2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第二節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系 教案

1、 1 第二節(jié)第二節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系 核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向 1.結(jié)合斜率公式，判斷兩條直線平行或垂直，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)結(jié)合斜率公式，判斷兩條直線平行或垂直，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng) 2結(jié)合解方程組求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)結(jié)合解方程組求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng) 3結(jié)合距離問題，考查距離公式的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)結(jié)合距離問題，考查距離公式的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng) 理清主干知識(shí)理清主干知識(shí) 1兩條直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行：兩條直線

2、平行： 對(duì)于兩條不重合的直線對(duì)于兩條不重合的直線 l1，l2，若其斜率分別為，若其斜率分別為 k1，k2，則有，則有 l1l2k1k2. 當(dāng)直線當(dāng)直線 l1，l2不重合且斜率都不不重合且斜率都不存在時(shí)，存在時(shí)，l1l2. (2)兩條直線垂直：兩條直線垂直： 如果兩條直線如果兩條直線 l1，l2的斜率存在，設(shè)為的斜率存在，設(shè)為 k1，k2，則有，則有 l1l2k1 k21. 當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為 0 時(shí)，時(shí)，l1l2. 2兩條直線的交點(diǎn)的求法兩條直線的交點(diǎn)的求法 直線直線 l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc2

3、0，則，則 l1與與 l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組 a1xb1yc10，a2xb2yc20的解的解 3三種距離公式三種距離公式 類型類型 條件條件 距離公式距離公式 兩點(diǎn)間兩點(diǎn)間 的距離的距離 點(diǎn)點(diǎn) p1(x1，y1)，p2(x2，y2)之間之間的距離的距離 |p1p2| x2x1 2 y2y1 2 點(diǎn)到直線點(diǎn)到直線 的距離的距離 點(diǎn)點(diǎn) p0(x0，y0)到直線到直線 l：axbyc0 的距離的距離 d|ax0by0c|a2b2 兩平行直線兩平行直線 間的距離間的距離 兩條平行線兩條平行線 axbyc10與與 axbyc20 間的距離間的距離 d|c1c2|a2b2 澄清盲點(diǎn)誤

4、點(diǎn)澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn) 一、關(guān)鍵點(diǎn)練明一、關(guān)鍵點(diǎn)練明 1(由平行關(guān)系求直線方程由平行關(guān)系求直線方程)過點(diǎn)過點(diǎn)(1,0)且與直線且與直線 x2y20 平行的直線方程是平行的直線方程是( ) ax2y10 bx2y10 c2xy20 dx2y10 2 解析：解析：選選 a 設(shè)直線方程為設(shè)直線方程為 x2yc0，又經(jīng)過點(diǎn)，又經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，故，故 c1，所求直線方程為，所求直線方程為 x2y10. 2(點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離)已知點(diǎn)已知點(diǎn)(a,2)(a0)到直線到直線 l：xy30 的距離為的距離為 1，則，則 a 等于等于( ) a. 2 b2 2 c. 21 d. 21 解析解析：選選 c 由題

5、意知由題意知|a23|21，|a1| 2，又又 a0，a 21. 3(點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱)點(diǎn)點(diǎn)(a，b)關(guān)于直線關(guān)于直線 xy10 的對(duì)稱點(diǎn)是的對(duì)稱點(diǎn)是( ) a(a1，b1) b(b1，a1) c(a，b) d(b，a) 解析：解析：選選 b 設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，則，則 ybxa 1 1，xa2yb210， 解得解得 xb1，ya1. 4(兩直線的交點(diǎn)兩直線的交點(diǎn))過兩直線過兩直線 l1：x3y40 和和 l2：2xy50 的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為為_ 解析解析：過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為：過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為 x3y4(2xy5)0，代入原點(diǎn)坐

6、標(biāo)，求得，代入原點(diǎn)坐標(biāo)，求得 45，故所求直線方程為，故所求直線方程為 x3y445(2xy5)0，即，即 3x19y0. 答案答案：3x19y0 二、易錯(cuò)點(diǎn)練清二、易錯(cuò)點(diǎn)練清 1(忽視兩平行直線系數(shù)不一致忽視兩平行直線系數(shù)不一致)平行線平行線 3x4y90 和和 6x8y20 的距離是的距離是( ) a.85 b2 c.115 d.75 解析：解析：選選 b 依題意得，所求的距離等于依題意得，所求的距離等于|182|62822. 2(忽視兩直線重合忽視兩直線重合)若直線若直線 l1：xy10 與直線與直線 l2：xa2ya0 平行，則實(shí)數(shù)平行，則實(shí)數(shù) a_. 解析解析：因?yàn)橹本€：因?yàn)橹本€ l

7、1的斜率的斜率 k11，l1l2，所以，所以 a21，且，且 a1，所以，所以 a1. 答案答案：1 3(忽視平行關(guān)系的直線斜率不存在忽視平行關(guān)系的直線斜率不存在) 已知直線已知直線(m1)x(2m1)y3 與與(3m1)x(2m211m5)y5 平行，則實(shí)數(shù)平行，則實(shí)數(shù) m 的值為的值為_ 解析解析：當(dāng)：當(dāng) m12時(shí)，由直線平行可知時(shí)，由直線平行可知m13m12m1 2m211m5 35，解得，解得 m2 或或 m3，當(dāng)當(dāng) m12時(shí)，兩條直線都垂直于時(shí)，兩條直線都垂直于 x 軸也符合故軸也符合故 m12或或 m2，或，或 m3. 3 答案答案：12，2,3 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 兩直線的平行與垂直兩

8、直線的平行與垂直 典題例析典題例析 (1)(多選多選)直線直線 l1：xmy10，l2：(m2)x3y10，則下列說法正確的是，則下列說法正確的是( ) a若若 l1l2，則，則 m1 或或 m3 b若若 l1l2，則，則 m1 c若若 l1l2，則，則 m12 d若若 l1l2，則，則 m12 (2)已知直線已知直線 l1：mxy10 與直線與直線 l2：(m2)xmy20，則，則“m1”是是“l(fā)1l2”的的( ) a充分不必要條件充分不必要條件 b充要條件充要條件 c必要不充分條件必要不充分條件 d既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 (3)已知經(jīng)過點(diǎn)已知經(jīng)過點(diǎn) a(2,0)和和點(diǎn)點(diǎn)

9、b(1,3a)的直線的直線 l1與經(jīng)過點(diǎn)與經(jīng)過點(diǎn) p(0，1)和點(diǎn)和點(diǎn) q(a，2a)的直線的直線 l2互相垂直，則實(shí)數(shù)互相垂直，則實(shí)數(shù) a 的值為的值為_ 解析解析 (1)l1l2， m m2 3，m21， 解得解得 m1 或或 m3，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，a 正確正確 l1l2，(m2)13m0， 解得解得 m12，d 正確正確 (2)由由 l1l2，得，得 m(m2)m0，解得，解得 m0 或或 m1，所以，所以“m1”是是“l(fā)1l2”的充分不的充分不必要條件，故必要條件，故選選 a. (3)l1的斜率的斜率 k13a01 2 a. 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，l2的斜率的斜率 k22

10、a 1 a012aa. 因?yàn)橐驗(yàn)?l1l2，所以，所以 k1k21，即，即 a12aa1，解得，解得 a1. 當(dāng)當(dāng) a0 時(shí)，時(shí)，p(0，1)，q(0,0)，這時(shí)直線，這時(shí)直線 l2為為 y 軸，軸，a(2，0)，b(1,0)，直線，直線 l1為為 x 軸，軸，顯然顯然 l1l2. 綜上可知，實(shí)數(shù)綜上可知，實(shí)數(shù) a 的值為的值為 1 或或 0. 答案答案 (1)ad (2)a (3)1 或或 0 4 方法技巧方法技巧 由一般式方程確定由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法兩直線位置關(guān)系的方法 直線方程直線方程 l1：a1xb1yc10(a21b210)， l2：a2xb2yc20(a22b220

11、) l1與與 l2垂直垂直 的充要條件的充要條件 a1a2b1b20 l1與與 l2平行平行 的充分條件的充分條件 a1a2b1b2c1c2(a2b2c20) l1與與 l2相交相交 的充分條件的充分條件 a1a2b1b2(a2b20) l1與與 l2重合重合 的充分條件的充分條件 a1a2b1b2c1c2(a2b2c20) 提醒提醒 當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況同時(shí)還要注意率不存在的特殊情況同時(shí)還要注意x x，y y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件的系數(shù)不能同時(shí)

12、為零這一隱含條件 針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練 1 (2021 長(zhǎng)沙明德中學(xué)模擬長(zhǎng)沙明德中學(xué)模擬)“直線直線 l1： 2x(m1)y40 與直線與直線 l2： mx3y20 平行平行”是是“m2”的的( ) a充分不必要條件充分不必要條件 b必要不必要不充分條件充分條件 c充要條件充要條件 d既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析：解析：選選 b 若若 l1l2，則，則 m m1 6，4m2 2 ， 即即 m2m60，m1，解得解得 m3 或或 2. 因此因此“直線直線 l1：2x(m1)y40 與直線與直線 l2：mx3y20 平行平行”是是“m2”的必要不的必要不充分條件充分條件 2已知直線已

13、知直線 l1：mxy40 和直線和直線 l2：(m2)xny10(m0，n0)互互相垂直，則相垂直，則mn的的取值范圍為取值范圍為_ 解析：解析： 因?yàn)橐驗(yàn)?l1l2， 所以， 所以 m(m2)1(n)0， 得， 得 nm22m， 因?yàn)椋?因?yàn)?m0， 所以， 所以mnmm22m1m2，則，則 01m212，故，故mn的取值范圍為的取值范圍為 0，12. 5 答案：答案： 0，12 3若直線若直線 l1：x2my10 與與 l2：(3m1)xmy10 平行，則實(shí)數(shù)平行，則實(shí)數(shù) m 的值為的值為_ 解析解析：因?yàn)橹本€：因?yàn)橹本€ l1：x2my10 與與 l2：(3m1)xmy10 平行，則斜率相

14、等或者斜率平行，則斜率相等或者斜率不存在，不存在，12m3m1m或者或者 m0，所以，所以 m16或或 0. 答案答案：0 或或16 考點(diǎn)二考點(diǎn)二 兩直線的交點(diǎn)與距離問題兩直線的交點(diǎn)與距離問題 典例典例 (1)經(jīng)過兩條直線經(jīng)過兩條直線 l1：xy40 和和 l2：xy20 的交點(diǎn)，且與直線的交點(diǎn)，且與直線 2xy10垂直的直線方程為垂直的直線方程為_. (2)直線直線 l 過點(diǎn)過點(diǎn) p(1,2)且到點(diǎn)且到點(diǎn) a(2,3)和點(diǎn)和點(diǎn) b(4,5)的距離相等，則直線的距離相等，則直線 l 的方程為的方程為_ 解析解析 (1)由由 xy40，xy20，得得 x1，y3，l1與與 l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為的交點(diǎn)

15、坐標(biāo)為(1,3)設(shè)與直線設(shè)與直線 2xy10 垂直的直線方程為垂直的直線方程為 x2yc0，則，則 123c0，c7.所求直線方程為所求直線方程為 x2y70. (2)法一法一：當(dāng)直線：當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，的斜率存在時(shí)， 設(shè)直線設(shè)直線 l 的方程為的方程為 y2k(x1)，即，即 kxyk20. 由題意知由題意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21， 即即|3k1|3k3|，k13， 直線直線 l 的方程為的方程為 y213(x1)，即，即 x3y50. 當(dāng)直線當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，直線的斜率不存在時(shí)，直線 l 的方程為的方程為 x1，也符合題意，也符合題意 法二法二：當(dāng)：當(dāng)

16、abl 時(shí)，時(shí)，有有 kkab13， 直線直線 l 的方程為的方程為 y213(x1)，即，即 x3y50. 當(dāng)當(dāng) l 過過 ab 中點(diǎn)時(shí)，中點(diǎn)時(shí)，ab 的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為(1,4)， 直線直線 l 的方程為的方程為 x1. 故所求直線故所求直線 l 的方程為的方程為 x3y50 或或 x1. 答案答案 (1)x2y70 (2)x3y50 或或 x1 方法技巧方法技巧 1求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法 求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直求過兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直 6 線方

17、程線方程 2利用距離公式解題的注意點(diǎn)利用距離公式解題的注意點(diǎn) (1)點(diǎn)點(diǎn) p(x0，y0)到到直線直線 xa 的距離的距離 d|x0a|，到直線，到直線 yb 的距離的距離 d|y0b|； (2)應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中應(yīng)用兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中 x，y 的系數(shù)分別化為相等的系數(shù)分別化為相等 針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練 1(2020 全國(guó)卷全國(guó)卷)點(diǎn)點(diǎn)(0，1)到直線到直線 yk(x1)距離的最大值為距離的最大值為( ) a1 b. 2 c. 3 d2 解析：解析： 選選 b 法一：法一： 由點(diǎn)到直線的距離公式知點(diǎn)由點(diǎn)到直線的距離公式知點(diǎn)(0， ， 1)到直線到直線 yk(

18、x1)的距離的距離 d|k1|k21k22k1k2112kk21.當(dāng)當(dāng)k0時(shí)，時(shí)， d1； 當(dāng)； 當(dāng)k0時(shí)，時(shí)， d12kk2112k1k，要使要使 d 最大，需最大，需 k0 且且 k1k最小，最小，當(dāng)當(dāng) k1 時(shí)，時(shí)，dmax 2，故選，故選 b. 法二：法二：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) a(0，1)，直線，直線 l：yk(x1)，由，由 l 過定點(diǎn)過定點(diǎn) b(1,0)，知當(dāng)，知當(dāng) abl 時(shí)，距離最時(shí)，距離最大，最大值為大，最大值為 2. 2(2021 煙臺(tái)調(diào)研煙臺(tái)調(diào)研)若直線若直線 l 與兩直線與兩直線 y1，xy70 分別交分別交于于 m，n 兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)，且 mn 的中的中點(diǎn)是點(diǎn)是 p(1，1)，則

19、直線，則直線 l 的斜率是的斜率是( ) a23 b.23 c32 d.32 解析：解析：選選 a 由題意，設(shè)直線由題意，設(shè)直線 l 的方程為的方程為 yk(x1)1， 分別與分別與 y1，xy70 聯(lián)立，解得聯(lián)立，解得 m 2k1，1 ，n k6k1，6k1k1，又因?yàn)?，又因?yàn)?mn 的中的中點(diǎn)是點(diǎn)是 p(1，1)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得 2k1k6k121，16k1k121，解得解得 k23. 3已知已知 l1，l2是分別經(jīng)過是分別經(jīng)過 a(1,1)，b(0，1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng) l1，l2間的距離最大間的距離最大時(shí)，直線時(shí)，直線 l1的方程是的方程

20、是_ 解析解析：當(dāng)直線：當(dāng)直線 ab 與與 l1，l2垂直時(shí)，垂直時(shí)，l1，l2間的距離最大因?yàn)殚g的距離最大因?yàn)?a(1,1)，b(0，1)，所，所以以 kab11012，所以兩平行直線的斜率，所以兩平行直線的斜率 k12，所以直線，所以直線 l1的方程是的方程是 y112(x1)，即，即 x 7 2y30. 答案答案：x2y30 考點(diǎn)三考點(diǎn)三 兩直線的對(duì)稱問題兩直線的對(duì)稱問題 考法考法(一一) 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱 例例 1 過點(diǎn)過點(diǎn) p(0,1)作直線作直線 l 使它被直線使它被直線 l1：2xy80 和和 l2：x3y100 截得的線段被截得的線段被點(diǎn)點(diǎn) p 平分，則直線平分，則

21、直線 l 的方程為的方程為_ 解析解析 設(shè)直線設(shè)直線 l1與直線與直線 l 的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為 a(a,82a)， 則由題意知，則由題意知，點(diǎn)點(diǎn) a 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) p 的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) b(a,2a6)在在 l2上，把上，把 b 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線點(diǎn)坐標(biāo)代入直線 l2的方程的方程得得a3(2a6)100， 解得解得 a4，即點(diǎn)，即點(diǎn) a(4,0)在直線在直線 l 上，上， 所以由兩點(diǎn)式得直線所以由兩點(diǎn)式得直線 l 的方程為的方程為 x4y40. 答案答案 x4y40 方法技巧方法技巧 若點(diǎn)若點(diǎn) m(x1，y1)和點(diǎn)和點(diǎn) n(x，y)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) p(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)

22、公式得 x2ax1，y2by1，進(jìn)而進(jìn)而求解求解 考法考法(二二) 點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱 例例 2 已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)已知入射光線經(jīng)過點(diǎn) m(3,4)， 被直線， 被直線 l： xy30 反射， 反射光線經(jīng)過點(diǎn)反射， 反射光線經(jīng)過點(diǎn) n(2,6)，則反射光線所在直線的方程為則反射光線所在直線的方程為_ 解析解析 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) m(3,4)關(guān)于直線關(guān)于直線 l：xy30 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 m(a，b)，則反射光線所在直，則反射光線所在直線過點(diǎn)線過點(diǎn) m， 所以所以 b4a 3 11，3a2b4230， 解得解得 a1，b0.即即 m(1,0) 又反又反射光線經(jīng)過點(diǎn)射光線經(jīng)過點(diǎn) n(2,6

23、)， 所以所求直線的方程為所以所求直線的方程為y060 x121， 即即 6xy60. 答案答案 6xy60 方法技巧方法技巧 1若點(diǎn)若點(diǎn) a(a，b)與點(diǎn)與點(diǎn) b(m，n)關(guān)于直線關(guān)于直線 axbyc0(a0，b0)對(duì)稱，則直線對(duì)稱，則直線 axby 8 c0 垂直平分線段垂直平分線段 ab，即有，即有 nbma ab1，aam2bbn2c0. 2幾個(gè)常用結(jié)論幾個(gè)常用結(jié)論 (1)點(diǎn)點(diǎn)(x，y)關(guān)于關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)為軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y)，關(guān)于，關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)為軸的對(duì)稱點(diǎn)為(x，y) (2)點(diǎn)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線關(guān)于直線 yx 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x)，關(guān)于直線，關(guān)于直線 yx

24、 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為(y，x) (3)點(diǎn)點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線關(guān)于直線 xa 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為(2ax，y)，關(guān)于直線，關(guān)于直線 yb 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為(x,2by) 考法考法(三三) 線關(guān)于線對(duì)稱線關(guān)于線對(duì)稱 例例 3 直線直線 l1：2xy40 關(guān)于直線關(guān)于直線 l：xy20 對(duì)稱的直線對(duì)稱的直線 l2的方程為的方程為_ 解析解析 法一法一：解方程組：解方程組 2xy40，xy20，得直線得直線 l1與直線與直線 l 的交點(diǎn)的交點(diǎn) a 23，83. 在直線在直線 l1上取一點(diǎn)上取一點(diǎn) b(2,0)， 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) b 關(guān)于直線關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 c(x，y)， 則則 x

25、22y220，yx21，解得解得 x2，y4，即即 c(2,4) 又直線又直線 l2過過 a 23，83和和 c(2,4)兩點(diǎn)，兩點(diǎn)， 故由兩點(diǎn)式得直線故由兩點(diǎn)式得直線 l2的方程為的方程為y4834x2232， 即即 x2y60. 法二法二：設(shè)：設(shè) m(x0，y0)是直線是直線 l1上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 n(x，y)， 則線段則線段 mn 的中點(diǎn)坐標(biāo)為的中點(diǎn)坐標(biāo)為 xx02，yy02，直線，直線 mn 的斜率為的斜率為yy0 xx0. 由題意，得由題意，得 xx02yy0220，yy0 xx01， 解得解得 x0y2，y0 x2.因?yàn)橐驗(yàn)?m

26、(x0，y0)在直線在直線 l1上，上， 所以所以 2x0y040，即，即 2(y2)(x2)40， 所以直線所以直線 l2的方程為的方程為 x2y60. 答案答案 x2y60 9 方法技巧方法技巧 求直線求直線 l1關(guān)于直線關(guān)于直線 l 對(duì)稱的直線對(duì)稱的直線 l2，有兩種處理方法：，有兩種處理方法： (1)在直線在直線 l1上取兩點(diǎn)上取兩點(diǎn)(一般取特殊點(diǎn)一般取特殊點(diǎn))， 利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直， 利用求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的方法求出這兩點(diǎn)關(guān)于直線線 l 的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線的對(duì)稱點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式寫出直線 l2的方程的方程 (2)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) p(x，y)是直線是直線

27、l2上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線上任意一點(diǎn)，其關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 p1(x1，y1)(p1在直線在直線 l1上上)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱建立方程組，用根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱建立方程組，用 x，y 表示出表示出 x1，y1，再代入直線，再代入直線 l1的方程，即得直線的方程，即得直線l2的方程的方程 考法考法(四四) 線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 例例 4 已知直線已知直線 l：2x3y10，點(diǎn)，點(diǎn) a(1，2)，則直線，則直線 l 關(guān)于點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) a 對(duì)稱的直線對(duì)稱的直線 m 的方的方程為程為_ 解析解析 在直線在直線 l 上取兩點(diǎn)上取兩點(diǎn) b(1,1)，c(10,7)， b， c 兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)兩

28、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn) a 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 b(3， ， 5)，c(12，11)， 所以直線所以直線 m 的方程為的方程為y11511x12312， 即即 2x3y90. 答案答案 2x3y90 方法技巧方法技巧 直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來(lái)解決，也可考慮利用兩條對(duì)稱直線是相直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來(lái)解決，也可考慮利用兩條對(duì)稱直線是相互平行的，并利用對(duì)稱中心到兩條直線的距離相等求解互平行的，并利用對(duì)稱中心到兩條直線的距離相等求解 創(chuàng)新思維角度創(chuàng)新思維角度融會(huì)貫通學(xué)妙法融會(huì)貫通學(xué)妙法 活用直線系方程解決求直線問題活用直線系方程解決求直線問題 類型類型(一一) 過直線交點(diǎn)

29、的直線系方程過直線交點(diǎn)的直線系方程 例例 1 已知兩條直線已知兩條直線 l1：x2y40 和和 l2：xy20 的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為 p，求過點(diǎn)，求過點(diǎn) p 且與直線且與直線l3：3x4y50 垂直的直線垂直的直線 l 的方程的方程 解解 法一法一：解方程組：解方程組 x2y40，xy20，得得 x0，y2. 故故 p 點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，因?yàn)橹本€，因?yàn)橹本€ l 與與 3x4y50 垂直，垂直， 所以直線所以直線 l 的方程為的方程為 y243x， 即即 4x3y60. 10 法二法二：設(shè)所求直線：設(shè)所求直線 l 的方程為：的方程為：x2y4(xy2)0，即，即(1)x(2)y420，因?yàn)?/p>

30、直線因?yàn)橹本€ l 與與 l3垂直，所以垂直，所以 3(1)4(2)0，所以，所以 11，所以直線，所以直線 l 的方程為的方程為 4x3y60. 名師微點(diǎn)名師微點(diǎn) 解決本例的方法一般有：一是通過聯(lián)立方程組求交點(diǎn)，再結(jié)合兩直線垂直這一條件，求直解決本例的方法一般有：一是通過聯(lián)立方程組求交點(diǎn)，再結(jié)合兩直線垂直這一條件，求直線線 l 的方程；二是利用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程求解，即過兩條已知直線的方程；二是利用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程求解，即過兩條已知直線 l1：a1xb1yc10 和和 l2： a2xb2yc20 的交點(diǎn)的直線系方程是的交點(diǎn)的直線系方程是 a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r

31、，但不包括，但不包括 l2)，恰當(dāng)使用直線系方程可簡(jiǎn)化運(yùn)算，恰當(dāng)使用直線系方程可簡(jiǎn)化運(yùn)算 類型類型(二二) 平行直線系方程平行直線系方程 例例 2 過點(diǎn)過點(diǎn) a(1，4)且與直線且與直線 2x3y50 平行的直線方程為平行的直線方程為_ 解析解析 設(shè)所求直線方程為設(shè)所求直線方程為 2x3yc0(c5)，由題意知，由題意知，213(4)c0，所以，所以 c10，故所求直線方程為，故所求直線方程為 2x3y100. 答案答案 2x3y100 名師微名師微點(diǎn)點(diǎn) 當(dāng)所求直線與已知直線當(dāng)所求直線與已知直線 axbyc0 平行時(shí)，可設(shè)所求直線為平行時(shí)，可設(shè)所求直線為 axby0( 為參數(shù)，為參數(shù)，且且 c

32、)，再結(jié)合其他條件求出，再結(jié)合其他條件求出 ，即得所求直線方程，即得所求直線方程 類型類型(三三) 垂直直線系方程垂直直線系方程 例例 3 經(jīng)過經(jīng)過 a(2,1)，且與直線，且與直線 2xy100 垂直的直線垂直的直線 l 的方程為的方程為_ 解析解析 因?yàn)樗笾本€與直線因?yàn)樗笾本€與直線 2xy100 垂直， 所以設(shè)該直線方程為垂直， 所以設(shè)該直線方程為 x2yc0，又直，又直線過點(diǎn)線過點(diǎn) a(2,1)， 所以有所以有 221c0，解得，解得 c0， 即所求直線方程為即所求直線方程為 x2y0. 答案答案 x2y0 名師微點(diǎn)名師微點(diǎn) 當(dāng)所求直線與已知直線當(dāng)所求直線與已知直線 axbyc0 垂

33、直時(shí)，可設(shè)所求直線為垂直時(shí)，可設(shè)所求直線為 bxay0( 為參數(shù)為參數(shù))，再結(jié)合其他條件求出再結(jié)合其他條件求出 ，即得所求直線方程，即得所求直線方程 類型類型(四四) 直線系方程的應(yīng)用直線系方程的應(yīng)用 例例 4 求過直線求過直線 2x7y40 與與 7x21y10 的交點(diǎn)，且和的交點(diǎn)，且和 a(3,1)，b(5,7)等距離的等距離的直線方程直線方程 解解 設(shè)所求直線方程為設(shè)所求直線方程為 2x7y4(7x21y1)0， 即即(27)x(721)y(4)0， 由點(diǎn)由點(diǎn) a(3,1)，b(5,7)到所求直線等距離，可得到所求直線等距離，可得 | 27 3 721 14| 27 2 721 2 11

34、 | 27 5 721 74| 27 2 721 2， 整理可得整理可得|433|11355|， 解得解得 2935或或 13， 所以所求的直線方程為所以所求的直線方程為 21x28y130 或或 x1. 課時(shí)跟蹤檢測(cè)課時(shí)跟蹤檢測(cè) 一、基礎(chǔ)練一、基礎(chǔ)練練手感熟練度練手感熟練度 1若直線若直線 ax2y10 與直線與直線 xy20 互相垂直，那么互相垂直，那么 a 的值等的值等于于( ) a1 b13 c23 d2 解析：解析：選選 d 由由 a1210 得得 a2.故選故選 d. 2設(shè)設(shè) ar，則，則“a1”是是“直線直線 l1：ax2y10 與直線與直線 l2：x(a1)y40 平行平行”的

35、的( ) a充分不必要條件充分不必要條件 b必要不充分條件必要不充分條件 c充要條件充要條件 d既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 解析：解析：選選 a 若兩直線平行，則若兩直線平行，則 a(a1)2，即，即 a2a20，a1 或或2，故，故 a1 是兩是兩直線平行的充分不必要條件直線平行的充分不必要條件 3已知已知 a(4，3)關(guān)于關(guān)于直線直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 b(2,5)，則直線，則直線 l 的方程是的方程是( ) a3x4y70 b3x4y10 c4x3y70 d3x4y10 解析：解析： 選選 b 由題意得由題意得 ab 的中點(diǎn)的中點(diǎn) c 為為(1,1)， 又， 又 a

36、， b 兩點(diǎn)連線的斜率為兩點(diǎn)連線的斜率為 kab532443，所以直線所以直線 l 的斜率為的斜率為34，因此直線，因此直線 l 的方程為的方程為 y134(x1)，即，即 3x4y10.故選故選 b. 4直線直線 3x4y50 關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱的直線的方程是軸對(duì)稱的直線的方程是( ) a3x4y50 b3x4y50 c3x4y50 d3x4y50 解析：解析：選選 a 在所求直線上任取一點(diǎn)在所求直線上任取一點(diǎn) p(x，y)，則點(diǎn)，則點(diǎn) p 關(guān)于關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)軸的對(duì)稱點(diǎn) p(x，y)在已在已知的直線知的直線 3x4y50 上，所以上，所以 3x4(y)50，即，即 3x4y50，故選

37、，故選 a. 5已知點(diǎn)已知點(diǎn) p(4，a)到直線到直線 4x3y10 的距離不大于的距離不大于 3，則，則 a 的取值范圍是的取值范圍是( ) a10,10 b10,5 c5,5 d0,10 解析：解析：選選 d 由題意得，點(diǎn)由題意得，點(diǎn) p 到直線的距離為到直線的距離為 12 |443a1|5|153a|5. 又又|153a|53，即，即|153a|15， 解得解得 0a10，所以，所以 a 的取值范圍是的取值范圍是0,10 6經(jīng)過直線經(jīng)過直線 3x2y10 和直線和直線 x3y40 的交點(diǎn)，且平行于直線的交點(diǎn)，且平行于直線 xy40 的直線的直線方程為方程為_ 解析解析：過兩直線交點(diǎn)的直線

38、方程可設(shè)為：過兩直線交點(diǎn)的直線方程可設(shè)為 3x2y1(x3y4)0，即，即(3)x(32)y410，它與直線，它與直線 xy40 平行，所以平行，所以 3320，14， 故故所求直線為所求直線為 xy0. 答案答案：xy0 二、綜合練二、綜合練練思維敏銳度練思維敏銳度 1直線直線 2xym0 和和 x2yn0 的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是( ) a平行平行 b垂直垂直 c相交但不垂直相交但不垂直 d不能確定不能確定 解析：解析： 選選c 直線直線2xym0的斜率的斜率k12， 直線， 直線x2yn0的斜率的斜率k212， 則， 則k1k2，且且 k1k21.故選故選 c. 2三條直線三條直線 l1

39、：xy0，l2：xy20，l3：5xky150 構(gòu)成一個(gè)三角形，則構(gòu)成一個(gè)三角形，則 k 的取的取值范圍是值范圍是( ) akr bkr 且且 k 1，k0 ckr 且且 k 5，k10 dkr 且且 k 5，k1 解析：解析：選選 c 由由 l1l3得得 k5；由；由 l2l3得得 k5；由；由 xy0 與與 xy20 得得 x1，y1，若，若(1,1)在在 l3上，則上，則 k10.故若故若 l1，l2，l3能構(gòu)成一個(gè)三角形，則能構(gòu)成一個(gè)三角形，則 k 5 且且 k10.故選故選 c. 3(多選多選)已知直線已知直線 l1：2x3y10 和和 l2：4x6y90，若直線，若直線 l 到直線

40、到直線 l1的距離與到直的距離與到直線線 l2的距離之比為的距離之比為 12，則直線，則直線 l 的方程為的方程為( ) a2x3y80 b4x6y50 c6x9y100 d12x18y130 解析：解析：選選 bd 設(shè)直線設(shè)直線 l：4x6ym0，m2 且且 m9， 直線直線 l 到直線到直線 l1和和 l2的距離分別為的距離分別為 d1，d2，由題知：，由題知：d1|m2|1636，d2|m9|1636.因?yàn)橐驗(yàn)閐1d212， 13 所以所以2|m2|1636|m9|1636，即，即 2|m2|m9|，解得，解得 m5 或或 m133，即直線，即直線 l 為為 4x6y50 或或 12x1

41、8y130. 4若直線若直線 l1：x3ym0(m0)與直線與直線 l2：2x6y30 的距離為的距離為 10，則，則 m( ) a7 b.172 c14 d17 解析：解析：選選 b 直線直線 l1：x3ym0(m0)， 即即 2x6y2m0， 因?yàn)樗c直線因?yàn)樗c直線 l2：2x6y30 的距離為的距離為 10， 所以所以|2m3|436 10，求得，求得 m172. 5直線直線 axy3a10 恒過定點(diǎn)恒過定點(diǎn) m，則直線，則直線 2x3y60 關(guān)于關(guān)于 m 點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為( ) a2x3y120 b2x3y120 c2x3y120 d2x3y120 解析：解析：選

42、選 d 由由 axy3a10，可得，可得 a(x3)(y1)0，令，令 x30，y10，可得可得 x3，y1，所以，所以 m(3,1)，m 不在直線不在直線 2x3y60 上，設(shè)直線上，設(shè)直線 2x3y60 關(guān)于關(guān)于 m 點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為的直線方程為 2x3yc0(c6)， 則， 則|636|49|63c|49， 解得， 解得 c12 或或 c6(舍舍去去)，所以所求方程為，所以所求方程為 2x3y120，故選，故選 d. 6兩條平行線兩條平行線 l1，l2分別過點(diǎn)分別過點(diǎn) p(1,2)，q(2，3)，它們分別繞，它們分別繞 p，q 旋轉(zhuǎn)，但始終保持旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則平行，則 l

43、1，l2之間距離的取值范圍是之間距離的取值范圍是( ) a(5，) b(0,5 c( 34，) d(0， 34 解析：解析：選選 d 當(dāng)當(dāng) pq 與平行線與平行線 l1，l2垂直時(shí)，垂直時(shí)，|pq|為平行線為平行線 l1，l2間的距間的距離的最大值，為離的最大值，為 12 22 3 2 34，l1，l2之間距離的取值范圍是之間距離的取值范圍是(0， 34 7將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)與點(diǎn)(m，n)重合，則重合，則 mn等于等于( ) a.345 b.365 c.283 d.323 解析：解析：選選 a 由題

44、意可知，紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線連線的中垂線，即直線 y2x3，它也它也是點(diǎn)是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，連線的中垂線， 14 于是于是 3n227m23，n3m712，解得解得 m35，n315，故故 mn345. 8已知直線已知直線 y2x 是是abc 中中c 的平分線所在的直線，若點(diǎn)的平分線所在的直線，若點(diǎn) a，b 的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是 (4,2)，(3,1)，則點(diǎn)，則點(diǎn) c 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ) a(2,4) b(2，4) c(2,4) d(2，4) 解析：解析：選選 c 設(shè)設(shè) a(4,2)關(guān)于直線關(guān)

45、于直線 y2x 的對(duì)稱點(diǎn)為的對(duì)稱點(diǎn)為 a(x，y) 則則 y2x421，y2224x2，解得解得 x4，y2，即即 a(4，2)， 直線直線 ac 即即 bc 所在直線的方程為所在直線的方程為 y12143(x3)，即，即 3xy100. 又知點(diǎn)又知點(diǎn) c 在直線在直線 y2x 上，上， 聯(lián)立聯(lián)立 3xy100，y2x，解得解得 x2，y4，則則 c(2,4)，故選，故選 c. 9.在等腰直角三角形在等腰直角三角形 abc 中，中，|ab|ac|4，點(diǎn)，點(diǎn) p 是邊是邊 ab 上異于上異于 a，b 的的一點(diǎn)光線從點(diǎn)一點(diǎn)光線從點(diǎn) p 出發(fā)，經(jīng)出發(fā)，經(jīng) bc，ca 反射后又回到點(diǎn)反射后又回到點(diǎn) p

46、(如圖如圖)若光線若光線 qr經(jīng)過經(jīng)過abc 的重心，則的重心，則 ap 的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為( ) a2 b1 c.83 d.43 解析：解析：選選 d 以以 ab 所在直線為所在直線為 x 軸，軸，ac 所在直線為所在直線為 y 軸建立如軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知 b(4,0)，c(0,4)，a(0，0)，則直線則直線 bc 的方程為的方程為 xy40，設(shè)，設(shè) p(t,0)(0t4)，由對(duì)稱知識(shí)，由對(duì)稱知識(shí)可得點(diǎn)可得點(diǎn) p 關(guān)于關(guān)于 bc 所在直線的對(duì)稱點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn) p1的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(4，4t)，點(diǎn)，點(diǎn) p關(guān)于關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)軸的

47、對(duì)稱點(diǎn) p2的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(t,0)， 根據(jù)反射定律可知， 根據(jù)反射定律可知 p1p2所所在直線就是光線在直線就是光線 rq 所在直線由所在直線由 p1，p2兩點(diǎn)坐標(biāo)可得兩點(diǎn)坐標(biāo)可得 p1p2所在直線的方程為所在直線的方程為 y4t4t (xt)，設(shè)，設(shè)abc 的重心為的重心為 g，易知，易知 g 43，43.因?yàn)橹匦囊驗(yàn)橹匦?g 43，43在光線在光線 rq 上，所以有上，所以有43 15 4t4t 43t ，即，即 3t24t0.所以所以 t0 或或 t43，因?yàn)椋驗(yàn)?0t4，所以，所以 t43，即，即|ap|43，故選，故選 d. 10與直線與直線 x2y30 平行，且與兩坐標(biāo)軸圍成

48、的三角形的面積為平行，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為 4 的直線方程是的直線方程是_ 解析解析：設(shè)所求直線方程為：設(shè)所求直線方程為 x2y0，令，令 x0，得，得 y2；令；令 y0，得，得 x.由題意，得由題意，得12 2 |4，解得，解得 4.故所求直線方程為故所求直線方程為 x2y 40. 答案答案：x2y 40 11 若兩直線若兩直線 kxy10和和 xky0相交且交點(diǎn)在第二相交且交點(diǎn)在第二象限， 則象限， 則 k的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：解析：由題意知由題意知 k 1.聯(lián)立聯(lián)立 kxy10，xky0， 解得解得 xk1k2，y11k2， k1k20，11k20，1k0. 答案答案：(1,0) 12設(shè)設(shè) mr，過定點(diǎn)，過定點(diǎn) a 的動(dòng)直線的動(dòng)直