數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

1、    數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用    摘 要 本文主要介紹怎樣應(yīng)用數(shù)形結(jié)合來解決一些數(shù)學問題。關(guān)鍵詞 數(shù)形結(jié)合 數(shù)形結(jié)合思想 以形助數(shù) 以數(shù)解形數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法，運用數(shù)形結(jié)合思想，使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、形象化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題思路，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，通常有以下途徑：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）有序數(shù)組與坐標平面（

2、空間）上的點的對應(yīng)關(guān)系；（3）函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（4）曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（5）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如向量、復數(shù)、三角函數(shù)等；（6）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。運用數(shù)形結(jié)合研究數(shù)學問題，加強了知識的橫向聯(lián)系和綜合應(yīng)用，對于溝通代數(shù)與幾何的聯(lián)系，具有指導意義.縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果.數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”，這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。以下我具體介紹數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中的應(yīng)用。1在方程、函數(shù)問題中的

3、應(yīng)用方程f（x） g（x） = 0的解情況，可化為f（x）=g（x） 的解情況，也可看作函數(shù)y = f（x） 與y = g（x） 圖像的交點的橫坐標的情況，所以只要我們準確地畫出這兩個函數(shù)的圖像，再根據(jù)圖像就能很容易地看出它們有幾個交點，及交點大致的位置或坐標。例1【2017江蘇】設(shè)f（x）是定義在r且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間0，1）上，其中集合，則方程f（x）lgx=0的解的個數(shù)是 .【分析】畫出函數(shù)草圖，圖中交點除（1，0）外其他交點橫坐標均為無理數(shù)，屬于每個周期部分，且x=1處，則在x=1附近僅有一個交點，因此方程的個數(shù)為8個。【總結(jié)】對于方程解的個數(shù)（或函數(shù)零點個數(shù)）問題，可利用函數(shù)的值

4、域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍.從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.2在最值問題中的應(yīng)用最值問題，一般就是求某個代數(shù)式或函數(shù)的最大值或最小值了，當然有些題目是可以借助于重要不等式等知識直接解決的，但有些題目用這些方法都比較復雜，而且計算量很大。這時我們就要換一種方法來考慮問題了，不要思維定勢。我們可以考慮一下這些代數(shù)式的幾何意義了，再結(jié)合代數(shù)式中所隱含的幾何圖形，應(yīng)用幾何知識來求其最大值或最小值。代數(shù)式的幾何意義有很多，在這我主要地介紹以下幾種：一是表示直線斜率的轉(zhuǎn)化為求直線斜率的問題；

5、二是表示兩點間的距離轉(zhuǎn)化為求兩點距離的問題；三是表示直線的縱截距轉(zhuǎn)化為求直線的截距問題；四是表示圓錐曲線的轉(zhuǎn)化為利用圓錐曲線的定義來求的問題。2.1用直線斜率公式求最值例2.求函數(shù)y=的最值?！痉治觥亢瘮?shù)解析式可看作過點a（2，3）與b（cos%a，sin%a）的直線的斜率，動點b的軌跡是圓x2+y2=1。如圖，容易地看出，當且僅當過a點的直線與該圓相切時，直線ab的斜率才會取得最大值和最小值。設(shè)直線ab的方程為y3=k（x2），則由直線ab與圓x2+y2=1相切可知：=1解之得k=2彼詙max=2+和ymin=2【總結(jié)】在考慮形如y=或y=的這一類代數(shù)式，我們可以結(jié)合它們的幾何圖形（如圖）圓

6、與直線有交點的模型，用幾何的方法來求最值，它們的最值，就是當直線與圓相切時直線的斜率。2.2轉(zhuǎn)化為兩點距離問題例3.設(shè)p（x，y）是圓（x-2）2+y2=1上的任意一點，則（x-5）2+（y+4）2的最大值為（ ）a.6 b.25 c.26 d.36【分析】（x-5）2+（y+4）2表示點（5，-4）與圓上的點的距離的平方，故用數(shù)形結(jié)合法求解因為圓（x-2）2+y2=1的圓心坐標為（2，0），該圓心到點（5，-4）的距離為=5，所以圓（x-2）2+y2=1上的點到（5，-4）距離的最大值為6，即（x-5）2+（y+4）2的最大值為36?！究偨Y(jié)】 （x，y）為圓上任意一點，求形如t=（x-a）2

7、+（y-b）2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的最值問題，即把（x-a）2+（y-b）2看作是點（a，b）到圓上的點（x，y）的距離的平方，利用數(shù)形結(jié)合法求解。2.3轉(zhuǎn)化為直線的縱截距問題例4.若x2+（y-1）2=1，則3x+4y的最大值是_，最小值是_?！痉治觥吭O(shè)3x+4y=t，則當直線與圓相切時取得最值，即，=1，即|t-4|=5，解得t=9或t=-1，所以3x+4y的最大值為9，最小值為-1。【總結(jié)】已知（x，y）滿足的平面區(qū)域，求z=ax+by的最值問題時，因為該式可化為y=x+z，且b是常數(shù)，所以求z的最值就是求z也就是直線在y軸上的縱截距的最值。因為已知（x，y）滿足的平面區(qū)域，區(qū)域是有范圍的，所以我們只要對直線做平移，移到區(qū)域的邊界即相切時，就可以求出其縱截距的最值。其實，這種問題就是一個線性規(guī)劃最優(yōu)化問題，它的解法就是線性規(guī)劃最優(yōu)化問題的解決方法之一。2.4用圓錐曲線的定義來求最值例5.設(shè)p是拋物線y2=4x上的一個動點，f為拋物線的焦點，若b（3，2），則|pb|+|pf|的最小值為_?！痉治觥繉pf|轉(zhuǎn)化為點p到準線的距離，然后利用三點共線時距離最短求解.如圖，過點b作bq垂直拋物線的準線于點q，交拋物線于點p1，則|p1q|=|p1f|。再結(jié)合題意，則有|pb|+