有理數(shù)域上多項式的因式分解

1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計）論文題目：有理數(shù)域上多項式的因式分解學(xué)生姓名：學(xué) 號：專 業(yè)：班 級：指導(dǎo)教師：完成日期:有理數(shù)域上多項式的因式分解內(nèi)容摘要多項式理論是學(xué)習(xí)高等代數(shù)和解析幾何必不可少的內(nèi)容，它具有獨立完整不基于其他爲(wèi)代理論 基礎(chǔ)的體系，并且為學(xué)習(xí)代數(shù)和其他的數(shù)學(xué)分支提供理論依據(jù)因式分解，也叫做分解因式，是我 們研究有理數(shù)域上多項式理論的核心之一，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)和科學(xué)知識的必備基礎(chǔ)因此，在 這里我們要對有理數(shù)域上多項式的因式分解進(jìn)行研究.本文講述了有理數(shù)域上多項式因式分解的條件和方法，通過多個判別方法判斷多項式因式分解 的充分條件；在多項式可以因式分解的基礎(chǔ)上，總結(jié)出應(yīng)用于多項式因式分解

2、的簡便算法，給出實 例供參考：并在實際應(yīng)用中融入因式分解的意艾和目的.關(guān)鍵謨:有理數(shù)域多項式 因式分解RatiOna I POIynomia I factor iZatiOn domainAbStraCtPOlynOmial theory i S the study Of Higher AIgebra and analytic geometry essential COntent, it has independent and COmPIete not SyStem based On Other generation Of high theoretiCaI basiS and algebra

3、and Other branches Of mathematics Iearning and PrOVide a theoretiCaI basis FaCtorization, also cal led factorization, We Study the ratiOnal number field POI ynom i a I t heory i S One Of the core, a I SO for fur ther St Udy Of the essen tial basis Of the a Igebra and SCientific knovIedge TherefOref

4、here We Want to factor the POIynOmial OVer the rational number field decomposition WaS StUdiedThiS PaPer tells the factorization Of POIynOmial factorization Of ratiOnal number field COnd i t ions and met hods, t hrough mult iple di scr im inant met hod to det ermine SUffiCie nt COnd i tions for POly

5、nOmiaI factor i Zation; in POlynOnlia I Can factor i ZatiOn based, SUmmed for SimPle algorithm for POlynOmial factorization, give an example for reference; and in the PraCtiCaI appl ication into factorization Of meaning and PUrPOSeKey words： RatiOnaI number field POIynOmial factoring一、多項式的相關(guān)概念1（一）一元

6、多項式和一元多項式環(huán)的概念1（二）多項式整除的概念2二、有理數(shù)域上的多項式的可約性3（一）有理數(shù)域與實數(shù)域和復(fù)數(shù)域的區(qū)別3（二）多項式的可約性和因式分解的相關(guān)理念3（三）本原多項式的基本內(nèi)容41. 本原多項式的槪念42. 本原多項式的性質(zhì)4（四）判斷多項式在有理數(shù)域上的可約性51. 愛森斯坦（EiSentein）判別法52. 布朗（BrOWn）判別法63. 佩龍（PerrOn）判別法64. 克羅內(nèi)克（KrOneCker）判別法75. 反證法76. 有理法（利用有理根）87. 利用因式分解唯一性定理88. 綜合分析法8三、多項式的有理根及因式分解9（一）求才艮法9（二）待定系數(shù)法9（三）重因式分

7、離法10（四）應(yīng)用矩陣的初等行變換法10（五）利用行列式的性質(zhì)11四、結(jié)論12參考文獻(xiàn)13代數(shù)問題是方程問題，方程問題就是求解問題低階方程的求解具有一般的代數(shù)方法(一次到 四次)3,而對于離次方程的求解關(guān)饞在于掌握多項式的因式分解.因式分解是集分解變形為之意，綜合應(yīng)用以前所學(xué)的知識，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具. 它是研究各種運算和代數(shù)的恒等變形，采用了大部分相同的變形技能和技巧，如常用的因子提取、 公式化配方等因此，因式分解不只是數(shù)學(xué)上的一個重點，也是一個難點.在本文中，研究的有理數(shù)域上多項式的因式分解實際上是整系數(shù)多項式的分解.整系數(shù)多項式 是一個無限集，如何判斷它可約迄今為止還沒有箱確和

8、易操作的方法，所以文中針對這個難點進(jìn)行 研究討論.一、多項式的相關(guān)概念(一) 一元多項式和一元多項式環(huán)的概念多項式是代數(shù)學(xué)中宜要的基鈾知識，它不僅與高次方程有密切聯(lián)系，在其他方向為學(xué)習(xí)代數(shù)知 識也做了很好的鋪墊，因此，我們必須清惡多項式的基本內(nèi)容.定義1設(shè)n是一非負(fù)整數(shù)，表達(dá)式a×r, + a - ×" 1 ÷ , ao其中a。，a, -an全屬于數(shù)域P,稱為系數(shù)在數(shù)域P中的一元多項式，或者簡稱為數(shù)域P上的一元多項 式.多項式可以加-減、乘,例如：(2×2 - 1) + (x' - 22 + X + 2)= X3 + X + 1(22

9、- 1) (x2 - X + 1)= 2x4 - 2x3 + 2x2 - X2 + X - 1=X4 - 2x3 + X2 ÷ X - 1根據(jù)上述式子的計算，可以看出數(shù)域P上的兩個多項式通過加、減、乘等運算后，其結(jié)果仍然 是數(shù)域P上的多項式.接下來，我們引入一個槪念.定義2所有系數(shù)在數(shù)域P中的一元多項式的全體，稱為數(shù)域P上的一元多項式環(huán)，記為Px, P稱 為P的系數(shù)域之后我們要討論的有理數(shù)域上多項式的因式分解是在一個固定的數(shù)域P上的多項式環(huán)p中進(jìn) 行的.（二）多項式整除的概念我們討論過一元多項式可以容易地進(jìn)行加、減.乘法運算，但是多項式之間的除法并不像其他 運算那樣可以普遍地做.因此

10、整除運算就成為了兩個多項式之間區(qū)別于其他運算更值得探討的課 題.和鬲中代數(shù)一樣，作為一種表達(dá)式，可以用一個多項式去除另一個多項式，求得商和余式，如:設(shè)f(x)二 3x3 ÷ 4x2 - 5x + 6g(x) = X2 - 3x ÷ 1接下來，我們作除法：X2 - 3x + 13×3 十 4x2 一 5x 十 6 Q *2 qv,2 + o 13x2 - 8x + 63x ÷ 1313x2 - 39x + 1331X 一 7于是，求得商為3x十13,余式為35 - 7,所得結(jié)果可以寫成下列形式：3x3 + 4x2 - 5 + 6 = (3x 4 13)(x

11、2 - 3x ÷ 1)+ (31 x - 7)定理1 (帶余除法)對于PlXl中任意兩個多項式f()和g(x),其中g(shù)(x) 0, 定有P中的 多項式q(x), r(x)存在，使f(×) = q(×) g(×) ÷ r(x)成立，并有r(x) < 3(g(x)或r(x) = 0,并且這樣的q(x), r (x)是唯一決定的.證明(唯一性)設(shè)另外有多項式q (x)fr (x)使f(x)二 q(x) g(x) + r (x)成立，其中3( (X) < a(g(x)或r(x) = 0,于是有q(x) g(x) + r(x) = qx) g

12、(x) + 廠(x)即(q(x) - q (x) g(x) = r(x) - r(x)如果q(x) q* (x),就假設(shè)g(x) 0,那么 r (x) - r(x) 0即可得出O(q(x) - q,(×) + 5(g(x) = a(r*(x) - r(x)又因為Xg(X) > 0(r>(x) -r(x)所以上述式子不可能成立，這也證明了q(x) = q(x),同時r (x)二r(x)定義3數(shù)域P上的多項式q(x)通常稱作g(x)整除f(x),存在數(shù)域P上的多項式h(x)使等式 f(x) = g(x)h(x)成立，我們用“g(x)l f(x)"表示g(x)整除 f

13、(x),用 rtg<) I f ()"表示g()不 可以整除f(x).當(dāng)g(x)l f(x)時，g(x)就稱為f(x)的因式,f(x)稱為g(x)的倍式.事實上，整除多項式原理使我們很輕松的了解多項式因式分解的原理.二、有理數(shù)域上的多項式的可約性(一) 有理數(shù)域與實數(shù)域和復(fù)數(shù)域的區(qū)別我們知道，有理數(shù)域，實數(shù)域和復(fù)數(shù)域的范圍不同為了能更好的分析有理數(shù)域上多項式的因 式分解，我們要區(qū)分有理數(shù)域，實數(shù)域和復(fù)數(shù)域的概念，只有將單項涵義牢記于心，我們才能知道 多項式在各個數(shù)域中需要分解到何種形式.這里先做簡要介紹.首先，有理數(shù)包括：(1)整數(shù)：正整數(shù)，負(fù)整數(shù)和0： (2)分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)，負(fù)

14、分?jǐn)?shù)；(3)小數(shù)： 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)4.所有有理數(shù)組成一個集合，即為有理數(shù)集而有理數(shù)集是一個域，可以 在其中進(jìn)行四則運算(0作除數(shù)除外)，用字母0表示.其次，實數(shù)可以包含所有的軸點數(shù)董，直觀的看作是有限小數(shù)和無限小數(shù)，是有理數(shù)和無理數(shù) 的統(tǒng)稱，用字母R表示.再次，復(fù)數(shù)是寫成如下形式日+ bi的數(shù)，a和b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，是實數(shù)和虛數(shù)的統(tǒng)稱， 用字母C表示.(二) 多項式的可約性和因式分解的相關(guān)理念定義4數(shù)域P上次數(shù) A 1的多項式P(X)稱為域P上的不可約多項式，如果它不能表成數(shù)域P上 兩個次數(shù)比P(X)的次數(shù)低的多項式的乘積.定理2 (因式分解及唯一性)數(shù)域P上每一個次數(shù) 1的多項

15、式f (x)都可以唯一地分解成數(shù) 域P上一些不可約多項式的乘積.而唯一性是指，若有兩個分解式f(x) = Pl(X)P2(×)Ps(×) = q1(x)q2(Q qt(x)那么必有S =匕根據(jù)因式的次序適當(dāng)排列得到Pi(X) Z CiQi,i = 1,2. ,s其中Ci(i = 1,2, ,s)屬于非零常數(shù).多項式因式分解看似簡單，實質(zhì)蘊含了許多深奧的理論.多項式在不同數(shù)域上分解程皮是不同 的，我們不應(yīng)該想當(dāng)然的提出多項式因式分解后，就說它已經(jīng)不能再分，并完成了多項式分解我們 可以比較一下復(fù)數(shù)域、實數(shù)域和有理數(shù)域上多項式因式分解的差異.如：分別求多項式t - 4在復(fù)數(shù)域，實

16、數(shù)域以及有理數(shù)域上的因式分解 在復(fù)數(shù)域上這個多項式的因式分解為(X + J刃(X - (X + 5i)(× - 5i) 在實數(shù)域上這個多項式的因式分解為(x2 + 2) (x ÷ 5) (X - 2) 在有理數(shù)域上這個多項式的因式分解為(/ + 2) (x2 - 2)從上述結(jié)果可以看出，對于一個多項式能否因式分解，不能單獨考慮它是否滿足因式分解的定 理.我們具體情況具體分析，有理數(shù)域的多項式的因式分解比較困難.因為在有理數(shù)域上多少次的不 可約多項式都存在，我們有時還認(rèn)不出其究竟是否可約，所以研究非常麻煩故而確定有理數(shù)域上 多項式是否可約是麻煩的，掌握多項式因式分解不如想象中

17、那么簡單.(三) 本原多項式的基本內(nèi)容1. 本原多項式的槪念定義5設(shè)g(×)二bnt1 ÷ bn-1×n1 + bo是非零的整系數(shù)多項式，如若g(x)的系數(shù) b,bn-l, ,bo互素，就稱g(x)是本原多項式.所以，任何一個非零的有理系數(shù)多項式f(x)都能表示為一個有理數(shù)r與一個本原多項式g(x)0 乘積.FPf(X) = r g(x).由此證明，這種表示法除了差一個正負(fù)號是唯一的，可以說若f(x) Z rg(x) = ngl(X),且r," 是有理數(shù)，g(x)，S1 W是本原多項式，那么必定有r =± r,g(x) =± g (&

18、#215;).因為多項式f(x)和本原多項式g(x)只相差一個非零的常數(shù)倍，他們都有看相同的整除性質(zhì)，因 此f(x)的因式分解問題可以歸結(jié)為本原多項式g()的因式分解問題.所以我們可以討論本原多項式 的性質(zhì)，之后考慮整系數(shù)多項式的因式分解問題.2. 本原多項式的性質(zhì)性質(zhì)1(鬲斯(GUaSS)引理)設(shè)f(x)與g(x)為兩個本原多項式，那么他們的乘積h(x) = f(x) g(x)也是本原多項式.性質(zhì)2設(shè)f(x)是非零整系數(shù)多項式，若f(x)分成為兩個有理數(shù)域上的多項式g(x)與h(x)的乘枳,a(g() < a(f(). a(h(×) < a(f()那么f(x)定能分解成

19、兩個次數(shù)較低的整系數(shù)多項式乘積.例1:設(shè)f(x), g(x)是兩個整系數(shù)多項式，且g(x)是本原多項式.證明：若f(x) = g(x)h(x), 且h(x)是有理數(shù)域上的多項式，那么h(x) 定是整系數(shù)多項式.證明：根據(jù)本原多項式的性質(zhì)來證明，設(shè)f(x) = af(x),h(x) = rh1(x)其中*(x),h(x)都是本原多項式，a是整數(shù)，r是有理數(shù)于是有af (x) rg(x) h1(x)因為g(x)hl(×)是本原多項式故r =± a,即r是一個整數(shù)，所以h(x) = rh1(x)是整系數(shù)多項式.(四) 判斷多項式在有理數(shù)域上的可約性基于整系數(shù)多項式，我們需要判斷它

20、是否可約，這是我們討論有理數(shù)域上多項式因式分解的重 點，接下來列出一些判別整系數(shù)多項式不可約的方法.1 愛森斯坦(Eisentein)判別法定理3設(shè)f(x) = a0 + ax + axn, an O是一個整系數(shù)多項式，若找到一個素數(shù)p,使P與冇不可約：(2)p與a“ - ,a - 2,ac是可約的：與ao不可約，那么多項式f(x)在有理數(shù)域上不可約.證明：如果3o= - PlP2PmaI = 32 an - 1 = 0, an z 1可找到素數(shù)PI滿足a(i = 0,1, n - 1), marvp*Ia(I所以，根據(jù)愛森斯坦(EiSentein)判別法可知,f(x)在有理數(shù)域上不可約旺特別

21、注意的是，愛森斯坦判別法的條件只是充分條件，即滿足三個條件的多項式不可約.如：多項式f(x = 2× - 5 ÷ 10,滿足愛森斯坦判別法的三個條件，故而不可約但并不是 說所有不滿足定狡要求的多項式都可約，因為有很多多項式不滿足上述三個條件但卻是不可約的， 譬如/ ÷ 2.當(dāng)然，也有可約的多項式，如：X2 ÷ X - 6不滿足上述的三個條件，但卻可以分解為X2 ÷ X - 6 = (X - 2) (X- 3)有時，對于菜個多項式來說，愛森斯坦判別法不能直接應(yīng)用，但我們可以把其適當(dāng)變形.設(shè)日和 b是兩個有理數(shù)，且a 0,整數(shù)系多項式f(x)在有理

22、數(shù)域上不可約當(dāng)且僅當(dāng)f(ax + b在有理數(shù)域 上不可約例2:證明f(x) = X6 + X3 + 1在有理數(shù)域上不可約.證明：因為f(“的系數(shù)都是1,無法應(yīng)用愛森斯坦判別法.因此，我們令X = y + 1并把其代入f(x,則多項式變?yōu)?y + D6 + (y + D3 ÷ 1 = y6 ÷ 6y5 + 15y4 + 21 y3 + 18y2 + 9y + 3 = g(y)根損愛森斯坦判別法判別g(y),取p=3,即證上式不可約，故而可知f(x= ×6 + x3 + 1在有 理數(shù)域上不可約.2布朗(BrOWn)判別法定理4設(shè)f(x)為n次整系數(shù)多項式，令Sf(X)

23、 = , f( - I)Lf(O) IJf(I)I,.其中Nl表示Sf(X)中1的個數(shù)，W表示Sf(X)質(zhì)數(shù)的個數(shù)，令Np ÷ 2 N1 > n + 4j則f(x)在Q上不可 約.例3:證明f(x) = 2x3 - X2 + X - 1在Q上不可約.證明：因為無法找到素數(shù)P來判斷f(x)滿足愛森斯坦(EiSentein)判別法的條件，因此我們無 法根據(jù)愛森斯坦(EiSentein)判別法來判別可約性.但是我們可以根據(jù)布朗(BrQWn)判別法判斷 多項式的可約性.因此，我們可以得到:f(0) =- 1, f(1) = 1, f( - 1) =- 5, f( - 2) =- 23,

24、 f(3)=47故而， 2 4, N( M 2所以得到NP + 2Ni E8>3 + 4由此根搖布朗(BrOWrl)判別法可知，f(x)在有理數(shù)域上不可約.3佩龍(Perron)判別法定理5設(shè)f(x) = xn + an - Ixr " 1 4 a1 + ao(ao OT ae Z, = 0, 1, , - 1)是整系數(shù)多項式，若此系數(shù)滿足Ian-Il > 1 ÷ Ian - 2 ÷ Ian - 3 + -IaIl + Iaol,則f(x)在有理數(shù) 域上不可約.例4:證明f(x) = x5 ÷ 4x4 + x2 + 1在有理數(shù)域上不可約.證明

25、：因為無法找到素數(shù)P來判斷f(x)滿足愛森斯坦(EiSentein)判別法的條件，因此我們不 能用愛森斯坦(EiSentein)判別法，但是我們可以看出多項式f(x)滿足佩龍(PerrOn)判別法的條 件.因此根據(jù)佩龍(PerrOn)判別法定理以及題目得出4>1÷1+1,所以該多項式在有理數(shù)域上不可 約.4. 克羅內(nèi)克(KrOneCker)判別法定理6設(shè)f(x)二 anxr + an - ×r 1 ÷ + a× + ao是一個整系數(shù)多項式，可以在有理數(shù)域上將f(0分解成兩個不可約多項式的乘積.例5:證明f(x) = X5 + 1在有理數(shù)域上不可約.

26、證明：s=2 < -,取a° 二一 It a 二 O, a2 = 1,則有f( - 1)二 O, f(0) = 1, f(1) = 2 2因此，f( - 1)的因子為0, f(x)的因子為1, f(x)的因子為1,2故令g( - 1) = 0,g(0) = 1,g(1) = 1： g( - 1) = 0,g(0) = 1,g(1) = 2應(yīng)用插值多項式得(X + D (X- 0)(1 + D (I- 0)X - 2)(X + D (X- DSI(X)二 ° 十(0÷1) (OI)2(x + 1) (X- 0)(1 + x) (I- 0)(X + D (X-

27、D g2(X) = 0 4 7 + 1)(071)由帶余除法可知：81(×)不能整除f(x), g2(x)不能整除f(x),從而得到f(x)在有理數(shù)域上不可約.此方法是一個通過有限次數(shù)計算判定整系數(shù)多項式可以分解成若干個次數(shù)低的整系數(shù)多項式 的方法引.然而，有大量的丈獻(xiàn)資料顯示，整系數(shù)多項式的因式分解過程中往往不釆用克羅內(nèi)克方 法®,因為對于工作量來說，克羅內(nèi)克方法的使用非常大，通常選擇使用其他的分解技巧實現(xiàn).因 此克羅內(nèi)克方法只是一種理論上可行的方法，不能用于因式分解的實際操作，實用價值不大5. 反證法上述判別法判別多項式在有理數(shù)域上的條件并不是所有題目都適用，因此，我們

28、不確定不滿足 愛森斯坦判別法的多項式是不是可約的，或在無法找到滿足判別法中的素數(shù)P時，我們選擇反證法.例6：設(shè)P(X)是F(X)上一個次數(shù)大于零的多項式，如果對任意f (x),都有g(shù)(y)F(x),且 P(X) I f() g(y),并且P(X) I f()或者p(×) I g(y),那么P(X)不可約.證明:若P(X)可約，則有P(X) = P1(×)P2(×),其中0 < 8(Pi(X) < a(p(×), i = 1,2令f () = Pl () > g(y) = P2(×) 則P(X) I f (x) g(y)由題可得

29、:P(X)I f()或P(X)I g(y)則有0(P(X) > 0(f(x),0(p(x) > 0(g(y),與前面整除矛盾，故P(X)不可約.6. 有理法(利用有理根)對于一些次數(shù)不超過三次的多項式，利用有理根方法進(jìn)行判別會更簡便，若沒有有理根，則該 多項式在有理數(shù)域上不可約.例7：判斷f(x) = X3 - 5x + 1在有理數(shù)域上是否可約解：假設(shè)f(x)可約.那么f(x)至少有一個一次因子，即有一個有理根.但f (x)的有理根只可能是±1,因此帶入驗算得f(±1)0.說明該多項式?jīng)]有有理根，因此f (x) 在有理數(shù)域上不可約例8:判斷f(x = X3 -

30、46x2 + 171x - 127在有理數(shù)域上是否可約解：若f (x)可約必有有理根，而f(x)的有理根中只能是±1或±127.因為f(±1) Ot f(±127) 0,所以f(x)無有理根，解得f(x)在有理數(shù)域上不可約.7利用因式分解唯一性定理將有理數(shù)域看作實數(shù)域的一部分，多項式可以分解成幾個實數(shù)域上的不可約因子.由于其不可 約因式的系數(shù)不都是有理數(shù)，所以通過因式分解唯一性定理，則該多項式在有理數(shù)域上不可約.例9:證明J +1在有理數(shù)域上不可約解：多項式/ + 1在實數(shù)域上分解為不可約因式的乘枳為X4 ÷ 1 = (x2 + QX + 1)

31、 (2 - 5 + 1)根據(jù)因式分解唯一性定理可知，如果/十1在有理數(shù)域上可約，應(yīng)該為上述的分解形式，但上 述不可約因式的系數(shù)不全為有理數(shù)，故而J + 1在有理數(shù)域上不可約.8 綜合分析法在多項式因式分解過程中，我們有吋不能只用一種方法判斷其是否可約，因為有時靠一種方法 并不能推斷出來，所以我們釆取綜合分析法.例10:證明f(x) = X4 ÷ 4kx ÷ 1 (k是整數(shù))在有理數(shù)域上是否可約解：f(X)的有理根只能是±1,且f (±1)0.所以f(x)無一次因式，如若f(x)可約，只能是兩個二次因式乘積。令f(x) = (x2 + ax + 1) (x

32、2 ÷ bx ÷ 1),其中a, b為整數(shù)，則有x4 + 4kx + 1 = x4 + (a + b) x3 + (2 + ab) ×L + (a + b) x + 1比較兩端系數(shù)a + b = O, 2 ÷ ab = O, a ÷ b = 4k,得到F二2.即a不可能是整數(shù)，這與理 論上a應(yīng)為整數(shù)矛盾因此，f(x)不可約.三、多項式的有理根及因式分解在判斷多項式是否可約之后，我們就要借助于以下方法簡單的對有理數(shù)域上的一元多項式進(jìn)行 因式分解了.(一) 求根法設(shè)多項式f(X)= a×n + ar _ x - 1 + ÷ ax

33、 + ao是整系數(shù)多項式.第一步，寫出首項系數(shù)冇的全部因數(shù)Vi, i = 1, 2,，s：第二步，寫出常數(shù)項ao的全部因數(shù)W, j = 1, 2,，t;第三步.用綜合除法對Z試驗，確定f(x)的根；Vr第四步,寫出f(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式.例11:求f (x) = 4x4 + 7×3 + IOx2 + 5x - 2在有理數(shù)域上的因式分解.解：先把它變成求f(x) = 4x4 + 7×3 + IOx2 + 5x - 2的有理根.Vf(X)的常數(shù)項和首項系數(shù)的全部因數(shù)分別是± 1, ± 2和± 1, ± 2, ± 4；則需要檢臉的有

34、理數(shù)為±1, ± 2. ± 4,而f( -1)= 0,故-1是f(x)的根，則得到f(x) = (x + 1)(4x3 + 3x2 ÷ 7x - 2)按照同樣的方法可求g(y)二(4x3 + 3x2 + 7x - 2)的有理根，得到g(y)有理根為丄，故有丄 44是g(y)的單根.所以.該多項式的分解式為4×z, + 7x3 + Wx2 + 5× - 2 = (x + 1) (x - 1) (4x2 + 4× + 8)4=(x ÷ 1)(4x -I)(X2 ÷ X ÷ 2)(二) 待定系數(shù)法在有

35、理根的基礎(chǔ)上，清疑所求的多項式含待定系數(shù)的一般解析式，再根據(jù)恒等條件，列出待定 系數(shù)的方程式，根據(jù)解方程法，得出標(biāo)準(zhǔn)分解式.例12:求f (x) = X5 - Wx3 - 20x2 - 15x - 4在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式解:f (x)的首項系數(shù)1的因子有± 1,常數(shù)項- 4的因子有±1,±2.± 4,所以f(x)的根有可能是±1,± 2,± 4將其代入f(x)逐一進(jìn)行檢驗，得出-和4是f(x)的有理根.假設(shè)f(x= (X ÷ 1)(x - 4 (x3 ÷ ax2 + bx + 1),利用多項式乘法法則

36、對右式展開合并同類f(x) = X5 + (a - 3)x4 ÷ (b - 4 - 3a)x3 + (1 - 3b - 4a)x2 + ( - 3 - 4b)x - 4 將得到的結(jié)果與f(x) = X5 - IOx3 - 20x2 - 15x - 4逐項比較，得a = b = 3.所以，該多項式的標(biāo)準(zhǔn)因式分解式為f(x) = (x ÷ 1)(x - 4) (x3 ÷ 3x2 + 3x + 1) = (x ÷ 1)4(x - 1)(三) 重因式分離法教域P上任何次數(shù)大于0的多項式f(x)都有唯一的標(biāo)準(zhǔn)分解式f (×) = apr' (&#

37、215;)p2r'(×)Psr* W(1)其中a為f(X的首項系數(shù)，Pl (X)-PS W是P上首項系數(shù)為1的不可約多項式且兩兩互異的正整數(shù)對(1)式兩邊求導(dǎo)得f(X)= a g() PIrl 1(×)p2r 1(×)psr* 1 (×)其中毎個Pi(X)都不能整除g(),輾轉(zhuǎn)相除法得(f(x),f(X) = PIrI - ,(×)p2r2',(x)-p5r5',(x)存在 q(x) = ap1(x)p2(x)Ps(x)使 f()二(f(x),f(x)q (x),由此可見 q (x)和 f (x)都有完全相同的因式，差別

38、是q(x)中因式的重數(shù)為1,因此求f(x)的因式可以換成求q(x的因式.(皿例13:求多項式f(x) = X5 - IOx3 - 20x2 - 15x - 4在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式.解：由f (x) = 5x4 - 30x2 - 40x - 15, (f(x),f'(x) = x3 ÷ 3x2 ÷ 3x ÷ 1 得g(x) = f(x)(f(x),f(X) = X2 - 3x - 4,所以g(x)的不可約因式為X - 4. X + 1.所以(f(x)tf (x) =(X + 1戶根據(jù)重因式定理，X + 1是f(x)的4重因式，即f(x)二(X(四) 應(yīng)用

39、矩陣的初等行變換法f (x) 1 0 根據(jù)f ,() 0 1初等行變換其中u(x), V(X)滿足(f(x),f (x)二 u(x)f(x)因式分離法求出多項式f(x)標(biāo)準(zhǔn)分解式.÷ 1)4(x - 4)(f(x),f (×) U(X) V(X)0 * *+ V (x) f (x),以此得出(f(x)t f (x),再根據(jù)重例14：求f(x) = X5 - IOx3 - 20x2 - 15x - 4在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式.解：由XS - 10×3 - 20x2 - 15× - 4 1 0X3 + 3×2 + 3x + 15(x4 - 6x2

40、- 8x - 3)0 1,初等行變化0所以(f(x),f'(x) = X3 ÷ 3x2 + 3x + 1 = (x ÷ D3又因為f(x)(f(x)f (x) = X2 - 3 X - 4 = (x - 4) (X ÷ 1)所以f(x) = (x ÷ D4 + (x - 4)(五) 利用行列式的性質(zhì)在爲(wèi)代中行列式是一個很好的工具，我們可以巧妙地利用行列式的相關(guān)性質(zhì)對多項式進(jìn)行因 式分解我們知道二階行列式a門引222=ana22 - a12a2i擴(kuò)展開來，可以將一個多項式F表示為其他兩個多項式的差，其中的每個兩個多項式又能寫成M P另外兩個多項式的乘積即F= MN - PO,也即是F二Q N將多項式F轉(zhuǎn)化成二階行列式的形 式，再對二階行列式進(jìn)行初等變換，提取公因式.對任意的一元r次多項式p(x=axr + an - 1xn 1 十a(chǎn)×十a(chǎn)°均可寫成n階行列式的形式(×)=a×00-1+ 3n - 1在此基礎(chǔ)上，利用行列式性質(zhì)，通過降階等方法進(jìn)行分解上】.例15:對多項式f(x) = 5x4+ 24x3 - 15x2 -