有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解

1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）論文題目：有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解學(xué)生姓名：學(xué) 號：專 業(yè)：班 級：指導(dǎo)教師：完成日期:有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解內(nèi)容摘要多項(xiàng)式理論是學(xué)習(xí)高等代數(shù)和解析幾何必不可少的內(nèi)容，它具有獨(dú)立完整不基于其他爲(wèi)代理論 基礎(chǔ)的體系，并且為學(xué)習(xí)代數(shù)和其他的數(shù)學(xué)分支提供理論依據(jù)因式分解，也叫做分解因式，是我 們研究有理數(shù)域上多項(xiàng)式理論的核心之一，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)代數(shù)和科學(xué)知識的必備基礎(chǔ)因此，在 這里我們要對有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解進(jìn)行研究.本文講述了有理數(shù)域上多項(xiàng)式因式分解的條件和方法，通過多個(gè)判別方法判斷多項(xiàng)式因式分解 的充分條件；在多項(xiàng)式可以因式分解的基礎(chǔ)上，總結(jié)出應(yīng)用于多項(xiàng)式因式分解

2、的簡便算法，給出實(shí) 例供參考：并在實(shí)際應(yīng)用中融入因式分解的意艾和目的.關(guān)鍵謨:有理數(shù)域多項(xiàng)式 因式分解RatiOna I POIynomia I factor iZatiOn domainAbStraCtPOlynOmial theory i S the study Of Higher AIgebra and analytic geometry essential COntent, it has independent and COmPIete not SyStem based On Other generation Of high theoretiCaI basiS and algebra

3、and Other branches Of mathematics Iearning and PrOVide a theoretiCaI basis FaCtorization, also cal led factorization, We Study the ratiOnal number field POI ynom i a I t heory i S One Of the core, a I SO for fur ther St Udy Of the essen tial basis Of the a Igebra and SCientific knovIedge TherefOref

4、here We Want to factor the POIynOmial OVer the rational number field decomposition WaS StUdiedThiS PaPer tells the factorization Of POIynOmial factorization Of ratiOnal number field COnd i t ions and met hods, t hrough mult iple di scr im inant met hod to det ermine SUffiCie nt COnd i tions for POly

5、nOmiaI factor i Zation; in POlynOnlia I Can factor i ZatiOn based, SUmmed for SimPle algorithm for POlynOmial factorization, give an example for reference; and in the PraCtiCaI appl ication into factorization Of meaning and PUrPOSeKey words： RatiOnaI number field POIynOmial factoring一、多項(xiàng)式的相關(guān)概念1（一）一元

6、多項(xiàng)式和一元多項(xiàng)式環(huán)的概念1（二）多項(xiàng)式整除的概念2二、有理數(shù)域上的多項(xiàng)式的可約性3（一）有理數(shù)域與實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域的區(qū)別3（二）多項(xiàng)式的可約性和因式分解的相關(guān)理念3（三）本原多項(xiàng)式的基本內(nèi)容41. 本原多項(xiàng)式的槪念42. 本原多項(xiàng)式的性質(zhì)4（四）判斷多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的可約性51. 愛森斯坦（EiSentein）判別法52. 布朗（BrOWn）判別法63. 佩龍（PerrOn）判別法64. 克羅內(nèi)克（KrOneCker）判別法75. 反證法76. 有理法（利用有理根）87. 利用因式分解唯一性定理88. 綜合分析法8三、多項(xiàng)式的有理根及因式分解9（一）求才艮法9（二）待定系數(shù)法9（三）重因式分

7、離法10（四）應(yīng)用矩陣的初等行變換法10（五）利用行列式的性質(zhì)11四、結(jié)論12參考文獻(xiàn)13代數(shù)問題是方程問題，方程問題就是求解問題低階方程的求解具有一般的代數(shù)方法(一次到 四次)3,而對于離次方程的求解關(guān)饞在于掌握多項(xiàng)式的因式分解.因式分解是集分解變形為之意，綜合應(yīng)用以前所學(xué)的知識，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具. 它是研究各種運(yùn)算和代數(shù)的恒等變形，采用了大部分相同的變形技能和技巧，如常用的因子提取、 公式化配方等因此，因式分解不只是數(shù)學(xué)上的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn).在本文中，研究的有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解實(shí)際上是整系數(shù)多項(xiàng)式的分解.整系數(shù)多項(xiàng)式 是一個(gè)無限集，如何判斷它可約迄今為止還沒有箱確和

8、易操作的方法，所以文中針對這個(gè)難點(diǎn)進(jìn)行 研究討論.一、多項(xiàng)式的相關(guān)概念(一) 一元多項(xiàng)式和一元多項(xiàng)式環(huán)的概念多項(xiàng)式是代數(shù)學(xué)中宜要的基鈾知識，它不僅與高次方程有密切聯(lián)系，在其他方向?yàn)閷W(xué)習(xí)代數(shù)知 識也做了很好的鋪墊，因此，我們必須清惡多項(xiàng)式的基本內(nèi)容.定義1設(shè)n是一非負(fù)整數(shù)，表達(dá)式a×r, + a - ×" 1 ÷ , ao其中a。，a, -an全屬于數(shù)域P,稱為系數(shù)在數(shù)域P中的一元多項(xiàng)式，或者簡稱為數(shù)域P上的一元多項(xiàng) 式.多項(xiàng)式可以加-減、乘,例如：(2×2 - 1) + (x' - 22 + X + 2)= X3 + X + 1(22

9、- 1) (x2 - X + 1)= 2x4 - 2x3 + 2x2 - X2 + X - 1=X4 - 2x3 + X2 ÷ X - 1根據(jù)上述式子的計(jì)算，可以看出數(shù)域P上的兩個(gè)多項(xiàng)式通過加、減、乘等運(yùn)算后，其結(jié)果仍然 是數(shù)域P上的多項(xiàng)式.接下來，我們引入一個(gè)槪念.定義2所有系數(shù)在數(shù)域P中的一元多項(xiàng)式的全體，稱為數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)，記為Px, P稱 為P的系數(shù)域之后我們要討論的有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解是在一個(gè)固定的數(shù)域P上的多項(xiàng)式環(huán)p中進(jìn) 行的.（二）多項(xiàng)式整除的概念我們討論過一元多項(xiàng)式可以容易地進(jìn)行加、減.乘法運(yùn)算，但是多項(xiàng)式之間的除法并不像其他 運(yùn)算那樣可以普遍地做.因此

10、整除運(yùn)算就成為了兩個(gè)多項(xiàng)式之間區(qū)別于其他運(yùn)算更值得探討的課 題.和鬲中代數(shù)一樣，作為一種表達(dá)式，可以用一個(gè)多項(xiàng)式去除另一個(gè)多項(xiàng)式，求得商和余式，如:設(shè)f(x)二 3x3 ÷ 4x2 - 5x + 6g(x) = X2 - 3x ÷ 1接下來，我們作除法：X2 - 3x + 13×3 十 4x2 一 5x 十 6 Q *2 qv,2 + o 13x2 - 8x + 63x ÷ 1313x2 - 39x + 1331X 一 7于是，求得商為3x十13,余式為35 - 7,所得結(jié)果可以寫成下列形式：3x3 + 4x2 - 5 + 6 = (3x 4 13)(x

11、2 - 3x ÷ 1)+ (31 x - 7)定理1 (帶余除法)對于PlXl中任意兩個(gè)多項(xiàng)式f()和g(x),其中g(shù)(x) 0, 定有P中的 多項(xiàng)式q(x), r(x)存在，使f(×) = q(×) g(×) ÷ r(x)成立，并有r(x) < 3(g(x)或r(x) = 0,并且這樣的q(x), r (x)是唯一決定的.證明(唯一性)設(shè)另外有多項(xiàng)式q (x)fr (x)使f(x)二 q(x) g(x) + r (x)成立，其中3( (X) < a(g(x)或r(x) = 0,于是有q(x) g(x) + r(x) = qx) g

12、(x) + 廠(x)即(q(x) - q (x) g(x) = r(x) - r(x)如果q(x) q* (x),就假設(shè)g(x) 0,那么 r (x) - r(x) 0即可得出O(q(x) - q,(×) + 5(g(x) = a(r*(x) - r(x)又因?yàn)閄g(X) > 0(r>(x) -r(x)所以上述式子不可能成立，這也證明了q(x) = q(x),同時(shí)r (x)二r(x)定義3數(shù)域P上的多項(xiàng)式q(x)通常稱作g(x)整除f(x),存在數(shù)域P上的多項(xiàng)式h(x)使等式 f(x) = g(x)h(x)成立，我們用“g(x)l f(x)"表示g(x)整除 f

13、(x),用 rtg<) I f ()"表示g()不 可以整除f(x).當(dāng)g(x)l f(x)時(shí)，g(x)就稱為f(x)的因式,f(x)稱為g(x)的倍式.事實(shí)上，整除多項(xiàng)式原理使我們很輕松的了解多項(xiàng)式因式分解的原理.二、有理數(shù)域上的多項(xiàng)式的可約性(一) 有理數(shù)域與實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域的區(qū)別我們知道，有理數(shù)域，實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域的范圍不同為了能更好的分析有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因 式分解，我們要區(qū)分有理數(shù)域，實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域的概念，只有將單項(xiàng)涵義牢記于心，我們才能知道 多項(xiàng)式在各個(gè)數(shù)域中需要分解到何種形式.這里先做簡要介紹.首先，有理數(shù)包括：(1)整數(shù)：正整數(shù)，負(fù)整數(shù)和0： (2)分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)，負(fù)

14、分?jǐn)?shù)；(3)小數(shù)： 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)4.所有有理數(shù)組成一個(gè)集合，即為有理數(shù)集而有理數(shù)集是一個(gè)域，可以 在其中進(jìn)行四則運(yùn)算(0作除數(shù)除外)，用字母0表示.其次，實(shí)數(shù)可以包含所有的軸點(diǎn)數(shù)董，直觀的看作是有限小數(shù)和無限小數(shù)，是有理數(shù)和無理數(shù) 的統(tǒng)稱，用字母R表示.再次，復(fù)數(shù)是寫成如下形式日+ bi的數(shù)，a和b是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，是實(shí)數(shù)和虛數(shù)的統(tǒng)稱， 用字母C表示.(二) 多項(xiàng)式的可約性和因式分解的相關(guān)理念定義4數(shù)域P上次數(shù) A 1的多項(xiàng)式P(X)稱為域P上的不可約多項(xiàng)式，如果它不能表成數(shù)域P上 兩個(gè)次數(shù)比P(X)的次數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積.定理2 (因式分解及唯一性)數(shù)域P上每一個(gè)次數(shù) 1的多項(xiàng)

15、式f (x)都可以唯一地分解成數(shù) 域P上一些不可約多項(xiàng)式的乘積.而唯一性是指，若有兩個(gè)分解式f(x) = Pl(X)P2(×)Ps(×) = q1(x)q2(Q qt(x)那么必有S =匕根據(jù)因式的次序適當(dāng)排列得到Pi(X) Z CiQi,i = 1,2. ,s其中Ci(i = 1,2, ,s)屬于非零常數(shù).多項(xiàng)式因式分解看似簡單，實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含了許多深奧的理論.多項(xiàng)式在不同數(shù)域上分解程皮是不同 的，我們不應(yīng)該想當(dāng)然的提出多項(xiàng)式因式分解后，就說它已經(jīng)不能再分，并完成了多項(xiàng)式分解我們 可以比較一下復(fù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域和有理數(shù)域上多項(xiàng)式因式分解的差異.如：分別求多項(xiàng)式t - 4在復(fù)數(shù)域，實(shí)

16、數(shù)域以及有理數(shù)域上的因式分解 在復(fù)數(shù)域上這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解為(X + J刃(X - (X + 5i)(× - 5i) 在實(shí)數(shù)域上這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解為(x2 + 2) (x ÷ 5) (X - 2) 在有理數(shù)域上這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解為(/ + 2) (x2 - 2)從上述結(jié)果可以看出，對于一個(gè)多項(xiàng)式能否因式分解，不能單獨(dú)考慮它是否滿足因式分解的定 理.我們具體情況具體分析，有理數(shù)域的多項(xiàng)式的因式分解比較困難.因?yàn)樵谟欣頂?shù)域上多少次的不 可約多項(xiàng)式都存在，我們有時(shí)還認(rèn)不出其究竟是否可約，所以研究非常麻煩故而確定有理數(shù)域上 多項(xiàng)式是否可約是麻煩的，掌握多項(xiàng)式因式分解不如想象中

17、那么簡單.(三) 本原多項(xiàng)式的基本內(nèi)容1. 本原多項(xiàng)式的槪念定義5設(shè)g(×)二bnt1 ÷ bn-1×n1 + bo是非零的整系數(shù)多項(xiàng)式，如若g(x)的系數(shù) b,bn-l, ,bo互素，就稱g(x)是本原多項(xiàng)式.所以，任何一個(gè)非零的有理系數(shù)多項(xiàng)式f(x)都能表示為一個(gè)有理數(shù)r與一個(gè)本原多項(xiàng)式g(x)0 乘積.FPf(X) = r g(x).由此證明，這種表示法除了差一個(gè)正負(fù)號是唯一的，可以說若f(x) Z rg(x) = ngl(X),且r," 是有理數(shù)，g(x)，S1 W是本原多項(xiàng)式，那么必定有r =± r,g(x) =± g (&

18、#215;).因?yàn)槎囗?xiàng)式f(x)和本原多項(xiàng)式g(x)只相差一個(gè)非零的常數(shù)倍，他們都有看相同的整除性質(zhì)，因 此f(x)的因式分解問題可以歸結(jié)為本原多項(xiàng)式g()的因式分解問題.所以我們可以討論本原多項(xiàng)式 的性質(zhì)，之后考慮整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解問題.2. 本原多項(xiàng)式的性質(zhì)性質(zhì)1(鬲斯(GUaSS)引理)設(shè)f(x)與g(x)為兩個(gè)本原多項(xiàng)式，那么他們的乘積h(x) = f(x) g(x)也是本原多項(xiàng)式.性質(zhì)2設(shè)f(x)是非零整系數(shù)多項(xiàng)式，若f(x)分成為兩個(gè)有理數(shù)域上的多項(xiàng)式g(x)與h(x)的乘枳,a(g() < a(f(). a(h(×) < a(f()那么f(x)定能分解成

19、兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式乘積.例1:設(shè)f(x), g(x)是兩個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，且g(x)是本原多項(xiàng)式.證明：若f(x) = g(x)h(x), 且h(x)是有理數(shù)域上的多項(xiàng)式，那么h(x) 定是整系數(shù)多項(xiàng)式.證明：根據(jù)本原多項(xiàng)式的性質(zhì)來證明，設(shè)f(x) = af(x),h(x) = rh1(x)其中*(x),h(x)都是本原多項(xiàng)式，a是整數(shù)，r是有理數(shù)于是有af (x) rg(x) h1(x)因?yàn)間(x)hl(×)是本原多項(xiàng)式故r =± a,即r是一個(gè)整數(shù)，所以h(x) = rh1(x)是整系數(shù)多項(xiàng)式.(四) 判斷多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的可約性基于整系數(shù)多項(xiàng)式，我們需要判斷它

20、是否可約，這是我們討論有理數(shù)域上多項(xiàng)式因式分解的重 點(diǎn)，接下來列出一些判別整系數(shù)多項(xiàng)式不可約的方法.1 愛森斯坦(Eisentein)判別法定理3設(shè)f(x) = a0 + ax + axn, an O是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，若找到一個(gè)素?cái)?shù)p,使P與冇不可約：(2)p與a“ - ,a - 2,ac是可約的：與ao不可約，那么多項(xiàng)式f(x)在有理數(shù)域上不可約.證明：如果3o= - PlP2PmaI = 32 an - 1 = 0, an z 1可找到素?cái)?shù)PI滿足a(i = 0,1, n - 1), marvp*Ia(I所以，根據(jù)愛森斯坦(EiSentein)判別法可知,f(x)在有理數(shù)域上不可約旺特別

21、注意的是，愛森斯坦判別法的條件只是充分條件，即滿足三個(gè)條件的多項(xiàng)式不可約.如：多項(xiàng)式f(x = 2× - 5 ÷ 10,滿足愛森斯坦判別法的三個(gè)條件，故而不可約但并不是 說所有不滿足定狡要求的多項(xiàng)式都可約，因?yàn)橛泻芏喽囗?xiàng)式不滿足上述三個(gè)條件但卻是不可約的， 譬如/ ÷ 2.當(dāng)然，也有可約的多項(xiàng)式，如：X2 ÷ X - 6不滿足上述的三個(gè)條件，但卻可以分解為X2 ÷ X - 6 = (X - 2) (X- 3)有時(shí)，對于菜個(gè)多項(xiàng)式來說，愛森斯坦判別法不能直接應(yīng)用，但我們可以把其適當(dāng)變形.設(shè)日和 b是兩個(gè)有理數(shù)，且a 0,整數(shù)系多項(xiàng)式f(x)在有理

22、數(shù)域上不可約當(dāng)且僅當(dāng)f(ax + b在有理數(shù)域 上不可約例2:證明f(x) = X6 + X3 + 1在有理數(shù)域上不可約.證明：因?yàn)閒(“的系數(shù)都是1,無法應(yīng)用愛森斯坦判別法.因此，我們令X = y + 1并把其代入f(x,則多項(xiàng)式變?yōu)?y + D6 + (y + D3 ÷ 1 = y6 ÷ 6y5 + 15y4 + 21 y3 + 18y2 + 9y + 3 = g(y)根損愛森斯坦判別法判別g(y),取p=3,即證上式不可約，故而可知f(x= ×6 + x3 + 1在有 理數(shù)域上不可約.2布朗(BrOWn)判別法定理4設(shè)f(x)為n次整系數(shù)多項(xiàng)式，令Sf(X)

23、 = , f( - I)Lf(O) IJf(I)I,.其中Nl表示Sf(X)中1的個(gè)數(shù)，W表示Sf(X)質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)，令Np ÷ 2 N1 > n + 4j則f(x)在Q上不可 約.例3:證明f(x) = 2x3 - X2 + X - 1在Q上不可約.證明：因?yàn)闊o法找到素?cái)?shù)P來判斷f(x)滿足愛森斯坦(EiSentein)判別法的條件，因此我們無 法根據(jù)愛森斯坦(EiSentein)判別法來判別可約性.但是我們可以根據(jù)布朗(BrQWn)判別法判斷 多項(xiàng)式的可約性.因此，我們可以得到:f(0) =- 1, f(1) = 1, f( - 1) =- 5, f( - 2) =- 23,

24、 f(3)=47故而， 2 4, N( M 2所以得到NP + 2Ni E8>3 + 4由此根搖布朗(BrOWrl)判別法可知，f(x)在有理數(shù)域上不可約.3佩龍(Perron)判別法定理5設(shè)f(x) = xn + an - Ixr " 1 4 a1 + ao(ao OT ae Z, = 0, 1, , - 1)是整系數(shù)多項(xiàng)式，若此系數(shù)滿足Ian-Il > 1 ÷ Ian - 2 ÷ Ian - 3 + -IaIl + Iaol,則f(x)在有理數(shù) 域上不可約.例4:證明f(x) = x5 ÷ 4x4 + x2 + 1在有理數(shù)域上不可約.證明

25、：因?yàn)闊o法找到素?cái)?shù)P來判斷f(x)滿足愛森斯坦(EiSentein)判別法的條件，因此我們不 能用愛森斯坦(EiSentein)判別法，但是我們可以看出多項(xiàng)式f(x)滿足佩龍(PerrOn)判別法的條 件.因此根據(jù)佩龍(PerrOn)判別法定理以及題目得出4>1÷1+1,所以該多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可 約.4. 克羅內(nèi)克(KrOneCker)判別法定理6設(shè)f(x)二 anxr + an - ×r 1 ÷ + a× + ao是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，可以在有理數(shù)域上將f(0分解成兩個(gè)不可約多項(xiàng)式的乘積.例5:證明f(x) = X5 + 1在有理數(shù)域上不可約.

26、證明：s=2 < -,取a° 二一 It a 二 O, a2 = 1,則有f( - 1)二 O, f(0) = 1, f(1) = 2 2因此，f( - 1)的因子為0, f(x)的因子為1, f(x)的因子為1,2故令g( - 1) = 0,g(0) = 1,g(1) = 1： g( - 1) = 0,g(0) = 1,g(1) = 2應(yīng)用插值多項(xiàng)式得(X + D (X- 0)(1 + D (I- 0)X - 2)(X + D (X- DSI(X)二 ° 十(0÷1) (OI)2(x + 1) (X- 0)(1 + x) (I- 0)(X + D (X-

27、D g2(X) = 0 4 7 + 1)(071)由帶余除法可知：81(×)不能整除f(x), g2(x)不能整除f(x),從而得到f(x)在有理數(shù)域上不可約.此方法是一個(gè)通過有限次數(shù)計(jì)算判定整系數(shù)多項(xiàng)式可以分解成若干個(gè)次數(shù)低的整系數(shù)多項(xiàng)式 的方法引.然而，有大量的丈獻(xiàn)資料顯示，整系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解過程中往往不釆用克羅內(nèi)克方 法®,因?yàn)閷τ诠ぷ髁縼碚f，克羅內(nèi)克方法的使用非常大，通常選擇使用其他的分解技巧實(shí)現(xiàn).因 此克羅內(nèi)克方法只是一種理論上可行的方法，不能用于因式分解的實(shí)際操作，實(shí)用價(jià)值不大5. 反證法上述判別法判別多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的條件并不是所有題目都適用，因此，我們

28、不確定不滿足 愛森斯坦判別法的多項(xiàng)式是不是可約的，或在無法找到滿足判別法中的素?cái)?shù)P時(shí)，我們選擇反證法.例6：設(shè)P(X)是F(X)上一個(gè)次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，如果對任意f (x),都有g(shù)(y)F(x),且 P(X) I f() g(y),并且P(X) I f()或者p(×) I g(y),那么P(X)不可約.證明:若P(X)可約，則有P(X) = P1(×)P2(×),其中0 < 8(Pi(X) < a(p(×), i = 1,2令f () = Pl () > g(y) = P2(×) 則P(X) I f (x) g(y)由題可得

29、:P(X)I f()或P(X)I g(y)則有0(P(X) > 0(f(x),0(p(x) > 0(g(y),與前面整除矛盾，故P(X)不可約.6. 有理法(利用有理根)對于一些次數(shù)不超過三次的多項(xiàng)式，利用有理根方法進(jìn)行判別會更簡便，若沒有有理根，則該 多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約.例7：判斷f(x) = X3 - 5x + 1在有理數(shù)域上是否可約解：假設(shè)f(x)可約.那么f(x)至少有一個(gè)一次因子，即有一個(gè)有理根.但f (x)的有理根只可能是±1,因此帶入驗(yàn)算得f(±1)0.說明該多項(xiàng)式?jīng)]有有理根，因此f (x) 在有理數(shù)域上不可約例8:判斷f(x = X3 -

30、46x2 + 171x - 127在有理數(shù)域上是否可約解：若f (x)可約必有有理根，而f(x)的有理根中只能是±1或±127.因?yàn)閒(±1) Ot f(±127) 0,所以f(x)無有理根，解得f(x)在有理數(shù)域上不可約.7利用因式分解唯一性定理將有理數(shù)域看作實(shí)數(shù)域的一部分，多項(xiàng)式可以分解成幾個(gè)實(shí)數(shù)域上的不可約因子.由于其不可 約因式的系數(shù)不都是有理數(shù)，所以通過因式分解唯一性定理，則該多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約.例9:證明J +1在有理數(shù)域上不可約解：多項(xiàng)式/ + 1在實(shí)數(shù)域上分解為不可約因式的乘枳為X4 ÷ 1 = (x2 + QX + 1)

31、 (2 - 5 + 1)根據(jù)因式分解唯一性定理可知，如果/十1在有理數(shù)域上可約，應(yīng)該為上述的分解形式，但上 述不可約因式的系數(shù)不全為有理數(shù)，故而J + 1在有理數(shù)域上不可約.8 綜合分析法在多項(xiàng)式因式分解過程中，我們有吋不能只用一種方法判斷其是否可約，因?yàn)橛袝r(shí)靠一種方法 并不能推斷出來，所以我們釆取綜合分析法.例10:證明f(x) = X4 ÷ 4kx ÷ 1 (k是整數(shù))在有理數(shù)域上是否可約解：f(X)的有理根只能是±1,且f (±1)0.所以f(x)無一次因式，如若f(x)可約，只能是兩個(gè)二次因式乘積。令f(x) = (x2 + ax + 1) (x

32、2 ÷ bx ÷ 1),其中a, b為整數(shù)，則有x4 + 4kx + 1 = x4 + (a + b) x3 + (2 + ab) ×L + (a + b) x + 1比較兩端系數(shù)a + b = O, 2 ÷ ab = O, a ÷ b = 4k,得到F二2.即a不可能是整數(shù)，這與理 論上a應(yīng)為整數(shù)矛盾因此，f(x)不可約.三、多項(xiàng)式的有理根及因式分解在判斷多項(xiàng)式是否可約之后，我們就要借助于以下方法簡單的對有理數(shù)域上的一元多項(xiàng)式進(jìn)行 因式分解了.(一) 求根法設(shè)多項(xiàng)式f(X)= a×n + ar _ x - 1 + ÷ ax

33、 + ao是整系數(shù)多項(xiàng)式.第一步，寫出首項(xiàng)系數(shù)冇的全部因數(shù)Vi, i = 1, 2,，s：第二步，寫出常數(shù)項(xiàng)ao的全部因數(shù)W, j = 1, 2,，t;第三步.用綜合除法對Z試驗(yàn)，確定f(x)的根；Vr第四步,寫出f(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解式.例11:求f (x) = 4x4 + 7×3 + IOx2 + 5x - 2在有理數(shù)域上的因式分解.解：先把它變成求f(x) = 4x4 + 7×3 + IOx2 + 5x - 2的有理根.Vf(X)的常數(shù)項(xiàng)和首項(xiàng)系數(shù)的全部因數(shù)分別是± 1, ± 2和± 1, ± 2, ± 4；則需要檢臉的有

34、理數(shù)為±1, ± 2. ± 4,而f( -1)= 0,故-1是f(x)的根，則得到f(x) = (x + 1)(4x3 + 3x2 ÷ 7x - 2)按照同樣的方法可求g(y)二(4x3 + 3x2 + 7x - 2)的有理根，得到g(y)有理根為丄，故有丄 44是g(y)的單根.所以.該多項(xiàng)式的分解式為4×z, + 7x3 + Wx2 + 5× - 2 = (x + 1) (x - 1) (4x2 + 4× + 8)4=(x ÷ 1)(4x -I)(X2 ÷ X ÷ 2)(二) 待定系數(shù)法在有

35、理根的基礎(chǔ)上，清疑所求的多項(xiàng)式含待定系數(shù)的一般解析式，再根據(jù)恒等條件，列出待定 系數(shù)的方程式，根據(jù)解方程法，得出標(biāo)準(zhǔn)分解式.例12:求f (x) = X5 - Wx3 - 20x2 - 15x - 4在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式解:f (x)的首項(xiàng)系數(shù)1的因子有± 1,常數(shù)項(xiàng)- 4的因子有±1,±2.± 4,所以f(x)的根有可能是±1,± 2,± 4將其代入f(x)逐一進(jìn)行檢驗(yàn)，得出-和4是f(x)的有理根.假設(shè)f(x= (X ÷ 1)(x - 4 (x3 ÷ ax2 + bx + 1),利用多項(xiàng)式乘法法則

36、對右式展開合并同類f(x) = X5 + (a - 3)x4 ÷ (b - 4 - 3a)x3 + (1 - 3b - 4a)x2 + ( - 3 - 4b)x - 4 將得到的結(jié)果與f(x) = X5 - IOx3 - 20x2 - 15x - 4逐項(xiàng)比較，得a = b = 3.所以，該多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)因式分解式為f(x) = (x ÷ 1)(x - 4) (x3 ÷ 3x2 + 3x + 1) = (x ÷ 1)4(x - 1)(三) 重因式分離法教域P上任何次數(shù)大于0的多項(xiàng)式f(x)都有唯一的標(biāo)準(zhǔn)分解式f (×) = apr' (&#

37、215;)p2r'(×)Psr* W(1)其中a為f(X的首項(xiàng)系數(shù)，Pl (X)-PS W是P上首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式且兩兩互異的正整數(shù)對(1)式兩邊求導(dǎo)得f(X)= a g() PIrl 1(×)p2r 1(×)psr* 1 (×)其中毎個(gè)Pi(X)都不能整除g(),輾轉(zhuǎn)相除法得(f(x),f(X) = PIrI - ,(×)p2r2',(x)-p5r5',(x)存在 q(x) = ap1(x)p2(x)Ps(x)使 f()二(f(x),f(x)q (x),由此可見 q (x)和 f (x)都有完全相同的因式，差別

38、是q(x)中因式的重?cái)?shù)為1,因此求f(x)的因式可以換成求q(x的因式.(皿例13:求多項(xiàng)式f(x) = X5 - IOx3 - 20x2 - 15x - 4在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式.解：由f (x) = 5x4 - 30x2 - 40x - 15, (f(x),f'(x) = x3 ÷ 3x2 ÷ 3x ÷ 1 得g(x) = f(x)(f(x),f(X) = X2 - 3x - 4,所以g(x)的不可約因式為X - 4. X + 1.所以(f(x)tf (x) =(X + 1戶根據(jù)重因式定理，X + 1是f(x)的4重因式，即f(x)二(X(四) 應(yīng)用

39、矩陣的初等行變換法f (x) 1 0 根據(jù)f ,() 0 1初等行變換其中u(x), V(X)滿足(f(x),f (x)二 u(x)f(x)因式分離法求出多項(xiàng)式f(x)標(biāo)準(zhǔn)分解式.÷ 1)4(x - 4)(f(x),f (×) U(X) V(X)0 * *+ V (x) f (x),以此得出(f(x)t f (x),再根據(jù)重例14：求f(x) = X5 - IOx3 - 20x2 - 15x - 4在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式.解：由XS - 10×3 - 20x2 - 15× - 4 1 0X3 + 3×2 + 3x + 15(x4 - 6x2

40、- 8x - 3)0 1,初等行變化0所以(f(x),f'(x) = X3 ÷ 3x2 + 3x + 1 = (x ÷ D3又因?yàn)閒(x)(f(x)f (x) = X2 - 3 X - 4 = (x - 4) (X ÷ 1)所以f(x) = (x ÷ D4 + (x - 4)(五) 利用行列式的性質(zhì)在爲(wèi)代中行列式是一個(gè)很好的工具，我們可以巧妙地利用行列式的相關(guān)性質(zhì)對多項(xiàng)式進(jìn)行因 式分解我們知道二階行列式a門引222=ana22 - a12a2i擴(kuò)展開來，可以將一個(gè)多項(xiàng)式F表示為其他兩個(gè)多項(xiàng)式的差，其中的每個(gè)兩個(gè)多項(xiàng)式又能寫成M P另外兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積即F= MN - PO,也即是F二Q N將多項(xiàng)式F轉(zhuǎn)化成二階行列式的形 式，再對二階行列式進(jìn)行初等變換，提取公因式.對任意的一元r次多項(xiàng)式p(x=axr + an - 1xn 1 十a(chǎn)×十a(chǎn)°均可寫成n階行列式的形式(×)=a×00-1+ 3n - 1在此基礎(chǔ)上，利用行列式性質(zhì)，通過降階等方法進(jìn)行分解上】.例15:對多項(xiàng)式f(x) = 5x4+ 24x3 - 15x2 -