2022年北師大版高中數(shù)學(xué)選修11橢圓的簡單幾何性質(zhì)教案

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圓的簡潔幾何性質(zhì)（第一課時）（一）教學(xué)目標把握橢圓的范疇.對稱性.頂點.離心率這四個幾何性質(zhì),把握標準方程中.以及.的幾何意義,.之間的相互關(guān)系,明確怎樣用代數(shù)的方法爭論曲線的幾何性質(zhì)（二）教學(xué)過程【復(fù)習(xí)引入】由同學(xué)口述,老師板書：問題 1橢圓的標準方程為怎樣的？問題 2在直角坐標系內(nèi),關(guān)于軸.軸.原點對稱的點的坐標之間有什么關(guān)系？【探究爭論】1橢圓的幾何性質(zhì)依據(jù)曲線的方程爭論曲線的幾何性質(zhì),并正確地畫出它的圖形,為解析幾何的基本問題之一依據(jù)曲線的條件列出方程假如說為解析幾何的手段,那么依據(jù)曲線的方程爭論曲線的性質(zhì).畫圖.就可以說為解析幾何的目的下面我們依據(jù)橢

2、圓的標準方程來爭論橢圓的幾何性質(zhì)（ 1）范疇精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載引導(dǎo)同學(xué)從標準方程,得出不等式,即,這說明橢圓的直線和直線所圍成的矩形里（如圖）,留意結(jié)合圖形講解,并指出描點畫圖時,就不能取范疇以外的點（ 2）對稱性先讓同學(xué)閱讀教材中橢圓的幾何性質(zhì)2設(shè)問：為什么“把換成,或把換,或把.同時換成.時,方程解不變就圖形關(guān)于軸.軸或原點對稱”呢？事實上, 在曲線方程里,假如把換成,而方程不變, 那么當點在曲線上時,點關(guān)于軸的對稱點也在曲線上,所以曲線關(guān)于軸對稱類似地可以證明其他兩個命題同時應(yīng)向同學(xué)指出：假如曲線具有關(guān)于軸對稱,關(guān)于軸對稱和關(guān)于原點對稱中的任意兩種,那么它肯定

3、具有另一種對稱最終強調(diào)：軸.軸為橢圓的對稱軸原點為橢圓的對稱中心即橢圓中心進而說明橢圓的中心為焦點連線的中點,對稱軸為焦點的連線及其中垂線與坐標系無關(guān)因而為曲線的固有性質(zhì)（ 3）頂點引導(dǎo)同學(xué)從橢圓的標準方程分析它與軸.軸的交點,只須令得,點.為橢圓與軸的兩個交點；令得,點.為橢圓與軸的兩個交點應(yīng)當強調(diào)：橢圓有四個頂點.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載同時仍需指出：（ 1°）線段和分別叫做橢圓的長軸和短軸,它們的長分別等于和；（ 2°）.的幾何意義：為橢圓長半軸的長,為橢圓短半軸的長精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載交點（ 3°）橢圓的頂點

4、即為橢圓與對稱軸的交點,一般二次曲線的頂點即為曲線與其對稱軸的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這時老師可作如下小結(jié)：由橢圓的范疇,對稱性和頂點,再進行描點畫圖,只須描出較少的點,就可以得到較正確的圖形（ 4）離心率由于離心率的概念比較抽象,老師可直接給出離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比,叫做橢圓的離心率先分析離心率的取值范疇：,再結(jié)合圖表分析離心率的大小對橢圓外形的影響：（ 1）當趨近于 1 時,趨近于,從而越小,因此橢圓越扁平：（ 2）當趨近于 0 時,趨近于0,從而趨近于,因此橢圓越接近于圓【例題分析】例 1 求橢圓的長軸和短軸的長.離心率.焦點和頂點的坐標,并用描點法畫

5、出它的圖形精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析：只要化為橢圓的標準方程即可求解解：把已知方程化成標準方程為這里,因此,橢圓的長軸和短軸的長分別為和,離心率,兩個焦點分別為和,橢圓的四個頂點為.（前一部分請一位同學(xué)板演,老師予以訂正,后一部分老師講解,以引起同學(xué)重視）步驟如下：列表：將已知方程變形為,依據(jù),在的范疇內(nèi)算出幾個點的坐標01234543.93.73.22.40描點作圖： 先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形,再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓（如圖）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2 求適合以下條件的橢圓的標準方程（ 1）經(jīng)過點,；（ 2）長軸長等于20

6、,離心率等于解：由橢圓的幾何性質(zhì)可知,.分別為橢圓長軸和短軸的一個端點,于為得,又由于長軸在軸上,所以所求橢圓的標準方程為（ 2）由已知得,由于橢圓的焦點可能在軸上, 也可能在軸上, 所以所求橢圓的標準方程為或（三）隨堂練習(xí)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（四）總結(jié)提煉方程圖形范疇,對稱性關(guān)于軸.軸.坐標原點對稱關(guān)于軸.軸.坐標原點對稱,<、 /sub>,頂點,離心率（五）布置作業(yè)（六）板書設(shè)計8.2 橢圓的簡潔幾何性質(zhì)（一）（一）復(fù)習(xí)提問（三）例題與練練習(xí)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載問題 1問題 2（二）橢圓的幾何性質(zhì)習(xí)例 1例 21234一）教學(xué)

7、目標（四）小結(jié)進一步把握橢圓的幾何性質(zhì),把握橢圓的其次定義,能應(yīng)用橢圓的其次定義解決橢圓的有關(guān)問題,明確橢圓的第肯定義與橢圓的其次定義為等價的,可以相互推出（二）教學(xué)過程【復(fù)習(xí)引入】前一節(jié)學(xué)習(xí)了橢圓的幾何性質(zhì),哪一位同學(xué)回答：問題 1橢圓有哪些幾何性質(zhì)？問題 2什么叫做橢圓的離心率？以上兩個問題同學(xué)的回答應(yīng)當不會有大的問題老師可進一步提出問題：離心率的幾何意義為什么呢？讓我們先來看一個問題點與定點的距離和它到定直線的距離的比為常數(shù)（）,求點的軌跡【探究爭論】橢圓的其次定義精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（按求軌跡方程的步驟,同學(xué)回答,老師板演）解：設(shè)為點直線的距離,依據(jù)題意,如圖

8、所求軌跡就為集合由此得將上式兩邊平方,并化簡得設(shè),就可化成這為橢圓的標準方程,所以點的軌跡為長軸長為,短軸長為的橢圓由此可知,當點與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比為常數(shù)時,這個點的軌跡為橢圓,一般稱為橢圓的其次定義,定點為橢圓的焦點,定直線叫做橢圓的準線,常數(shù)為橢圓的離心率對于橢圓,相應(yīng)于焦點的準線方程為依據(jù)橢圓的對稱性,相應(yīng)于焦點的準線方程為,所以橢圓有兩條準線可見橢圓的離心率就為橢圓上一點到焦點的距離與到相應(yīng)準線距離的比,這就為離心率的幾何意義至此老師可列出下表,由同學(xué)歸納精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載圖形長軸長短軸長相同點離心率方程焦點.不同.點頂點.準線【例題

9、分析】例 1 求橢圓的長軸與短軸的長.焦點坐標.頂點坐標.離心率和準線方程可請一位同學(xué)演板,老師訂正,答案為,焦點,頂點,準線方程精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 2 已知橢圓上一點到其左.右焦點距離的比為1： 3,求點到兩條準線的距離可在同學(xué)練習(xí)后請一位同學(xué)回答解答如下：由橢圓標準方程可知,由于,設(shè)到左準線與右準線的距離分別為與,依據(jù)橢圓的其次定義,有,即到左準線的距離為,到右準線的距離為例 3 已知橢圓內(nèi)有一點,為橢圓的右焦點,在橢圓上有一點,使的值最小,求的坐標（如圖）分析：如設(shè),求出,再運算最小值為很繁的由于為橢圓上一點到焦點的距離,由此聯(lián)想到橢圓的其次定義,它與到相應(yīng)

10、準線的距離有關(guān)故有如下解法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：設(shè)在右準線上的射影為 由橢圓方程可知,依據(jù)橢圓的其次定義,有即明顯,當.三點共線時,有最小值過作準線的垂線由方程組解得即的坐標為（四）總結(jié)提煉1列出橢圓的幾何意義（投影展現(xiàn)上表）2通過橢圓的其次定義,可進一步明白橢圓的離心率的幾何意義,它反映橢圓的圓扁程度,決定著橢圓的外形兩準線間的距離為為不變量（五）布置作業(yè)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（六）板書設(shè)計8.2 橢圓的簡潔幾何性質(zhì)（二）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（一）復(fù)習(xí)提問問題 1問題 2（二）橢圓的其次定義（三）例題與練習(xí)例 1例

11、 2例 3同學(xué)練習(xí)（四）小結(jié)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載橢圓的簡潔幾何性質(zhì)（第三課時）（一）教學(xué)目標1能利用橢圓中的基本量.嫻熟地求橢圓的標準方程2把握橢圓的參數(shù)方程,會用參數(shù)方程解一些簡潔的問題（二）教學(xué)過程【復(fù)習(xí)引入】由一位同學(xué)回答,老師板書列表或用投影儀給出問題 1橢圓有哪些幾何性質(zhì)？問題 2確定橢圓的標準方程需要幾個條件？通過對橢圓標準方程的爭論,爭論了橢圓的幾何性質(zhì),必需把握標準方程中.和.的幾何意義以及.之間的相互關(guān)系,這樣就可以由橢圓的幾何性質(zhì)確定它的標準方程【例題分析】精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 1求中心在原點,過點,一條準線方程為的橢圓

12、方程分析：依據(jù)準線方程可知橢圓的焦點在軸上,由于思路不同有兩種不同的解法,可讓同學(xué)練習(xí)后,老師再歸納小結(jié),解法如下：解法一：設(shè)橢圓方程為點在橢圓上即又一條準線方程為將.代入,得整理得解得或分別代入得或精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故所求橢圓方程為或解法二：設(shè)橢圓的右焦點為,點到橢圓右準線的距離為,由橢圓的其次定義得,即又由準線方程為將代入,整理得解得或代入及得或精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故所求橢圓的方程為或例 2 如圖, 以原點心圓心, 分別以 .為半徑作兩個圓,點 為大圓半徑 與小圓的交點,過點 作,垂足為 ,過點 作,垂足為 ,求當半徑 繞點 旋轉(zhuǎn)時點

13、的軌跡的參數(shù)方程解：設(shè)點的坐標為,為以為始邊,為終邊的正角取為參數(shù),那么即這就為所求點的軌跡的參數(shù)方程消去參數(shù)后得到,由此可知,點的軌跡為橢圓點評：這道題仍給出了橢圓的一種畫法,依據(jù)這種方法,在已知橢圓的長.短軸長的情形下,給出離心角的一個值,就可以畫出橢圓上的一個對應(yīng)點,利用幾何畫板畫橢圓都用此法例 3已知橢圓,（,為參數(shù)）上的點,求：（ 1）.的取值范疇；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）的取值范疇解：（ 1）,為所求范疇（ 2）（其中為第一象限角,且）而,即這所求例 4把參數(shù)方程（為參數(shù)）寫成一般方程,并求出離心率解：由參數(shù)方程得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

14、歡迎下載平方相加得為所求一般方程,橢圓的離心率（三）隨堂練習(xí)1焦點在軸上的橢圓上一點到兩準線間的距離之和為36,到兩焦點的距離分別為9 和 15的橢圓的標準方程為 2參數(shù)方程（為參數(shù)）表示的曲線的焦點坐標為 3橢圓（為參數(shù)）的離心率為 答案： 12,3（四）總結(jié)提煉1求曲線方程的基本程序為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如已知條件涉及到焦點,準線方程式時,往往利用定義求解較簡便2橢圓的參數(shù)方程（為參數(shù)）中,說明.分別為橢圓的長軸.短軸長, 且焦點在軸上, 參數(shù)的幾何意義為橢圓的離心角,利用橢圓的參數(shù)方程求的最值較便利（五）布置作業(yè)1已知橢圓中心在原點,一個焦點為,點在橢圓上,就點

15、到與相應(yīng)準線的距離為（）a b cd 2橢圓的左焦點為,為兩個頂點,假如到直線的距離等于,那么橢圓的離心率等于（）a b cd 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4橢圓（為參數(shù)）的兩準線間距離為 5已知橢圓的一條準線方程為,且過點,求橢圓的標準方程6求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值答案： 1 a2c3 d457設(shè)為橢圓上的任一點,就（為參數(shù)）內(nèi)接矩形面積（六）板書設(shè)計8.2橢圓的簡潔幾何性質(zhì)（三）一.復(fù)習(xí)引入例 2練習(xí)二.例題分析例 3總結(jié)例 1例 4橢圓的簡潔幾何性質(zhì)（第四課時）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（一）教學(xué)目標1能推導(dǎo)并把握橢圓的焦半徑公式,能利用焦半徑公

16、式解決有關(guān)與焦點距離有關(guān)的問題2能利用橢圓的有關(guān)學(xué)問解決實際應(yīng)用問題3能綜合利用橢圓的有關(guān)學(xué)問,解決最值問題及參數(shù)的取值范疇問題（二）教學(xué)過程【復(fù)習(xí)引入】1利用投影儀顯示橢圓的定義,標準方程及其幾何性質(zhì)（見其次課時）2求橢圓上到焦點距離的最大值與最小值【探究爭論】為爭論上述問題,可先解決例1,老師出示問題例 1 求證：橢圓上任一點與焦點所連兩條線段的長分別為分析：由距離公式和橢圓定義可以有兩種證法,先由一位同學(xué)演板,老師最終予以補充證法一：設(shè)橢圓的左.右焦點分別為,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載,又,故得證證法二：設(shè)到左右準線的距離分別為,由橢圓的其次定義有,又,又, 故得證

17、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載說明：.叫做橢圓的焦半徑利用焦半徑公式在橢圓的有關(guān)運算.證明中,能大大簡化相應(yīng)的運算至此可解決開頭提出的問題,即橢圓上焦點的距離最大值為,最小值為,最大值與最小值點即為橢圓長軸上的頂點例 2 如圖,我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道為以地心（地球中心）為一個焦點的橢圓已知它們近地點（離地面最近的點）距地面439,遠地點（離地面最）距地面2384,并且.在同一條直線上,地球半徑約6371,求衛(wèi)星運行的軌道方程（精確到1）分析：這為一個介紹橢圓在航天領(lǐng)域應(yīng)用的例子,關(guān)鍵為懂得近地點和遠地點與橢圓的關(guān)系由于數(shù)字大,運算較繁,可老師講解解：如圖,建立直

18、角坐標系,使點.在軸上,為橢圓的右焦點（記為左焦點）由于橢圓的焦點在軸上,所以設(shè)它的方程為就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得因此,衛(wèi)星的軌道方程為點評：由例1 可知橢圓上到焦點的距離的最大和最小的點,恰為橢圓長軸的兩個端點,因而可知全部衛(wèi)星的近地點.遠地點.及軌道的焦點都在同始終線上例 3 已知點在圓上移動, 點在橢圓上移動, 求的最大值分析：要求的最大值,只要考慮圓心到橢圓上的點的距離,而橢圓上的點為有范疇的可在老師指導(dǎo)下同學(xué)完成,解答如下：設(shè)橢圓上一點,又,于為而當時,有最大值5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故的最大值為6點評：橢圓中的最值問題常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題例 4 已知橢圓與軸的正半軸交于點,為原點 如橢圓上存在一點,使,求橢圓離心率的取值范疇分析：依題意點的橫坐標,找到與.的關(guān)系式老師講解為好解：設(shè)的坐標為,由,有于為下面方程組的解為的坐標消去整理得解得或即為橢圓的右頂點精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即即,而,故（三）隨堂練習(xí)1如圖在中,就以為焦點,.分別為長.短軸端點的橢圓方程為 2設(shè)橢圓上動點到定點的距離最小值為1,求的值答案： 12（四）總結(jié)提煉橢圓的焦半徑為橢圓的基礎(chǔ)問題,在解題中有其特殊的作用,橢圓的范疇在解決橢圓