2an 2an 3a3a2a2 2n 12n 32n 5a12n 12n 12n 332n 1ana12n 12n 1an 例 4makm an 1 型。n1考慮函數(shù)倒數(shù)關(guān)系有 ank( 1an 1anan 1 mCn 令an 則Cn 可歸為an 1kan b 型。練習(xí)：1. 已知 an 滿足 a1 3 ， an 12an 1求通項公式。解：m1設(shè) an 1 m 2(an m)an 1 2an m an 1 1是以 4 為首項， 2為公比為等比數(shù)列an 1 4 2

17、n 1an 2n 1 12. 已知 an 的首項 a1 1，an 1 an 2n ( n N）求通項公式。解：an an 1 2(n 1)an 1 an 2 2(n 2)an 2 an 3 2(n 3)a2 a1 2 12an a1 21 2 (n 1) n2 n2 an n n 1n3. 已知an 中， an 1n2ann且 a1解：anan 1an 2a3a2n1an 1an 2an 3a2a1n12求數(shù)列通項公式。n 2 n 3 n 4 2 1 2n n 1 n 2 4 3 n(n 1)an2 4a1 n(n 1) an n(n 1)4. 數(shù)列 an 中，an 12n 1 an2an ，

18、 a1 2 ，求 an 的通項。解：1an 12n 1 an2n 1an1an 1a1n2n1 1bn 設(shè)1anbn 1bn2n 1bnbn 121nbnbn 1bn 1bn 2n1bn 2bn 3n21b3 b2 23122bnb112212nbn12n5. 已知：a1 1 ，解：設(shè)anAn B2n12nn 2 時，an2121 (12)n 111212n2nan2n1n 1 2n 1，求an 的通項公式。12an 1 A(n 1) Ban 21an 1 12 An2212A12B1 A 2211AB22解得：A4B6a1 4 6 3 an 4n 6 是以 3 為首項，2 為公比的等比數(shù)列a

19、n 4n 6 3 (12)n 1an2n 14n 6模擬試題】1. 已知 an 中，a13 ， an 1an2求 an 。2. 已知 an 中，a11 ， an 3an 1 2n 2 )求 an 。4. 已知 an 中，an 4 a1 4 ，4an 1 （ n 2）求 an 。1，其前 n項和 Sn與 an滿足2Sn22Sn 1 （ n 2）1）求證： Sn 為等差數(shù)列 （2）求an 的通項公式a15. 已知 an 中，an6. 已知在正整數(shù)數(shù)列an 中，前12 n項和Sn滿足 Sn 81（an 2）21）求證： an是等差數(shù)列2）若bn2an 30求bn的前 n項和的最小值1. 解：由 an

20、 1an 2 ，得 anan 1 2anan 1 2n 1an 1an 2 2 n 2a2 a1 2ana12(1 2n 1) 2n 21 2 2 2an 2n 2 a1 2n 12. 解：由 an 3an 1 2 得： an 1 3(an 1 1)an 13an 1 1即an1 是等比數(shù)列an 1 (a1 1)3n 1an(a1 1) 3n 1 1 2 3n 1 13. 解：由 an 2an 1 2an2nan 12n 1 a2nn 成等差數(shù)列，an2n112 (n 1)n n 1ann 2 24. 解：an 1 2 2 42(an2)anananan 122(an2)1an 2 ( n 1 )1an 12an 2bn設(shè)an 2即bn 1 bn1 (n 1)2 bn 是等差數(shù)列an 2a1 2(n 1)an22n5. 解：SnSn 11)2Sn2