2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第2節(jié) 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題 教案

1、第二節(jié)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題最新考綱1.了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不會(huì)超過三次）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件結(jié)論函數(shù)yf（x）在區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)f（x）0f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增f（x）0f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減f（x）0f（x）在（a，b）內(nèi)是常數(shù)函數(shù)1.在某區(qū)間內(nèi)f（x）0（f（x）0）是函數(shù)f（x）在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件.2.可導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）上是增（減）函數(shù)的充要條件是對(duì)x（a，b），都有f（x）0（f（x）0）且f（x）在（a，b）上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.一

2、、思考辨析（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”）（1）若函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增，那么一定有f（x）0.（）（2）如果函數(shù)f（x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f（x）0，則f（x）在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.（）（3）在（a，b）內(nèi)f（x）0且f（x）0的根有有限個(gè)，則f（x）在（a，b）內(nèi)是減函數(shù).（）答案（1）×（2）（3）二、教材改編1.如圖是函數(shù)yf（x）的導(dǎo)函數(shù)yf（x）的圖象，則下面判斷正確的是（）a.在區(qū)間（3,1）上f（x）是增函數(shù)b.在區(qū)間（1,3）上f（x）是減函數(shù)c.在區(qū)間（4,5）上f（x）是增函數(shù)d.在區(qū)間（3,5）上f（x）是增函數(shù)c由圖象可知，當(dāng)x（4,5）

3、時(shí)，f（x）0，故f（x）在（4,5）上是增函數(shù).2.函數(shù)f（x）cos xx在（0，）上的單調(diào)性是（）a.先增后減 b.先減后增c.增函數(shù) d.減函數(shù)d因?yàn)閒（x）sin x10在（0，）上恒成立，所以f（x）在（0，）上是減函數(shù)，故選d.3.函數(shù)f（x）xln x的單調(diào)遞減區(qū)間為.（0,1函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤|x0，由f（x）10，得0x1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1.4.已知f（x）x3ax在1，）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最大值是.3f（x）3x2a0，即a3x2，又因?yàn)閤1， ），所以a3，即a的最大值是3.考點(diǎn)1不含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟（1）確定函數(shù)f

4、（x）的定義域.（2）求f（x）.（3）在定義域內(nèi)解不等式f（x）0，得單調(diào)遞增區(qū)間.（4）在定義域內(nèi)解不等式f（x）0，得單調(diào)遞減區(qū)間.1.函數(shù)f（x）1xsin x在（0,2）上是（）a.單調(diào)遞增b.單調(diào)遞減c.在（0，）上增，在（，2）上減d.在（0，）上減，在（，2）上增af（x）1cos x0在（0,2）上恒成立，所以在（0,2）上單調(diào)遞增.2.函數(shù)yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為（）a.（1,1b.（0,1c.1，） d.（0，）byx2ln x，x（0，），yx.由y0可解得0x1，yx2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1，故選b.3.已知定義在區(qū)間（，）上的函數(shù)f（x）xsin x

5、cos x，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是.和f（x）sin xxcos xsin xxcos x，令f（x）xcos x0，則其在區(qū)間（，）上的解集為和，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為和.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定要先確定函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò).如t2.考點(diǎn)2含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.已知函數(shù)f（x）x22aln x（a2）x，當(dāng)a0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.解函數(shù)的定義域?yàn)椋?，），f（x）xa2.當(dāng)a2，即a2時(shí)，f（x）0，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增.當(dāng)0a2，即2a0時(shí)，0xa或x2時(shí)，f（x）0；ax2時(shí)，f（x）0，f（

6、x）在（0，a），（2，）上單調(diào)遞增，在（a,2）上單調(diào)遞減.當(dāng)a2，即a2時(shí)，0x2或xa時(shí)，f（x）0；2xa時(shí)，f（x）0，f（x）在（0,2），（a，）上單調(diào)遞增，在（2，a）上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)a2時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增；當(dāng)2a0時(shí)，f（x）在（0，a），（2，）上單調(diào)遞增，在（a,2）上單調(diào)遞減；當(dāng)a2時(shí)，f（x）在（0,2），（a，）上單調(diào)遞增，在（2，a）上單調(diào)遞減.含參數(shù)的問題，應(yīng)就參數(shù)范圍討論導(dǎo)數(shù)大于（或小于）零的不等式的解，在劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)確定導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).已知函數(shù)f（x）ln（ex1）ax（a0），討論函數(shù)yf（x）的

7、單調(diào)區(qū)間.解f（x）a1a.當(dāng)a1時(shí)，f（x）0恒成立，當(dāng)a1，）時(shí)，函數(shù)yf（x）在r上單調(diào)遞減.當(dāng)0a1時(shí)，由f（x）0，得（1a）（ex1）1，即ex1，解得xln ，由f（x）0，得（1a）（ex1）1，即ex1，解得xln .當(dāng)a（0,1）時(shí)，函數(shù)yf（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)a1，）時(shí)，f（x）在r上單調(diào)遞減；當(dāng)a（0,1）時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.考點(diǎn)3已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般方法（1）利用集合間的包含關(guān)系處理：yf（x）在（a，b）上單調(diào)，則區(qū)間（a，b）是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.（2）f（x）為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x（a

8、，b）都有f（x）0且在（a，b）內(nèi)的任一非空子區(qū)間上，f（x）不恒為零，應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解.（3）函數(shù)在某個(gè)區(qū)間存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.已知函數(shù)f（x）ln x，g（x）ax22x（a0）.（1）若函數(shù)h（x）f（x）g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)h（x）f（x）g（x）在1,4上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.解（1）h（x）ln xax22x，x（0，），所以h（x）ax2，由于h（x）在（0，）上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以當(dāng)x（0，）時(shí)，ax20有解，即a有解.設(shè)g（x），所以只要ag（x）min即可.而g（x）21，所以g（x）min1

9、.所以a1且a0，即a的取值范圍是（1,0）（0，）.（2）由h（x）在1,4上單調(diào)遞減得，當(dāng)x1,4時(shí)，h（x）ax20恒成立，即a恒成立.所以ag（x）max，而g（x）21，因?yàn)閤1,4，所以，所以g（x）max（此時(shí)x4），所以a且a0，即a的取值范圍是（0，）.母題探究1.（變問法）若函數(shù)h（x）f（x）g（x）在1,4上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.解由h（x）在1,4上單調(diào)遞增得，當(dāng)x1,4時(shí)，h（x）0恒成立，所以當(dāng)x1,4時(shí)，a恒成立，又當(dāng)x1,4時(shí)，min1（此時(shí)x1），所以a1且a0，即a的取值范圍是（，1.2.（變問法）若函數(shù)h（x）f（x）g（x）在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)

10、間，求a的取值范圍.解h（x）在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則h（x）0在1,4上有解，所以當(dāng)x1,4時(shí)，a有解，又當(dāng)x1,4時(shí)，min1，所以a1，即a的取值范圍是（1,0）（0，）.3.（變條件）若函數(shù)h（x）f（x）g（x）在1,4上不單調(diào)，求a的取值范圍.解因?yàn)閔（x）在1,4上不單調(diào)，所以h（x）0在（1,4）上有解，即a有解，令m（x），x（1,4），則1m（x），所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.（1）f（x）在d上單調(diào)遞增（減），只要滿足f（x）0（0）在d上恒成立即可.如果能夠分離參數(shù)，則可分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為參數(shù)值與函數(shù)最值之間的關(guān)系.（2）二次函數(shù)在區(qū)間d上大于零恒成立，討論的標(biāo)準(zhǔn)是二次

11、函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間d的相對(duì)位置，一般分對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)進(jìn)行討論.已知函數(shù)f（x）2x2ln x在區(qū)間1,2上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.解f（x）4x，若函數(shù)f（x）在區(qū)間1,2上為單調(diào)函數(shù)，即在1,2上，f（x）4x0或f（x）4x0，即4x0或4x0在1,2上恒成立，即4x或4x.令h（x）4x，因?yàn)楹瘮?shù)h（x）在1,2上單調(diào)遞增，所以h（2）或h（1），即或3，解得a0或0a或a1.考點(diǎn)4利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式，常常要構(gòu)造新函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式.常見構(gòu)造的輔助函數(shù)形

12、式有：（1）f（x）g（x）f（x）f（x）g（x）；（2）xf（x）f（x）xf（x）；（3）xf（x）f（x）；（4）f（x）f（x）exf（x）；（5）f（x）f（x）.（1）已知函數(shù)f（x）是定義在r上的偶函數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f（x），若對(duì)任意x0都有2f（x）xf（x）0成立，則（）a.4f（2）9f（3） b.4f（2）9f（3）c.2f（3）3f（2） d.3f（3）2f（2）（2）設(shè)f（x）是定義在r上的奇函數(shù)，f（2）0，當(dāng)x0時(shí)，有0恒成立，則不等式x2f（x）0的解集是.（1）a（2）（，2）（0,2）（1）根據(jù)題意，令g（x）x2f（x），其導(dǎo)數(shù)g（x）2xf

13、（x）x2f（x），又對(duì)任意x0都有2f（x）xf（x）0成立，則當(dāng)x0時(shí)，有g(shù)（x）x（2f（x）xf（x）0恒成立，即函數(shù)g（x）在（0，）上為增函數(shù)，又由函數(shù)f（x）是定義在r上的偶函數(shù)，則f（x）f（x），則有g(shù)（x）（x）2f（x）x2f（x）g（x），即函數(shù)g（x）也為偶函數(shù)，則有g(shù)（2）g（2），且g（2）g（3），則有g(shù)（2）g（3），即有4f（2）9f（3）.故選a.（2）令（x），當(dāng)x0時(shí)，0，（x）在（0，）上為減函數(shù)，又（2）0，在（0，）上，當(dāng)且僅當(dāng)0x2時(shí)，（x）0，此時(shí)x2f（x）0.又f（x）為奇函數(shù)，h（x）x2f（x）也為奇函數(shù).故x2f（x）0的解集為（，2）（0,2）.如本例（1）已知條件“2f（x）xf（x）0”，需構(gòu)造函數(shù)g（x）x2f（x），求導(dǎo)后得x0時(shí)，g（x）0，即函數(shù)g（x）在（0，）上為增函數(shù)，從而問題得以解決.而本例（2）則需構(gòu)造函數(shù)（x）解決.1.定義在r上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）f（x）恒成立，若x1x2，則ex1f（x2）與ex2f（x1）的大小關(guān)系為（）a.ex1f（x2）ex2f（x1）b.ex1f（x2）ex2f（x1）c.ex1f（x2）ex2f（x1）d.ex1f（x2）與ex2f（x1）的大小關(guān)系不確定a設(shè)g（x），則g（x），由題意得g（x）0，所以g（x）在r上單調(diào)遞增，當(dāng)x1x2時(shí)，g（x