一階倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1、倒立擺課程設(shè)計(jì)報(bào)告課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)課程名稱(chēng)： 控制系統(tǒng)課程設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)題目：一階倒立擺控制器設(shè)計(jì) 院 系： 信息與電氣工程學(xué)院 班 級(jí)： 設(shè) 計(jì) 者： 學(xué) 號(hào)： 指導(dǎo)教師： 設(shè)計(jì)時(shí)間：2013年2月25日到2013年3月8號(hào) 29課程設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書(shū)專(zhuān) 業(yè)自動(dòng)化班 級(jí)0902101學(xué) 生指導(dǎo)教師題 目一階倒立擺課程設(shè)計(jì)子 題設(shè)計(jì)時(shí)間2013年 2 月 25 日 至 2013 年 3 月 8 日 共 2 周設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)（論文）的任務(wù)和基本要求，包括設(shè)計(jì)任務(wù)、查閱文獻(xiàn)、方案設(shè)計(jì)、說(shuō)明書(shū)（計(jì)算、圖紙、撰寫(xiě)內(nèi)容及規(guī)范等）、工作量等內(nèi)容。1建立一階倒立擺數(shù)學(xué)模型2做模型仿真試驗(yàn)（1）給出Matlab仿真程

2、序。（2）給出仿真結(jié)果和響應(yīng)曲線(xiàn)。3倒立擺系統(tǒng)的PID控制算法設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)PID控制器，使得當(dāng)在小車(chē)上施加1N的脈沖信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1）穩(wěn)定時(shí)間小于5秒（2）穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1 弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真4倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制算法設(shè)計(jì)用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)控制器，使得當(dāng)在小車(chē)上施加0.2m的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：（1）擺桿角度和小車(chē)位移的穩(wěn)定時(shí)間小于5秒（2）的上升時(shí)間小于1秒（3）的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）（4）穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。指導(dǎo)教師簽字： 系（教研室）主任簽字：2013年 3月 5日目錄一、 建立一階倒立擺數(shù)學(xué)模型41. 一

3、階倒立擺的微分方程模型42. 一階倒立擺的傳遞函數(shù)模型63. 一階倒立擺的狀態(tài)空間模型7二、 一階倒立擺matlab仿真9三、 倒立擺系統(tǒng)的PID控制算法設(shè)計(jì)13四、倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制算法設(shè)計(jì)23五、 總結(jié)28六、 參考文獻(xiàn)291、 建立一階倒立擺數(shù)學(xué)模型首先建立一階倒立擺的物理模型。在忽略空氣阻力和各種摩擦之后， 可將直線(xiàn)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車(chē)和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)定義如下：M 小車(chē)質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b 小車(chē)摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 I 擺桿慣量 F 加在小車(chē)上的力 x 小車(chē)位置 擺桿與垂直向上方向的夾角 擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿

4、初始位置為豎直向下）1. 一階倒立擺的微分方程模型對(duì)一階倒立擺系統(tǒng)中的小車(chē)和擺桿進(jìn)行受力分析，其中，N和 P為小車(chē)與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖 1-2 小車(chē)及擺桿受力圖 分析小車(chē)水平方向所受的合力，可以得到以下方程： （1-1）由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： （1-2）即： （1-3）把這個(gè)等式代入式(1-1)中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：（1-4）為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： （1-5）即： （1-6）力矩平衡方程如下： （1-7）由于所以等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去 P和 N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程

5、： （1-8）設(shè) ，（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè) <<1弧度， 則可以進(jìn)行近似處理：。用u代表被控對(duì)象的輸入力F，利用上述近似進(jìn)行線(xiàn)性化得直線(xiàn)一階倒立擺的微分方程為： （1-9）2. 一階倒立擺的傳遞函數(shù)模型對(duì)式(1-9)進(jìn)行拉普拉斯變換，得：（2-1）注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為 0。由于輸出為角度，求解方程組的第一個(gè)方程，可得：（2-2）或 （2-3）如果令，則有： （2-4） （2-5）把上式代入方程組（2-1）的第二個(gè)方程，得：整理后得到傳遞函數(shù)：（2-6）其中。3. 一階倒立擺的狀態(tài)空間模型設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為： （3-1）方程組（2-9）對(duì)解代數(shù)方程，

6、得到解如下：（3-1）整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：（3-2）（3-3）擺桿的慣量為，代入（1-9）的第一個(gè)方程為：得：化簡(jiǎn)得：（3-4）設(shè) 則有：（3-5）4.實(shí)際系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與狀態(tài)方程實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下:M 小車(chē)質(zhì)量 0.5 Kg m 擺桿質(zhì)量 0.2 Kg b 小車(chē)摩擦系數(shù) 0 .1N/m/sec l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 0.3m I 擺桿慣量 0.006 kg*m*m代入上述參數(shù)可得系統(tǒng)的實(shí)際模型。擺桿角度和小車(chē)位移的傳遞函數(shù)：（4-1） （4-2）擺桿角度和小車(chē)加速度之間的傳遞函數(shù)為： （4-3）擺桿角度和小車(chē)所受外界作用力的傳遞函數(shù)：以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：

7、（4-4）以小車(chē)加速度為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：（4-5） 2、 一階倒立擺matlab仿真實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下，按照上面給出的例子求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間方程，并進(jìn)行脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)的matlab仿真。 小車(chē)質(zhì)量 1.096Kg 擺桿質(zhì)量 0.109Kg 小車(chē)摩擦系數(shù) 0.1 N/m/sec 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 0.25m 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m 采樣時(shí)間 0.005秒1. 傳遞函數(shù)法Matlab程序如下： M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.0034;g=9.8;L=0.25;q=(M+m)*(I+m*L2)-(m*L)2;num=m*L/q 0 0den

8、=1 b*(I+m*L2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0;r,p,k=residue(num,den);s=p;得到傳遞函數(shù)的分子：num = 2.3566 0 0以及傳遞函數(shù)分母:den = 1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：s = -5.2780 5.2727 -0.0830 0由此可知，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的多項(xiàng)式表達(dá)式為： （2-1）系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為（s):、，由于有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于平面的右半部，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)并不是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)如下，由圖也可見(jiàn)，系統(tǒng)并不穩(wěn)定。圖2.1 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)2. 狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法可以進(jìn)行單

9、輸入多輸出系統(tǒng)設(shè)計(jì)，因此在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，我們將嘗試同時(shí)對(duì)擺桿角度和小車(chē)位置進(jìn)行控制。為了更具挑戰(zhàn)性，給小車(chē)加一個(gè)階躍輸入信號(hào)。 我們用 Matlab 求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程各矩陣，并仿真系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)。在這里給出一個(gè)state.m文件，執(zhí)行這個(gè)文件，Matlab將會(huì)給出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的A，B，C和D矩陣，并繪出在給定輸入為一個(gè)0.2 N的階躍信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線(xiàn)。state.m程序如下： p=I*(M+m)+M*m*L2;>> A = 0 1 0 0; 0 -(I+m*L2)*b/p (m2*g*L2)/p 0;0 0 0 1;0 -(m*L*b)/p m*g*L*(M+m)/

10、p 0A = 0 1.0000 0 0 0 -0.0883 0.6293 0 0 0 0 1.0000 0 -0.2357 27.8285 0>> B=0; (I+m*L2)/p; 0; m*L/pB = 0 0.8832 0 2.3566>> C=1 0 0 0; 0 0 1 0D=0; 0C = 1 0 0 0 0 0 1 0D = 0 0matlab仿真的開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)曲線(xiàn)如下圖所示，系統(tǒng)并不穩(wěn)定。圖2.2 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)曲線(xiàn)3、 倒立擺系統(tǒng)的PID控制算法設(shè)計(jì)1. 實(shí)驗(yàn)要求與目的l 要求：設(shè)計(jì)PID控制器，使得當(dāng)在小車(chē)上施加1N的脈沖信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為

11、：（1）穩(wěn)定時(shí)間小于5秒（2）穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1 弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真l 目的：進(jìn)一步熟悉PID控制器的設(shè)計(jì)方法，步驟，以及P、I、D三參數(shù)的調(diào)節(jié)方法。2. 理論分析l PID控制原理在模擬控制系統(tǒng)中，控制器最常用的控制規(guī)律是PID控制。常規(guī)PID控制系統(tǒng)原理框圖如下圖所示。系統(tǒng)由模擬PID控制器KD(S)和被控對(duì)象G(S)組成。PID控制器是一種線(xiàn)性控制器，它根據(jù)給定值與實(shí)際輸出值構(gòu)成控制偏差 將偏差的比例(P)、積分(I)和微分(D)通過(guò)線(xiàn)性組合構(gòu)成控制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，故稱(chēng)PID控制器。其控制規(guī)律為或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)的形式式中：比例系數(shù)；積分時(shí)

12、間常數(shù)；微分時(shí)間常數(shù)。在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真中，也將傳遞函數(shù)寫(xiě)成式中：比例系數(shù)；積分系數(shù)；微分系數(shù)。簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，PID控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下：（1）比例環(huán)節(jié)：成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號(hào)，偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。（2）積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。積分作用的強(qiáng)弱取決于積分時(shí)間常數(shù)，越大，積分作用越弱，反之則越強(qiáng)。（3）微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號(hào)的變化趨勢(shì)（變化速率），并能在偏差信號(hào)值變得太大之前，在系統(tǒng)中引入一個(gè)有效的早期修正信號(hào)，從而加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度，減小調(diào)節(jié)時(shí)間。l 擺桿角度控制這個(gè)控制問(wèn)題和我們以前遇到的標(biāo)準(zhǔn)控制問(wèn)題有些不同，在這里輸出量為擺桿

13、的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)施加一個(gè)擾動(dòng)，觀察擺桿的響應(yīng)。系統(tǒng)框圖如下：圖中是控制器傳遞函數(shù)，是被控對(duì)象傳遞函數(shù)。考慮到輸入，結(jié)構(gòu)圖可以很容易地變換成該系統(tǒng)的輸出為其中： 被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng)被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng)PID控制器傳遞函數(shù)的分子項(xiàng)PID控制器傳遞函數(shù)的分母項(xiàng)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)是其中 PID控制器的傳遞函數(shù)為只需調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)，就可以得到滿(mǎn)意的控制效果。l 小車(chē)位置控制小車(chē)位置作為輸出時(shí)，系統(tǒng)框圖如下：其中，是擺桿傳遞函數(shù)，是小車(chē)傳遞函數(shù)。由于輸入信號(hào)，所以可以把結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換成：其中，反饋環(huán)代表我們前面設(shè)計(jì)的擺桿的控制器。從此框圖我們可以看出此處只對(duì)擺桿角度

14、進(jìn)行了控制，并沒(méi)有對(duì)小車(chē)位置進(jìn)行控制。小車(chē)位置輸出為：其中，分別代表被控對(duì)象1和被控對(duì)象2傳遞函數(shù)的分子和分母。和代表PID控制器傳遞函數(shù)的分子和分母。下面我們來(lái)求，根據(jù)前面實(shí)驗(yàn)二的推導(dǎo)，有可以推出小車(chē)位置的傳遞函數(shù)為其中 可以看出， =，小車(chē)的算式可以簡(jiǎn)化成： 3. PID控制算法的MATLAB仿真實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下：M 小車(chē)質(zhì)量 1.096 Kg m 擺桿質(zhì)量 0.109 Kg b 小車(chē)摩擦系數(shù) 0 .1N/m/sec l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 0.25m I 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m F 加在小車(chē)上的力 x 小車(chē)位置 T 采樣時(shí)間擺桿的matlab仿真程序代碼如下：M=0

15、.5;m=0.2;b=0.1;I=0.006;g=9.8;L=0.3;q=(M+m)*(I+m*L2)-(m*L)2;num1=m*L/q 0 0;den1=1 b*(I+m*L2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0;Kp=1;Ki=1;Kd=1;numPID= Kd Kp Ki;denPID=1 0;num=conv(num1,denPID);den=polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1);r,p,k=residue(num,den);s=pt=0:0.005:5;impulse(num,den,t)axis(0 2

16、0 10)運(yùn)行程序得到：s = -6.4161 3.9693 0.0019 0 0并得到仿真圖像如下：圖3.1 kp=ki=kd=1時(shí)的仿真響應(yīng)圖可見(jiàn)此時(shí)系統(tǒng)并不穩(wěn)定，此時(shí)應(yīng)該首先調(diào)整kp，觀察其響應(yīng)的變化：講kp設(shè)置為150，得到并觀察響應(yīng)圖如下：s = -1.2224 +18.0044i -1.2224 -18.0044i -0.0000 -0.0000 -0.0000 圖3-2，kp=150系統(tǒng)仿真圖可見(jiàn)此時(shí)系統(tǒng)兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)均在S平面做平面，系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間約為4秒，滿(mǎn)足要求。此時(shí)系統(tǒng)有極小的靜態(tài)誤差，根據(jù)系統(tǒng)對(duì)于精度的要求可酌情考慮是否添加積分控制，本文添加積分控制。將積分參數(shù)設(shè)

17、為5，得到并觀察閉環(huán)響應(yīng)圖。在筆者經(jīng)過(guò)多次嘗試之后，發(fā)現(xiàn)積分控制對(duì)于系統(tǒng)響應(yīng)的調(diào)節(jié)作用極小，筆者給出當(dāng)積分參數(shù)分別設(shè)為10和50的響應(yīng)圖如下：圖3-3，ki=10的響應(yīng)圖3-4，ki=50系統(tǒng)的響應(yīng)積分作用通常是用來(lái)調(diào)整系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，使之達(dá)到需要的范圍，但是此處明顯積分作用對(duì)系統(tǒng)的影響不大，并了解到被控對(duì)象的特性屬于變化快的類(lèi)型，應(yīng)該考慮改變微分控制，雖然微分控制在實(shí)際系統(tǒng)中運(yùn)用并不多見(jiàn)。筆者將微分作用參數(shù)設(shè)置為10,20,50觀察其效果圖。 圖3-5，kp=150,ki=50,kd=10的仿真圖像圖3-6，kp=150,ki=50,kd=20的仿真圖像圖3-7，kp=150,ki=50,k

18、d=50的仿真圖像當(dāng)微分效果加上去的時(shí)候，系統(tǒng)閉環(huán)仿真圖像結(jié)果得到了質(zhì)的改善，瞬間取代了超調(diào)，不穩(wěn)定，響應(yīng)時(shí)間也迅速降到了0.5秒，穩(wěn)定時(shí)間在1秒，完美地完成了任務(wù)。其效果已經(jīng)不能簡(jiǎn)單的用好來(lái)形容，但是微分作用并非如此普及，并且每次都效果如此良好，要根據(jù)不同的對(duì)象來(lái)判斷用什么作用。必須要說(shuō)的是，微分作用在物理實(shí)現(xiàn)中是并不容易的，如果只有比例調(diào)節(jié)和積分調(diào)節(jié)就能達(dá)到預(yù)想的效果，那就不要使用微分調(diào)節(jié)。4. 小車(chē)位置控制算法仿真pid2.m是仿真小車(chē)位置變化的m文件，文件如下：% 小車(chē)位置PID控制 % 輸入倒立擺傳遞函數(shù) G1(s)=num1/den1,G2(s)=num2/den2M = 1.09

19、6; m = 0.109; b = 0.1;I = 0.0034; g = 9.8; l= 0.25;q = (M+m)*(I+m*l2) -(m*l)2; num1 = m*l/q 0 0;den1 = 1 b*(I+m*l2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0;num2 = -(I+m*l2)/q 0 m*g*l/q;den2 = den1;% 輸入控制器PID數(shù)學(xué)模型 Gc(s)=numPID/denPIDKp = 150; Ki = 50; Kd = 50;numPID = Kd Kp Ki;denPID = 1 0;% 計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)=num/

20、den% 多項(xiàng)式相乘num = conv(num2,denPID);% 多項(xiàng)式相加den = polyadd(conv(denPID,den2),conv(numPID,num1 );% 求閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)r,p,k = residue(num,den);% 顯示閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)s = p% 求取多項(xiàng)式傳函的脈沖響應(yīng)t=0:0.005:5;impulse(num,den,t) % 顯示范圍：橫坐標(biāo)0-5，縱坐標(biāo)0-10，此條語(yǔ)句參數(shù)可根據(jù)仿真輸出曲線(xiàn)調(diào)整axis(0 5 -0.1 0.5)grid 此時(shí)系統(tǒng)取Kp=150，Ki=50，Kd=50，階躍響應(yīng)仿真曲線(xiàn)如下圖所示：s = -115.0953

21、-2.4030 -0.4177 0 0 圖3-8，小車(chē)位置仿真由仿真結(jié)果能夠看出，當(dāng)擺桿角度處于很好的閉環(huán)控制下時(shí)，小車(chē)位置雖然處于失控狀態(tài)，但是上升速度不快。四、倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制算法設(shè)計(jì)1. 設(shè)計(jì)目的與要求現(xiàn)代控制理論的最突出特點(diǎn)就是將控制對(duì)象用狀態(tài)空間表達(dá)式的形式表示出來(lái)，這樣便于對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制算法（）是現(xiàn)代控制理論中一種重要的、基本的方法，算法的目的是在一定的性能指標(biāo)下，使系統(tǒng)的控制效果最佳，即利用最少的控制能量，來(lái)達(dá)到最小的狀態(tài)誤差。本章主要利用最優(yōu)控制算法實(shí)現(xiàn)對(duì)一階倒立擺系統(tǒng)的擺桿角度和小車(chē)位置的同時(shí)控制。設(shè)計(jì)目的：學(xué)習(xí)如何使用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)

22、系統(tǒng)的控制算法。設(shè)計(jì)要求：用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)控制器，使得當(dāng)在小車(chē)上施加0.2N的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng) 指標(biāo)為：（1）擺桿角度和小車(chē)位移的穩(wěn)定時(shí)間小于5秒（2）的上升時(shí)間小于1秒（3）的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）（4）穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。2. 最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)在PID調(diào)節(jié)中，我們的輸入是脈沖量，并且在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，只對(duì)擺桿角度進(jìn)行控制，而不考慮小車(chē)的位移。然而，對(duì)一個(gè)倒立擺系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，把它作為單輸出系統(tǒng)是不符合實(shí)際的，如果把系統(tǒng)當(dāng)作多輸出系統(tǒng)的話(huà)，用狀態(tài)空間法分析要相對(duì)簡(jiǎn)單一些，在這一章我們將設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)擺桿位置和小車(chē)位移都進(jìn)行控制的控制器。系統(tǒng)狀態(tài)方程為 在倒立擺相關(guān)參數(shù)為： 小車(chē)質(zhì)量 1

23、.096Kg 擺桿質(zhì)量 0.2109Kg 小車(chē)摩擦系數(shù) 0.1 N/m/sec 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 0.25 m 擺桿慣量 0.0034 kg*m*m 采樣時(shí)間 0.005秒的條件下，狀態(tài)方程系數(shù)矩陣如下：；最優(yōu)控制的前提條件是系統(tǒng)是能控的，下面來(lái)判斷一下系統(tǒng)的能控能觀性。l Matlab仿真程序如下：A=0 1 0 0;0 -(I+m*L2)*b/p (m2*g*L2)/p 0;0 0 0 1;0 -(m*L*b)/p m*g*L*(m+M)/p 0B=0;(I+m*L2)/p;0;(m*L)/pC=1 0 0 0;0 0 1 0D=0;0Qc=ctrb(A,B);/判斷能控性K=r

24、ank(Qc)Qo=obsv(A,C)；/判斷能觀性I=rank(Qo)1. Matlab仿真結(jié)果為：K = 4I = 4即：系統(tǒng)的能控矩陣的秩 。系統(tǒng)的能觀矩陣的秩 。故系統(tǒng)是能控能觀的。因此可以給系統(tǒng)加上最優(yōu)控制器使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，且滿(mǎn)足暫態(tài)性能指標(biāo)。在運(yùn)用線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制算法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，主要的目的就是獲得反饋向量的值。由上一小節(jié)的推導(dǎo)知道，設(shè)計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器時(shí)，一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題就是二次型性能指標(biāo)泛函中加權(quán)矩陣和的選取。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化及加權(quán)矩陣具有比較明確的物理意義，我們將取為對(duì)角陣。假設(shè) ；這樣得到的性能指標(biāo)泛函為由上式可以看出，是對(duì)的平方的加權(quán)，的相對(duì)增加就意味著對(duì)的要求相對(duì)

25、其它狀態(tài)變量嚴(yán)格，在性能指標(biāo)中的比重大，的偏差狀態(tài)相對(duì)減小。是對(duì)控制量的平方加權(quán)，當(dāng)相對(duì)較大時(shí)，意味著控制費(fèi)用增加，使得控制能量較小，反饋減弱，而取值較小時(shí)，系統(tǒng)控制費(fèi)用減小，反饋增加，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速。考慮到一階倒立擺系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中，主要的被控量為系統(tǒng)的輸出量和，因此在選取加權(quán)對(duì)角陣的各元素值時(shí)，由于代表小車(chē)位置的權(quán)重，而是擺桿角度的權(quán)重，所以只選取、，而。選取和時(shí)需要注意的幾個(gè)方面：（1）由于我們采用的系統(tǒng)模型是線(xiàn)性化的結(jié)果，為使系統(tǒng)個(gè)狀態(tài)量能夠在線(xiàn)性范圍工作，要求各狀態(tài)量不應(yīng)過(guò)大。（2）閉環(huán)系統(tǒng)最好能有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，這樣有利于克服系統(tǒng)的非線(xiàn)性摩擦，但系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的模不應(yīng)太大以免系統(tǒng)

26、頻帶過(guò)寬，使得系統(tǒng)對(duì)噪聲太敏感，以致系統(tǒng)不能正常工作。（3）加權(quán)矩陣的減小，會(huì)導(dǎo)致大的控制能量，應(yīng)注意控制的大小，不要超過(guò)系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力，使得放大器處于飽和狀態(tài)。控制系統(tǒng)如下圖所示，圖中R是施加在小車(chē)上的階躍輸入，四個(gè)狀態(tài)量、和分別代表小車(chē)位移、小車(chē)速度、擺桿位置和擺桿角速度，輸出包括小車(chē)位置和擺桿角度。我們要設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使得當(dāng)給系統(tǒng)施加一個(gè)階躍輸入時(shí)，擺桿會(huì)擺動(dòng)，然后仍然回到垂直位置，小車(chē)到達(dá)新的命令位置。2） 系統(tǒng)仿真M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1;I = 0.006;g = 9.8;l = 0.3;p = I*(M+m)+M*m*l2;A = 0 1 0 0;0 -(I+m*l2)*b/p (m2*g*l2)/p 0;0 0 0 1;0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0;B = 0;