淺談_微元法_在物理上的應(yīng)用

1、淺談“微元法”在物理上的應(yīng)用福州第一中學(xué)呂聲康（350001）在高中物理中，由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的局限，對(duì)于高等數(shù)學(xué)中可以使用積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算的一 些問(wèn)題，在高中很難的加以解決。例如對(duì)于求變力所做的功或者對(duì)于物休做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)某恒 力所做的功的計(jì)算；又如求做曲線運(yùn)動(dòng)的某質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程，這些問(wèn)題對(duì)于中學(xué)牛來(lái)講， 成為一大難題。但是如果應(yīng)用積分的思想，化整為零，化1川為直，采用“微元法”，可以很 好的解決這類問(wèn)題?！拔⒃ā蓖ㄋ椎卣f(shuō)就是把研究對(duì)象分為無(wú)限多個(gè)無(wú)限小的部分，取出 有代表性的極小的一部分進(jìn)行分析處理，再?gòu)木植康饺w綜合起來(lái)加以考慮的科學(xué)思維方 法，在這個(gè)方法里充分的體現(xiàn)了積分的思想。高中物理中的

2、瞬時(shí)速度、瞬時(shí)加速度、感應(yīng)電 動(dòng)勢(shì)等等，都是用這種方法定義的。下而我們通過(guò)兒個(gè)求變力做功的例題來(lái)加以說(shuō)明。一、利用在“微元”中變力做功的特點(diǎn)推導(dǎo)出力所做的總功。（例題1試證明：對(duì)于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，英向心力所做的功為零。分析與解：在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，向心力始終指向圓心，是一個(gè)變力，因此不能使用 w = fscos &來(lái)求解。可以考慮在極短的時(shí)間4內(nèi)物體所走過(guò)的一極小的圓弧as ,圖（1） 所示。由于所収的圓弧足夠小，因而可以將圓弧作為直線來(lái)處理。時(shí)間足夠小，對(duì)于向心力 也可認(rèn)為其方向未發(fā)牛變化，視為恒力來(lái)處理，且向心力和as相互垂直。則在ar時(shí)間內(nèi)， 向心力所做的功為：w = fsc

3、os90° =0考慮整個(gè)過(guò)程，對(duì)于圓周上的每段圓弧a5皆有上述結(jié) 杲，則在整個(gè)過(guò)程中向心力所做的功為：w = zaiv = 0（注由上可知,無(wú)論物體做什么運(yùn)動(dòng),如果在物體的運(yùn)動(dòng)過(guò) 程中，某個(gè)力的方向與其運(yùn)動(dòng)方向始終是垂直關(guān)系，則在物體 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程屮，由“微元法”可知，這個(gè)力對(duì)物體不做功，帶 電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力不做功正是這個(gè)道理。（例題2）如圖（2） a所示，質(zhì)量為m的小車以恒定的速率v沿半徑為r的豎直圓環(huán)做 岡周運(yùn)動(dòng)，小車與岡環(huán)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為“，試求小車從軌道最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)-至最話點(diǎn)的過(guò)程分析與解：本題中小車的運(yùn)動(dòng)為岡周運(yùn)動(dòng)，小車對(duì)軌道的壓力大小方向在不斷的變化, 導(dǎo)致軌道

4、與小車間的摩擦力大小方向也在不斷的變化也是個(gè)求變力做功的問(wèn)題。把握住小車 的運(yùn)動(dòng)相對(duì)圓點(diǎn)有明顯的對(duì)稱，利用“微元法”，我們?nèi)蓚€(gè)對(duì)稱的微元進(jìn)行研究。如圖（2） -b,在圓環(huán)上去兩個(gè)対稱點(diǎn)a和b, oa和ob與豎直的直徑的夾角均為， 小車在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在a、b兩點(diǎn)的向心力為：v2fa = n、- mg cos 0 = m y2fr = n2 七 mg cos 0 = m 在a、b兩點(diǎn)取兩段無(wú)窮小的員|弧，摩擦力在a、b兩點(diǎn)所做的微元功為:2v w = 一pn、= -#(mf mg cos 0) rv2aw2 = a52 = 一mg cos 0) a2rv則+ aw2 = -m“($ + av

5、2)r則小車由最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)的過(guò)程屮，摩擦力所做的總功為:w總=" + aw2 + aw3 + aw4 + =-m“x ($ + a.y2 + a.y3 +)rv2=_ mu- 7tk = u7t mvr（注）“對(duì)稱”是本題的特點(diǎn)，“微元法”是具體的解法。若本題不采用対稱的方法求解，乂 不能用w = fscoso求功，則必須研究小車的牽引力，利用動(dòng)能立理來(lái)求解。而這對(duì)于本 題是不可能有結(jié)果的?！皩?duì)稱法”也是物理解題中一種常用的方法。二、“化曲為直”求變力所做的功。（例題3如圖（3） -a所示，某個(gè)力f=10n作用于半徑 r=lm的轉(zhuǎn)盤的邊緣上，力f的大小保持不變，但方向保持任 何

6、時(shí)刻均與作用點(diǎn)的切線一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)一周，這個(gè)力f做的總 功為多少？分析與解：由于力f的方向與作用點(diǎn)的速度方向一致，因 此力f做功不為零，fl此力不為恒力?？梢钥紤]把関周劃分為 很多“微元”來(lái)研究。如圖（3） b所示。當(dāng)各小段的弧長(zhǎng)山足夠?。╝s t0）時(shí)，在這山內(nèi)f的方向幾乎與該小段的位移重介，則f做的總功為：w = fasj + fas2 + f 企=f-27? = 20（ j）圖(3) -a這等效于將本是曲線的冏周拉直。在這里，力f所做的功相當(dāng) 于力和物體運(yùn)動(dòng)路程的乘積。三、結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法，巧求變力所做的功。(例題4)如圖(4) a所示，半徑為的半球形水池，裝滿密度為p的水，要將池內(nèi)的 水抽

7、十，至少耍做多少功？分析與解：按題目的要求，只要將水抽至水面的高度就可以了。可以設(shè)想將水分成n 層，則每層水的厚度為r/n,將一層一層的水，即“微元”抽至水面即可。如圖(4) b所示，取水而下第i層水考慮，則第i層水的厚度為r/n,其距水而的高度為ir/n,則第i層水的半徑為:d =r/n9 r° r r則這層水的質(zhì)量為：mi = p兀幾 = p7ir -(/)! nn n將這層水抽至水面所做的功為：叱=misi .-) = r2-(z-)2.-.§.(/-) nn n n= 7rr4 -rt n所以，將全部抽至水面所需要做的功為:4+ 2 + 3 + + a? 1 +2 +3 + +n21 + n n2(n +1)2 n a114 = r4-n4 4/r叫=喚r 】42=%g 廠7rt當(dāng) n > 00,即"y>0,貝 |j:4nw總(注)此題使用“微元法”，還要結(jié)合使用數(shù)學(xué)方法求和得出結(jié)杲，若此題不用這種方法， 會(huì)很難卜手?！拔⒃ā彪m然是在物理竟賽中使用比較多，但在我們平常的訓(xùn)練中也不失為一