初中數(shù)學競賽題典--整除

1、初中數(shù)學競賽題典數(shù)的整除題 l 所有四位數(shù)中，有（）個數(shù)能同時被入3，5，7 和 11 整除？（a）l（b）2（c）3（d）4 題 2 設(shè) n 是 100 到 200之間的自然數(shù)，則滿足7n2 是 5 的倍數(shù)的。共有（）個題 3 一個六位數(shù)1991ab能被 12 整除，這樣的六位數(shù)共有多少個（a）4 （b） （ c）8（d）12 題 4 已知 7241 可被 40 至 50 之間的兩個整數(shù)整除，這兩個整數(shù)是（），題 6 n 是一個兩位數(shù)，它的數(shù)碼之和為a當 n 分別乘以 3，5，79 以后得到4 個乘積如果其每一個積的數(shù)碼之和仍為a，那么，這樣的兩位數(shù)n 有（） 題 8 設(shè)某個 n 位正整數(shù)的

2、n個數(shù)宇是1，2， , ， n 的一個排列， 如果它的前k 個數(shù)字所組成的整數(shù)能被k 整除，其中k1，2，, ， n，那么就這個n 位數(shù)為一個“好數(shù)” 例如，321 就是一個三位“好數(shù)” ，因為 1 整除 3，2 整除 32，3 整除 321那么六位“好數(shù)”的個數(shù)為（）題 9 能被 11 整除的最小的九位數(shù)是題 12 在自然數(shù)1，2，3，, ， 1990，1991 中不能披7 整除的數(shù)有（）個題 13 將自然數(shù)n 接寫在任意一個自然數(shù)的右面（例如，將2 接寫在 35 的右面得352） ，如果得到的新數(shù)都能被n 整除，那么n 稱為魔術(shù)數(shù)，在小于l30 的自然數(shù)中，魔術(shù)數(shù)的個數(shù)為（） 題 14 在

3、所有的五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43 且能被 11 整除的數(shù)是（） 。題 15 定義：如果n 個不同的正整數(shù)，對其中的任意兩個數(shù)，這兩數(shù)的積能被這兩數(shù)的和整除那么，叫這組數(shù)為n 個數(shù)的祖沖之數(shù)組。例如：60，120，180 這三個數(shù)就構(gòu)成一個三個數(shù)的祖沖之數(shù)組， （因（ 60120）（ 60120） ， （60180）（ 60 180） ， （ 120180）（ 120180）都是整數(shù)） 請你寫出一組四個數(shù)的祖沖之數(shù)組題 16 設(shè) a、b、c 為整數(shù)，且ab 和 ab 均可被 c 整除，求怔： a3b3可被 c2整除題 17 設(shè) a、b、c 為正整數(shù)，求證：a3（bc） b3（ca） c3（a

4、b）可被 ab c 整除題 19 一個魔方是由自然數(shù)組成的正方形網(wǎng)格。它有如下性質(zhì)：每一行，每一列及兩條對角線上的數(shù)的和都相同，這個值稱為魔方和。求證：每一個33 大小的魔方的魔方和都能被 3 整除。題 20 求證：如果兩個不可約分數(shù)的和是整數(shù)，那么這兩個分數(shù)的分母相同。題 21 設(shè) a 和 b 為自然數(shù)，使得a2ab1 可被 b2ba1 整除，求證：ab。題 22 自然數(shù) a、b、c、d 都可以被abcd 整除，其中abcd0。求證： abcd1。題 23 使求出所有這樣的自然數(shù)n，使得 n33 可被 n 3 整除。題 26 圓上有 9 個數(shù)碼，已知從某一位起把這些數(shù)碼按順時針方向記下，得到

5、一個9 位數(shù)并且能被27 整除。求證：如果從任何一位起把這些數(shù)碼按順時針方向記下的話，那么所得的一個 9 位數(shù)也能被27 整除。題 27 任意給定一個自然數(shù)a，把 a 的各位數(shù)字按逆序?qū)懗鰜?，形成一個新的自然數(shù)a。試證： aa是 9 的倍數(shù)。題 28 設(shè) n 是正奇數(shù)，試證：1n 2n, 9n3（1n6n8n）能被 18 整除。題 29 求證：20001001l1 442 44 3個被 1001 整除。題 30 求證： 7|（2222555555552222） 。題 31 求證：對任何自然數(shù)，數(shù)（2n1）n3 都可被 2n3 整除。題 33 給定自然數(shù)a，b和 n，已知對任何自然數(shù)k（k0）

6、，數(shù) akn能被 bk 整除，證明：abn。題 34 設(shè) k 為正奇數(shù)，證明12, n 整除（ 1k2k, nk） 。題 35 求證： 467|512367537203。題 36 已知最簡分數(shù)mn可以表示成1111231992mnl。試證：分子m 是質(zhì)數(shù) 1993的倍數(shù)。題 37 設(shè) p 與 q 是自然數(shù)， 滿足111112313181319pql。求證： p 可被質(zhì)數(shù)1979整除。題 38 設(shè) p 為奇質(zhì)數(shù)，求證：1111231apbl的分子 a 是 p 的倍數(shù)。題 39 給定11112320mnl，其中mn是不可約分數(shù)，試證：m 能被 5 整除。題 40 試證：將和11112340l寫成一

7、個最簡分數(shù)mn時， m 不會是 5 的倍數(shù)。題 41 設(shè) n 是正偶數(shù)，求證： （2n1）不整除（ 3n 1） 。題 42 試證：對每一個自然數(shù)n，數(shù) 1199721997, n1997不能被 n2 整除。題 46 一個自然數(shù)a，若將其數(shù)字重新排列可得一個新的自然數(shù)b，如果 a 恰是 b 的 3 被，我們稱 a 是一個“希望數(shù)” 。（1）請舉例說明： “希望數(shù)”一定存在。（2）請證明：如果a，b 都是“希望數(shù)” ，則一定有729|ab。題 47 求證：對任何自然數(shù)n，都有 120|n55n3 4n。題 48 求證： n（n21） （ n25n26）可以被120 整除。題 49 試證： n2（

8、n21） （n24）可以被360 整除。題 50 設(shè) n 是任意自然數(shù)，求證：375315nnnn是整數(shù)。題 51 若干個整數(shù)的和能被6 整除，求證：這些數(shù)的立方和也能被6 整除。題 52 今有 6 根金屬棒，每根的長度都是1m，能否將它們鋸成10 根 27cm 長、12 根 15cm長和 25 根 6cm 長的短棒？（鋸棒時的損耗可忽略不計）題 53 柯樓南契大蛇有1000 個頭。神話中的大力士能一次用劍看去1，17，21 或 33 個頭，但是大蛇又相應地生出10，14， 0 或 48 個頭。問大力士能戰(zhàn)勝柯樓南契大蛇嗎？題 54 一天我發(fā)現(xiàn)了如下的魔術(shù)錢幣機：如果我放入一枚一分的硬幣，出來

9、一枚5 分硬幣和一枚一角硬幣；如果我放進一枚5分硬幣， 機器給出四角硬幣，而如果我放如一枚一角硬幣，我取回3 枚一分的硬幣我用一枚一分的硬幣開始，反復進行以上過程，能出現(xiàn)我剛好有一美元硬幣的機會嗎？驗證答案題 55 是否存在兩個不等于0 的整數(shù) a 和 b，其中之一可被它們的和整除，另一個可被它們的差整除？題 56 一個凸n 邊形被劃分成黑、白兩色的若干個三角形，使得任意兩個三角形要么有公共的邊（這時它們?nèi)静煌伾?，要么有公共頂點，要么沒有公共頂點。而多邊形的每條邊都是某個黑色三角形的邊。證明：3|n。題 57 求證：不存在整數(shù)a、b、c、d，使當 x19 時， ax3bx2cxd1，以及當x62時， ax3bx2cxd2。題 58 公共汽車票的號碼是一個六位數(shù)，若一張車票的號碼的前三個數(shù)字之和等于后三個數(shù)字之和，剛稱這張車票是幸運的試證：所有幸運車票號碼的和能被13 整除，題 59