(完整)2010年全國高考數(shù)學(xué)試題及答案-全國2卷,推薦文檔

1、絕密啟用前2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國n卷)文科數(shù)學(xué)第I卷(選擇題)本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的。參考公式:球的表面積公式如果事件A B互斥，那么P(A+B) P(A)+P(B)S=4如果事件A B相互獨(dú)立，那么其中R表示球的半徑P(A?B) P(A)?P(B)如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p ,那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 A恰好發(fā)生k次的概率球的體積公式V 4 R33其中R表示球的半徑Pn(k) Cnkpk(1 p)n k(k 0,1,2,L ,n)、選擇題(1)設(shè)全集U1,3 , B 3,5，則eU(AU B

2、)(A)1,4(B)1,5(C)2,4(D)2,53, x 3,(2 )不等式人3 0的解集為()x 2(A) x 2 x 3(B) x x 2(C) x x2或x 3一 一一 一 2(3)已知 sin -,則 cos( 2 ).51(A) T(B) 9(D) x x 3(C)(D)(4)函數(shù)y 1 ln( x 1)(x 1)的反函數(shù)是(6)(A) y(C) yex 1 1(x 0)ex 1 1(x R)若變量x,y滿足約束條件(A) 1如果等差數(shù)列(A) 14若曲線y x(B) 2(A) a 1,b(C) a 1,b(8)已知三棱錐S(B) y(D) y1(x 0)1(x R)y3x2y(C

3、) 3an 中，a3+a4+a5=12,那么(B) 21(C) 282xy的最大值為(D)4a1 + a2 + + a?=ax b在點(diǎn)(0, b)處的切線方程式(B) a(D)35(D) a1,b1,b1 0,則ABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC ,SA=3,那么直線 AB與平面SBC所成角的正弦值為(A)4(B)叵4(C)二4(D)(9)將標(biāo)號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中,若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號為1,2的卡片放入同一信封，則不同的放法共有(A) 12 種(B) 18種(C) 36 種(D) 54 種(10) ABC中，點(diǎn)D在邊AB

4、上，CD平分/ACB 若 CBa, CAb, a1,b2,則CD =(A) - a33b22U(B)二 a 二 b33(C) |a5(D)(11)與正方體ABCDA1B1clD1的三條棱AB、CC1、AiDi所在直線的距離相等的點(diǎn)(A)有且只有1個(gè)(B)有且只有2個(gè)(C)有且只有3個(gè)(D)有無數(shù)個(gè)2 x(12)已知橢圓C: = +ab2、3=1 (a b 0)的離心率為,過右焦點(diǎn)F且斜率為k (k>0)的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，若AF =3FB ,則k=(A) 1(B)也 (C)於(D) 2第II卷(非選擇題)二.填空題：本大題共 4小題，每小題5分，共20分。1(13)已知 是第二象

5、限的角，tan .，則cos .1x93(14)(X )9的展開式中X3的系數(shù)是 X(15)已知拋物線C: y2 2 Px(p 0)的準(zhǔn)線為l,過M(1,0)且斜率為J3的直線與l相交uuur uuur于點(diǎn)A,與C的一個(gè)交點(diǎn)為B,若，AM MB ,則p等于.(16)已知球。的半徑為4,圓M與圓N為該球的兩個(gè)小圓， AB為圓M與圓N的公共弦，AB=4 ,若OM=ON=3 ,則兩圓圓心的距離 MN=.三r.解答題：本大題共 6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(17)(本小題滿分10分)53 ABC 中，D 為邊 BC 上的一點(diǎn)，BD=33,SinB ，COS ADC .求

6、AD.135(18)(本小題滿分12分)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比例數(shù)列，且c , 1，a3 a4a564(一a4a3(I )求an的通項(xiàng)公式;(n)設(shè) bn (an - )2, an求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn .(19)(本小題滿分 12分)如圖，直三棱柱 ABC-AiBiCi中，AC = BC, AA 1=AB , D為BBi的中點(diǎn)，E為AB1上的一點(diǎn)，AE=3EB(I )證明：DE為異面直線 AB與CD的公垂線；(n)設(shè)異面直線 AB與CD的夾角為45o，求二面角A-ACi-Bi的大小.(20)(本小題滿分12分)如圖，由M到N的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為Ti, T2, T3, T4,電

7、流能通過Ti,T2,T3的概率都是 p,電流能通過T4的概率是0.9,電流能否通過各元件相互獨(dú)立 .已知Ti, T2,T3中至少有一個(gè)能通過電流的概率為0.999(I )求 P ；(n)求電流能在 M與N之間通過的概率.(2D (本小題,滿分i2分)已知函數(shù) f(x) x3 3ax2 3x i(i)設(shè)a 2,求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)設(shè)f (x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個(gè)極值點(diǎn)，求 a的取值范圍(22)(本小題滿分12分)22已知斜率為1的直線l與雙曲線C: 3 4 1(a 0,b 0)相交于B、D兩點(diǎn)，且BD a b的中點(diǎn)為M(1,3).(I )求C的離心率；(n)設(shè)C的右頂點(diǎn)為A,右焦

8、點(diǎn)為F, |DF?BF=17,證明：過 A B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切.2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)試題參考答案和評分參考、選擇題1. C2. A3. B4. D 5. C 6. C 7. A 8. D 9.10. B11. D12. B二、填空題13.2-514. 8415. 216. 35三、解答題(17)解：3,由 cos ADC 0知 B 52124由已知得 cosB ,sin ADC ，135從而sin BAD sin( ADC B)=sin ADCcosB cos ADC sin B4 12 3 25 13 5 1333.65由正弦定理得所以ADAD BD sin

9、B sin BAD BD?sinBsin BAD33 _1333=25.(18)解:65n 1(l)設(shè)公比為 q,則an aq .由已知有q 2工工ai &q2&q3aqa1q4 6412 aq13 aq14 aq化簡得2a q2 6a q2,64.又a12,a1所以an2n(n)由(i知bnanan2an1-2 an41因此Tn1 4 . 4n 12n1 44- 2n 14n 41n 2n 11 134(19)解法一:(I)連結(jié)A1B,記A1B與AB1的交點(diǎn)為F.因?yàn)槊鍭A正方形，故A1BAB1，且 AF=FBj 又 AE=3EB1，所以 FE=EB1又 D 為BB1的DE

10、/ BF , DEAB1 .1BB1 為中點(diǎn)，故作CG AB,G為垂足，由AC=BC知,G為AB中點(diǎn).又由底面ABC 面AA 1B1B ,得CGAA1B1B.連結(jié) DG 則 DG / AB 1,故 DE DG ,由三垂線定理，得DECD.所以DE為異面直線 AB1與CD的公垂線.(n)因?yàn)镈G/AB/故 CDG為異面直線AB1與CD的夾角,CDG=45 o.設(shè) AB=2 則 AB1 26，DG=V2, CG=V2 , AC= V3 .作BiHAiCi,H為垂足，因?yàn)榈酌?AiBiCi面AAGC,故BiH面AAgC ,又作HK ACi , K為垂足，連結(jié)BiK ,由三垂線定理，得BiK ACi,

11、因此 BiKH為二面角AACi B的平面角ABBiHAC ；2 AiBiAiCi223HCi,BiCi2 BiH 2ACi,7, HKAA HCi 2 由ACi3 7tanBiKHBiHHK,i4所以二面角 A ACiBi的大小為arctan Ji4解法二:(l)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 BA為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B xyz.設(shè) AB=2 ,則 A (2,0,0,)i 3，Bi(0,2,0) , D (0,i,0) , E(2,2,0),uuin又設(shè) C (i,0,c),則 DEi i uuuruuir-,-,0 ,BiA= 2,-2,0 ,DC= i,-i,c 2 2uuir

12、 uuuuuur uur于是 DEgB1A=0,DEgDC=0 .故 DE BIA , DE DC ,所以DE為異面直線 AB i與CD的公垂線.uuur uuir(n)因?yàn)?BIA, DC 等于異面直線 AB< CD的夾角，uuur uuir故BiAgDCuuurBiAuuuroDC cos45°,2 2c2 2-4uuir.解得c J2,故 AC (-I,2,V2)uur uuuu又 AA 尸BB1=(0,2,0),ullu uur uuur -所以 AC尸AC+AA 1=( 1,2,夜)，設(shè)平面AA1C1的法向量為 m(x,y,z),uuuuumr則 mgAC1 0, m

13、gAA, 0即 x 2y ,2z 0且 2 y令 x J2,則 z 1,y 0 ,故 m ( ,2,0,1)令平面ABiCi的法向量為n(p,q, r)uuuuuuur則 ngAC1 0,ngB1A 0,即p 2q J2r 0,2p 2q,.2,則 q ,2,r所以cos m, nmgnm n_1_15 .由于m,n 等于二面角 A1-AC 1-B1的平面角,所以二面角15A 1 -AC 1-B1 的大小為 arccos15(20)解:記A 1表木事件:電流能通過Ti,i1,2,3,4,A表示事件:丁1, 丁2, 丁3中至少有一個(gè)能通過電流,B表示事件:電流能在 M與N之間通過,(I) A A

14、1gA2gA3, A1, A2, A3相互獨(dú)立,P(A)P(AgA2gA5) P(A)P(A2)P(A3) (1 p)3,P(A) 1 P(A)=1 0.999 0.001 ,(1 p)30.001, p 0.9 ,(n) B人4+人4 603+人4貝1貝2gA3,P(B) P(A4+A4gA1gA3+A4gA1gA2gA3)P(A4)+ P(A4gAlgA3)+ P(A4gA02gA3)p(A4)+p(A；)p(Ai)p(A3)+p(A；)p(A；)p(A2)p(A3)=0. 9+0.1 x 0.9 X0.9+0.1 X0.1 x 0.9 X0.9=0.9891(21)解：(I)當(dāng) a=2

15、時(shí)，f(x)x36x23x1,f(x)3(x2 73)( x 273)當(dāng) x(,2 73)時(shí)f(x)0,f (x)在(,273)單調(diào)增加；當(dāng) x(2右,273)時(shí) f(x)0, f(x)在(2 J3,2 73)單調(diào)減少;當(dāng) x(2J3,/4f(x)0,f (x)在(2品)單調(diào)增加；綜上所述，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，2 J3)和(2 J3,),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(2 73,2 J3)(n) f (x) 3(x a)2 1 a2,當(dāng)1a20時(shí)，f (x)0,f(x)為增函數(shù)，故f(x)無極值點(diǎn)；當(dāng)1a20時(shí)，f (x)0有兩個(gè)根x1 a . a2 1,x2 a .a2 1由題意知，2 a

16、 Ja2 1 3,或2 a Ja2 1 355式無解，式的解為 5 a 5 , 43.- 一 5 5因此a的取值范圍是 -,5 .4 3(22)解：(I)由題設(shè)知，l的方程為：y x 2 ,代入C的方程，并化簡，得(b2 a2)x2 4a2x 4a2 a2b2 0,設(shè) B(x1,y1)、D(x2,y2),則 x1x24a222 24a a b722 , X1X2b ab2由M (1,3)為BD的中點(diǎn)知XiX22_oL i ,221b a5a2 4a 8.即b2 3a2,故 ca2 b2 2a c所以C的離心率e - 2 a(n)由知，C的方程為：3x2 y2 3a2,4 3a2A(a,0), F(2a,0), x1 x2 2,x1x2 02故不妨設(shè)x,a, x2 a ,|BF = &2a)2y2g2a)23x23a2a2x1,FD = . (X2 2