2022屆高三數(shù)學一輪復習（原卷版）第五章 5.4 平面向量的應用-教師版

1、 第1課時進門測1、判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)若，則a，b，c三點共線()(2)向量b在向量a方向上的投影是向量(×)(3)若a·b0，則a和b的夾角為銳角；若a·b0，則a和b的夾角為鈍角(×)(4)在abc中，若·<0，則abc為鈍角三角形(×)(5)已知平面直角坐標系內(nèi)有三個定點a(2，1)，b(0，10)，c(8,0)，若動點p滿足：t()，tr，則點p的軌跡方程是xy10.()2、已知abc的三個頂點的坐標分別為a(3,4)，b(5,2)，c(1，4)，則該三角形為()a銳角三角形

2、 b直角三角形c鈍角三角形 d等腰直角三角形答案b解析(2，2)，(4，8)，(6，6)，|2，|4，|6，|2|2|2，abc為直角三角形3、已知在abc中，|10，·16，d為邊bc的中點，則|等于()a6 b5c4 d3答案d解析在abc中，由余弦定理可得ab2ac22ab·ac·cos abc2，又·|·|·cos a16，所以ab2ac232100，ab2ac268.又d為邊bc的中點，所以2，兩邊平方得4|2683236，解得|3，故選d.4、若向量a，b滿足|a|2ab|2，則a在b方向上投影的最大值是()a. bc.

3、d答案b解析由題意得|2ab|24|a|24|a|b|cosa，b|b|2168|b|cosa，b|b|24，則cosa，b()2 ，當且僅當|b|2時等號成立，所以向量a在向量b方向上投影的最大值是|a|cosa，b.5、平面直角坐標系xoy中，若定點a(1,2)與動點p(x，y)滿足·4，則點p的軌跡方程是_答案x2y40解析由·4，得(x，y)·(1,2)4，即x2y4.作業(yè)檢查無第2課時階段訓練題型一向量在平面幾何中的應用命題點1向量和平面幾何知識的綜合例1(1)在平行四邊形abcd中，ad1，bad60°，e為cd的中點若·1，則ab

4、_.(2)已知在直角梯形abcd中，adbc，adc90°，ad2，bc1，p是腰dc上的動點，則|3|的最小值為_答案(1)(2)5解析(1)在平行四邊形abcd中，取ab的中點f，則，又，·()·()2··2|2|cos 60°|21×|21.|0，又|0，|.(2)以d為原點，分別以da，dc所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)dca，dpy.則d(0,0)，a(2,0)，c(0，a)，b(1，a)，p(0，y)，(2，y)，(1，ay)，則3(5,3a4y)，即|3|225(3a4y)2，由點p是腰d

5、c上的動點，知0ya.因此當ya時，|3|2取最小值25.故|3|的最小值為5.命題點2三角形的“四心”例2已知o是平面上的一定點，a，b，c是平面上不共線的三個動點，若動點p滿足()，(0，)，則點p的軌跡一定通過abc的()a內(nèi)心 b外心 c重心 d垂心答案c解析由原等式，得()，即()，根據(jù)平行四邊形法則，知是abc的中線ad(d為bc的中點)所對應向量的2倍，所以點p的軌跡必過abc的重心引申探究1在本例中，若動點p滿足，(0，)，則如何選擇？答案a解析由條件，得，即，而和分別表示平行于，的單位向量，故平分bac，即平分bac，所以點p的軌跡必過abc的內(nèi)心2在本例中，若動點p滿足()

6、，(0，)，則如何選擇？答案d解析由條件，得()，從而·()··0，所以 ，則動點p的軌跡一定通過abc的垂心命題點3平面向量數(shù)量積與余弦定理例3在abc中，ab8，ac6，ad垂直bc于點d，e，f分別為ab，ac的中點，若·6，則bc等于()a2 b10c2 d14答案a解析由題意，知deae，dfaf，·|·|·cosedf|·|·6，|，bc2.【同步練習】(1)在abc中，已知向量與滿足()·0，且·，則abc為()a等邊三角形b直角三角形c等腰非等邊三角形d三邊均不相等的三

7、角形(2)在abc中，(，)，(1，)，則abc的面積為_答案(1)a(2)1解析(1)，分別為平行于，的單位向量，由平行四邊形法則可知為bac的角平分線因為()·0，所以bac的角平分線垂直于bc，所以abac.又···cosbac，所以cosbac，又0<bac<，故bac，所以abc為等邊三角形(2)cosbac，sinbac，sabc|·|·sinbac1.題型二向量在解析幾何中的應用命題點1向量與解析幾何知識的綜合例4(1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且a，b，c三點共線，當k<0時，若

8、k為直線的斜率，則過點(2，1)的直線方程為_(2)設(shè)o為坐標原點，c為圓(x2)2y23的圓心，且圓上有一點m(x，y)滿足·0，則_.答案(1)2xy30(2)±解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)6×70，解得k2或k11.由k<0可知k2，則過點(2，1)且斜率為2的直線方程為y12(x2)，即2xy30.(2)·0，omcm，om是圓的切線，設(shè)om的方程為ykx，由，得k±，即±.命題點2軌跡問題例5已知平面上一定點c(2,0)和直線l：x8，p為該平面上一動點，作pql，垂足為q，且()

9、3;()0.(1)求動點p的軌跡方程；(2)若ef為圓n：x2(y1)21的任意一條直徑，求·的最值解(1)設(shè)p(x，y)，則q(8，y)由()·()0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化簡得1.點p在橢圓上，其方程為1.(2)，又0.·22x2(y1)2116(1)(y1)21y22y16(y3)219.2y2.當y3時，·的最大值為19，當y2時，·的最小值為124.綜上，·的最大值為19；·的最小值為124.【同步練習】(1)如圖所示，半圓的直徑ab6，o為圓心，c為半圓上不同于a，b的任意一點，若p為半徑

10、oc上的動點，則()·的最小值為_(2)如圖，已知f1，f2為雙曲線c：1(a>0，b>0)的左，右焦點，點p在第一象限，且滿足|a，()·0，線段pf2與雙曲線c交于點q，若5，則雙曲線c的漸近線方程為()ay±x by±xcy±x dy±x答案(1)(2)b解析(1)圓心o是直徑ab的中點，2，()·2·，與共線且方向相反，當大小相等時，·最小由條件知，當popc時，最小值為2××.(2)由()·0，可得|2c，則點p(x，y)(x>0，y>0)滿

11、足解得又5，解得q(c，)，又q在雙曲線c上，代入雙曲線方程化簡得80c4168a2c285a40，則(4c25a2)(20c217a2)0，又c>a，所以4c25a20,4(a2b2)5a20，則a2b，則雙曲線c的漸近線方程為y±x±x，故選b.題型四 函數(shù)與方程思想在向量中的應用例6 (1)設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量bxe1ye2，x，yr.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于_(2)在梯形abcd中，已知abcd，ab2cd，m，n分別為cd，bc的中點若，則_.解析(1)因為b0，所以bxe1ye2，x0或y0.當x0，y0時，0；當x0時，|b|2(

12、xe1ye2)2x2y2xy，不妨設(shè)t，則，當t時，t2t1取得最小值，此時取得最大值4，所以的最大值為2.綜上，的最大值為2.(2)由，得·()·()，得(1)()0，得(1)()()0，得(1)()0.又因為，不共線，所以由平面向量基本定理得解得所以.答案(1)2(2)第3課時階段重難點梳理1向量在平面幾何中的應用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題共線向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)aba·b0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(

13、x2，y2)，且a，b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義cos (為向量a，b的夾角)，其中a，b為非零向量長度問題數(shù)量積的定義|a|，其中a(x，y)，a為非零向量(2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟：平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題2平面向量在物理中的應用(1)由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識來解決(2)物理學中的功是一個標量，是力f與位移s的數(shù)量積，即wf·s|f|s|cos (為f與s的夾角)3向量與相關(guān)知識的交匯平面向量作為一種工具，常與函數(shù)(三角函數(shù))，解析幾何結(jié)合，常通過向量的線性運算與數(shù)量積，向量

14、的共線與垂直求解相關(guān)問題【知識拓展】1若g是abc的重心，則0.2若直線l的方程為axbyc0，則向量(a，b)與直線l垂直，向量(b，a)與直線l平行重點題型訓練題型五平面向量與三角函數(shù)命題點1向量與三角恒等變換的結(jié)合例1已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，0<<<.且ab(0,1)，則_，_.答案解析因為ab(0,1)，所以由此得cos cos()由0<<，得0<<，又0<<，故.代入sin sin 1，得sin sin .又>，所以，.命題點2向量與三角函數(shù)的結(jié)合例2已知向量a(sin x，)，b(cos x

15、，1)(1)當ab時，求tan 2x的值；(2)求函數(shù)f(x)(ab)·b在，0上的值域解(1)ab，sin x·(1)·cos x0，即sin xcos x0，tan x，tan 2x.(2)f(x)(ab)·ba·bb2sin xcos xcos2x1sin 2xcos 2x1sin(2x)x0，2x0，2x，sin(2x)，f(x)在，0上的值域為，命題點3向量與解三角形的結(jié)合例3已知函數(shù)f(x)a·b，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)，xr.(1)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在abc中，角a

16、，b，c所對的邊分別為a，b，c，f(a)1，a，且向量m(3，sin b)與n(2，sin c)共線，求邊長b與c的值解(1)f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos(2x)，令2k2x2k(kz)，解得kxk(kz)，函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k，k(kz)(2)f(a)12cos(2a)1，cos(2a)1，又<2a<，2a，即a.a，由余弦定理得a2b2c22bccos a(bc)23bc7.向量m(3，sin b)與n(2，sin c)共線，2sin b3sin c，由正弦定理得2b3c，由得b3，c2.【同步練習】(1)函數(shù)ysin(x)

17、在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，m，n分別是最高點、最低點，o為坐標原點，且·0，則函數(shù)f(x)的最小正周期是_(2)在abc中，內(nèi)角a，b，c的對邊分別是a，b，c，已知c6，sin asin csin(ab)，若1a6，則sin c的取值范圍是_答案(1)3(2)，1解析(1)由圖象可知，m(，1)，n(xn，1)，所以·(，1)·(xn，1)xn10，解得xn2，所以函數(shù)f(x)的最小正周期是2×3.(2)由sin asin csin(ab)，得sin asin csin(ab)sin(ab)sin(ab)2sin acos b，又sin a0，所以c

18、os b.當a6cos b31,6時，sin c1；當a1時，b2a2c22accos b1362×1×6×31，所以b，于是，得sin c；當a6時，abc為等邊三角形，則sin c，>，從而得到sin c的取值范圍是，1題型六向量與學科知識的交匯命題點1向量與不等式相結(jié)合例4(1)設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，(a1)e1e2，be12e2(a>0，b>0)，若a，b，c三點共線，則的最小值是()a2 b4 c6 d8(2)已知x，y滿足若(x,1)，(2，y)，且·的最大值是最小值的8倍，則實數(shù)a的值是_答案(1)b(2)

19、解析(1)因為a，b，c三點共線，所以(a1)×(2)1×b，所以2ab2.因為a>0，b>0，所以·()222 4(當且僅當，即a，b1時取等號)(2) 因為(x,1)，(2，y)，所以·2xy，令z2xy，依題意，不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示(含邊界)，觀察圖象可知，當直線z2xy過點c(1,1)時，zmax2×113，目標函數(shù)z2xy過點f(a，a)時，zmin2aa3a，所以38×3a，解得a.命題點2向量與數(shù)列結(jié)合例5設(shè)數(shù)列xn的各項都為正數(shù)且x11.如圖，abc所在平面上的點pn (nn*)均滿足p

20、nab與pnac的面積比為31，若(2xn1)xn1，則x5的值為()a31 b33c61 d63答案a解析在(2xn1)xn1中，令(2xn1)，作出圖形如圖所示，則(2xn1)xn1，所以xn1，xn1.又，所以，則，所以xn12xn1，xn112(xn1)，故xn1構(gòu)成以2為首項、2為公比的等比數(shù)列，所以x512×2432，則x531，故選a.【同步練習】(1)已知平面直角坐標系xoy上的區(qū)域d由不等式組給定若m(x，y)為d上的動點，點a的坐標為(，1)，則z·的最大值為()a3 b4c3 d4(2)角a，b，c為abc的三個內(nèi)角，向量m滿足|m|，且m(sin，c

21、os )，當角a最大時，動點p使得|，|，|成等差數(shù)列，則的最大值是()a. b. c. d.答案(1)b(2)a解析(1)由線性約束條件畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，目標函數(shù)z·xy，將其化為yxz，結(jié)合圖象可知，當直線zxy過點(，2)時，z最大，將點(，2)代入zxy，得z的最大值為4.(2)設(shè)bc2a，bc的中點為d.由題意得|m|2(sin )2(cos )21cos(bc)1cos(bc)cos bcos csin bsin c，則cos bcos csin bsin c，化簡得tan btan c，則tan atan(bc)(tan btan c)×2

22、，當且僅當tan btan c時，等號成立，所以當角a最大時，a，bc，則易得ad.因為|，|，|成等差數(shù)列，所以2|，則點p在以b，c為焦點，以2|4a為長軸的橢圓上，由圖(圖略)易得當點p為橢圓的與點a在直線bc的異側(cè)的頂點時，|取得最大值，此時|a，則|，所以，故選a.題型六和向量有關(guān)的創(chuàng)新題例6稱d(a，b)|ab|為兩個向量a，b間的“距離”若向量a，b滿足：|b|1；ab；對任意的tr，恒有d(a，tb)d(a，b)，則()aab bb(ab)ca(ab) d(ab)(ab)答案b解析由于d(a，b)|ab|，因此對任意的tr，恒有d(a，tb)d(a，b)，即|atb|ab|，即

23、(atb)2(ab)2，t22ta·b(2a·b1)0對任意的tr都成立，因此有(2a·b)24(2a·b1)0，即(a·b1)20，得a·b10，故a·bb2b·(ab)0，故b(ab)思維升華解答創(chuàng)新型問題，首先需要分析新定義(新運算)的特點，把新定義(新運算)所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，然后應用到具體的解題過程之中，這是破解新定義(新運算)信息題難點的關(guān)鍵所在【同步練習】定義一種向量運算“”：ab(a，b是任意的兩個向量)對于同一平面內(nèi)向量a，b，c，e，給出下列結(jié)論：abba；(ab)(a) b(r)；(ab

24、) cacbc；若e是單位向量，則|ae|a|1.以上結(jié)論一定正確的是_(填上所有正確結(jié)論的序號)答案解析當a，b共線時，ab|ab|ba|ba，當a，b不共線時，aba·bb·aba，故是正確的；當0，b0時，(ab)0，(a)b|0b|0，故是錯誤的；當ab與c共線時，存在a，b與c不共線，(ab)c|abc|，acbca·cb·c，顯然|abc|a·cb·c，故是錯誤的；當e與a不共線時，|ae|a·e|<|a|·|e|<|a|1，當e與a共線時，設(shè)aue，ur，|ae|ae|uee|u1|u|1

25、，故是正確的綜上，結(jié)論一定正確的是.例7 已知a，b，c，d是函數(shù)ysin(x)(0,0)一個周期內(nèi)的圖象上的四個點，如圖所示，a，b為y軸上的點，c為圖象上的最低點，e為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，b與d關(guān)于點e對稱，在x軸上的投影為，則，的值為()a2， b2，c， d，解析由e為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，作點c的對稱點m，作mfx軸，垂足為f，如圖b與d關(guān)于點e對稱，在x軸上的投影為，知of.又a，所以af，所以2.同時函數(shù)ysin(x)圖象可以看作是由ysin x的圖象向左平移得到，故可知，即.答案a思導總結(jié)一、向量與平面幾何綜合問題的解法(1)坐標法把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?，則有關(guān)

26、點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決(2)基向量法適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進行求解二、向量在解析幾何中的“兩個”作用(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題(2)工具作用：利用aba·b0(a，b為非零向量)，abab(b0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法三、向

27、量最值求向量模的最值或范圍問題往往將模表示成某一變量的函數(shù)，采用求函數(shù)值域的方法確定最值或范圍；在向量分解問題中，經(jīng)常需要用已知向量來表示其他向量，此時可通過三點共線建立向量之間的關(guān)系，比較基向量的系數(shù)建立方程組求解作業(yè)布置1在abc中，角a，b，c的對邊分別是a，b，c，且滿足2·a2(bc)2，acos bbcos a2csin c，b2，則abc的面積為()a. b. c3 d6答案c解析由已知得2bc·cos aa2(bc)2，又a2b2c22bc·cos a，cos a，0<a<，a.又sin acos bcos asin b2sin2c,0

28、<c<，可得c，bc，bc2，sabcbcsin a3.2在abc中，角a，b，c的對邊分別是a，b，c，若20a15b12c0，則abc最小角的正弦值等于()a. b. c. d.答案c解析20a15b12c0，20a()15b12c0，(20a15b)(12c20a)0，與不共線，abc最小角為角a，cos a，又0<a<，sin a，故選c.3. 函數(shù)ytan()(0<x<4)的圖象如圖所示，a為圖象與x軸的交點，過點a的直線l與函數(shù)的圖象交于c，b兩點則()·等于()a8 b4c4 d8答案d解析因為函數(shù)ytan()(0<x<4

29、)的圖象對稱中心是(4k2,0)(kz)，所以點a的坐標是(2,0)因為點a是對稱中心，所以點a是線段bc的中點，所以2，所以()·2·2()22×48.故選d.4設(shè)向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定義一種運算：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知向量m(，4)，n(，0)點p在ycos x的圖象上運動，點q在yf(x)的圖象上運動，且滿足mn(其中o為坐標原點)，則yf(x)在區(qū)間，上的最大值是()a4 b2 c2 d2答案a解析設(shè)(x0，y0)，(x，y)，由題意可得y0cos x0，(x，y)mn(，4)(x0，y0)(，0)(

30、x0,4y0)(，0)(x0，4y0)，即xx0，y4y0，即x02x，y0y，所以ycos(2x)，即y4cos(2x)因為點q在yf(x)的圖象上運動，所以f(x)4cos(2x)，當x時，02x，所以當2x0時，f(x)取得最大值4.5記maxx，yminx，y設(shè)a，b為平面向量，則()amin|ab|，|ab|min|a|，|b|bmin|ab|，|ab|min|a|，|b|cmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2dmax|ab|2，|ab|2|a|2|b|2答案d解析由于|ab|，|ab|與|a|，|b|的大小關(guān)系與夾角大小有關(guān)，故a，b錯當a，b夾角為銳角時，|ab|>

31、|ab|，此時，|ab|2>|a|2|b|2；當a，b夾角為鈍角時，|ab|<|ab|，此時，|ab|2>|a|2|b|2；當ab時，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故選d.6如圖，在扇形oab中，aob60°，c為弧ab上與a，b不重合的一個動點，且xy，若uxy(>0)存在最大值，則的取值范圍為()a(1,3) b(，3)c(，1) d(，2)答案d解析設(shè)boc，則aoc，因為xy，所以即解得xcos cos()sin ，ycos sin ，所以usin (cos sin )()sin cos sin()，其中tan ，因為0<<，要使u

32、存在最大值，只需滿足>，所以>，整理得>0，解得<<2，故選d.7. 若函數(shù)yasin(x)(a>0，>0，|<)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，m，n分別是這段圖象的最高點和最低點，且·0(o為坐標原點)，則a等于()a. b.c. d.答案b解析由題意知m(，a)，n(，a)，又·×a20，a.8已知在abc中，a，b，a·b<0，sabc，|a|3，|b|5，則bac_.答案150°解析·<0，bac為鈍角，又sabc|a|b|sinbac，sinbac，又0°bac<180°，又0°<bac<180°，bac150°.9已知在平面直角坐標系中，o(0,0)，m(1,1)，n(0,1)，q(2，3)，動點p(x，y)滿足不等式0