2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第11節(jié) 圓錐曲線中的證明、探索性問(wèn)題 教案

1、第十一節(jié)圓錐曲線中的證明、探索性問(wèn)題考點(diǎn)1圓錐曲線中的幾何證明問(wèn)題圓錐曲線中常見的證明問(wèn)題(1)位置關(guān)系方面的：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過(guò)定點(diǎn)等(2)數(shù)量關(guān)系方面的：如存在定值、恒成立、相等等在熟悉圓錐曲線的定義與性質(zhì)的前提下，一般采用直接法，通過(guò)相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算證明，但有時(shí)也會(huì)用反證法證明(2018·全國(guó)卷)設(shè)橢圓c：y21的右焦點(diǎn)為f，過(guò)f的直線l與c交于a，b兩點(diǎn)，點(diǎn)m的坐標(biāo)為(2，0)(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線am的方程；(2)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：omaomb.解(1)由已知得f(1，0)，l的方程為x1.由已知可得，點(diǎn)a的坐標(biāo)為或.又m(2，0)，

2、所以am的方程為yx或yx.(2)證明：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，omaomb0°.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，om為ab的垂直平分線，所以omaomb.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1，x2，直線ma，mb的斜率之和為kmakmb.由y1kx1k，y2kx2k得kmakmb.將yk(x1)代入y21得(2k21)x24k2x2k220.所以，x1x2，x1x2.則2kx1x23k(x1x2)4k0.從而kmakmb0，故ma，mb的傾斜角互補(bǔ)所以omaomb.綜上，omaomb. 解決本題的關(guān)鍵是把圖形中“角相等”關(guān)系轉(zhuǎn)化為相關(guān)

3、直線的斜率之和為零；類似的還有圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為在該點(diǎn)的圓周角為直角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為斜率之積為1；線段長(zhǎng)度的比問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段端點(diǎn)的縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)之比教師備選例題(2017·全國(guó)卷)已知拋物線c：y22x，過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線l交c于a，b兩點(diǎn)，圓m是以線段ab為直徑的圓(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)o在圓m上；(2)設(shè)圓m過(guò)點(diǎn)p(4，2)，求直線l與圓m的方程解(1)證明：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，l：xmy2.由可得y22my40，則y1y24.又x1，x2，故x1x24.因此oa的斜率與ob的斜率之積為·1，所以oaob.故坐標(biāo)原點(diǎn)o在圓m上(2)由(1)可得y1y22

4、m，x1x2m(y1y2)42m24，故圓心m的坐標(biāo)為(m22，m)，圓m的半徑r.由于圓m過(guò)點(diǎn)p(4，2)，因此·0，故(x14)(x24)(y12)(y22)0，即x1x24(x1x2)y1y22(y1y2)200.由(1)知y1y24，x1x24.所以2m2m10，解得m1或m.當(dāng)m1時(shí)，直線l的方程為xy20，圓心m的坐標(biāo)為(3，1)，圓m的半徑為，圓m的方程為(x3)2(y1)210.當(dāng)m時(shí)，直線l的方程為2xy40，圓心m的坐標(biāo)為，圓m的半徑為，圓m的方程為.1.已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)a(4，0)，且在y軸上截得的弦mn的長(zhǎng)為8.(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡c的方程；(2)已知點(diǎn)b(1

5、，0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡c交于不同的兩點(diǎn)p，q，若x軸是pbq的角平分線，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)解(1)設(shè)動(dòng)圓圓心為點(diǎn)p(x，y)，則由勾股定理得x242(x4)2y2，化簡(jiǎn)即得圓心的軌跡c的方程為y28x.(2)證明：法一：由題意可設(shè)直線l的方程為ykxb(k0)聯(lián)立得k2x22(kb4)xb20.由4(kb4)24k2b20，得kb2.設(shè)點(diǎn)p(x1，y1)，q(x2，y2)，則x1x2，x1x2.因?yàn)閤軸是pbq的角平分線，所以kpbkqb0，即kpbkqb0，所以kb0，即bk，所以l的方程為yk(x1)故直線l恒過(guò)定點(diǎn)(1，0)法二：設(shè)直線pb的方程為xmy1，它與拋物線c的另

6、一個(gè)交點(diǎn)為q，設(shè)點(diǎn)p(x1，y1)，q(x2，y2)，由條件可得，q與q關(guān)于x軸對(duì)稱，故q(x2，y2)聯(lián)立消去x得y28my80，其中64m2320，y1y28m，y1y28.所以kpq，因而直線pq的方程為yy1(xx1)又y1y28，y8x1，將pq的方程化簡(jiǎn)得(y1y2)y8(x1)，故直線l過(guò)定點(diǎn)(1，0)法三：由拋物線的對(duì)稱性可知，如果定點(diǎn)存在，則它一定在x軸上，所以設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)為(a，0)，直線pq的方程為xmya.聯(lián)立消去x，整理得y28my8a0，0.設(shè)點(diǎn)p(x1，y1)，q(x2，y2)，則由條件可知kpbkqb0，即kpbkqb0，所以8ma8m0.由m的任意性可知a1，所

7、以直線l恒過(guò)定點(diǎn)(1，0)法四：設(shè)p，q，因?yàn)閤軸是pbq的角平分線，所以kpbkqb0，整理得(y1y2)0.因?yàn)橹本€l不垂直于x軸，所以y1y20，可得y1y28.因?yàn)閗pq，所以直線pq的方程為yy1，即y(x1)故直線l恒過(guò)定點(diǎn)(1，0)2(2019·貴陽(yáng)模擬)已知橢圓1的右焦點(diǎn)為f，設(shè)直線l：x5與x軸的交點(diǎn)為e，過(guò)點(diǎn)f且斜率為k的直線l1與橢圓交于a，b兩點(diǎn)，m為線段ef的中點(diǎn)(1)若直線l1的傾斜角為，求abm的面積s的值；(2)過(guò)點(diǎn)b作直線bnl于點(diǎn)n，證明：a，m，n三點(diǎn)共線解(1)由題意，知f(1，0)，e(5，0)，m(3，0)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2

8、)直線l1的傾斜角為，k1.直線l1的方程為yx1，即xy1.代入橢圓方程，可得9y28y160.y1y2，y1y2.sabm·|fm|·|y1y2|.(2)證明：設(shè)直線l1的方程為yk(x1)代入橢圓方程，得(45k2)x210k2x5k2200，即x1x2，x1x2.直線bnl于點(diǎn)n，n(5，y2)kam，kmn.而y2(3x1)2(y1)k(x21)(3x1)2k(x11)kx1x23(x1x2)5k0，kamkmn.故a，m，n三點(diǎn)共線考點(diǎn)2圓錐曲線中的探索性問(wèn)題探索性問(wèn)題的求解方法已知橢圓c：9x2y2m2(m>0)，直線l不過(guò)原點(diǎn)o且不平行于坐標(biāo)軸，l與c

9、有兩個(gè)交點(diǎn)a，b，線段ab的中點(diǎn)為m.(1)證明：直線om的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段om與c交于點(diǎn)p，四邊形oapb能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由解(1)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)將ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xm，ymkxmb.于是直線om的斜率kom，即kom·k9.所以直線om的斜率與l的斜率的乘積為定值(2)四邊形oapb能為平行四邊形因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)，所以l不過(guò)原點(diǎn)且與c有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0，k3.由(1)

10、得om的方程為yx.設(shè)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為xp.由得x，即xp.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l的方程得b，因此xm.四邊形oapb為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段ab與線段op互相平分，即xp2xm.于是2×，解得k14，k24.因?yàn)閗i>0，ki3，i1，2，所以當(dāng)直線l的斜率為4或4時(shí)，四邊形oapb為平行四邊形本例題干信息中涉及幾何圖形：平行四邊形，把幾何關(guān)系用數(shù)量關(guān)系等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵幾種常見幾何條件的轉(zhuǎn)化，如下：1平行四邊形條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)(1)對(duì)邊平行斜率相等，或向量平行(2)對(duì)邊相等長(zhǎng)度相等，橫(縱)坐標(biāo)差相等(3)對(duì)角線互相平分中點(diǎn)重合2.圓條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)

11、實(shí)現(xiàn)(1)點(diǎn)在圓上點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為零(2)點(diǎn)在圓外點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為正數(shù)(3)點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)與直徑端點(diǎn)向量數(shù)量積為負(fù)數(shù)3.角條件的轉(zhuǎn)化幾何性質(zhì)代數(shù)實(shí)現(xiàn)(1)銳角，直角，鈍角角的余弦(向量數(shù)量積)的符號(hào)(2)倍角，半角，平分角角平分線性質(zhì)，定理(夾角、到角公式)(3)等角(相等或相似)比例線段或斜率教師備選例題已知橢圓c經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓e：y21有相同的焦點(diǎn)(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線l：ykxm與橢圓c有且只有一個(gè)公共點(diǎn)p，且與直線x4交于點(diǎn)q，問(wèn)：以線段pq為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)m？若存在，求出定點(diǎn)m的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)橢圓e的焦點(diǎn)為(±1，

12、0)，設(shè)橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，則解得所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)聯(lián)立消去y，得(34k2)x28kmx4m2120，所以64k2m24(34k2)(4m212)0，即m234k2.設(shè)p(xp，yp)，則xp，ypkxpmm，即p.假設(shè)存在定點(diǎn)m(s，t)滿足題意，因?yàn)閝(4，4km)，則，(4s，4kmt)，所以·(4s)(4kmt)(1s)t(s24s3t2)0恒成立，故解得所以存在點(diǎn)m(1，0)符合題意1.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，直線xy10與拋物線相交于a，b兩點(diǎn)，且|ab|.(1)求拋物線的方程；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)c，使abc為正三

13、角形？若存在，求出c點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)設(shè)所求拋物線的方程為y22px(p>0)，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由 消去y，得x22(1p)x10，判別式4(1p)248p4p2>0恒成立，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x22(1p)，x1x21.因?yàn)閨ab|，所以，所以121p2242p480，所以p或p(舍去)故拋物線的方程為y2x.(2)設(shè)弦ab的中點(diǎn)為d，則d.假設(shè)x軸上存在滿足條件的點(diǎn)c(x0，0)因?yàn)閍bc為正三角形，所以cdab，所以x0，所以c，所以|cd|.又|cd|ab|，與上式|cd|矛盾，所以x軸上不存在點(diǎn)c，使abc為正三角形2已知橢圓c1：1(ab0)，f為左焦點(diǎn)，a為上頂點(diǎn)，b(2，0)為右頂點(diǎn)，若|2|，拋物線c2的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為f.(1)求橢圓c1的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在過(guò)f點(diǎn)的直線，與橢圓c1和拋物線c2的交點(diǎn)分別是p，q和m，n，使得sopqsomn？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)依題意可知|2|，即a2，由b(2，0)為右頂點(diǎn)，得a2，解得b23，所以c1的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)依題意可知c2的方程為y