淺談數(shù)形結(jié)合法在解題研究中的應(yīng)用

1、淺談數(shù)形結(jié)合法在解題研究中的應(yīng)用韋妙珍中文摘要數(shù)形結(jié)合法是將數(shù)量關(guān)系化為圖形問題或把圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)換為數(shù)量關(guān)系 的一種方法；數(shù)形結(jié)合是指借助于圖形的直觀性加深對(duì)數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)，數(shù)與形 配合，揭霜問題本質(zhì)，簡(jiǎn)化解題過程的一種方法；數(shù)形結(jié)合不僅是i種重要的解 題方法，而且也是一種重要的思維方法，在中學(xué)中占有重要的地位。數(shù)形結(jié)合解題就是在解決與幾何圖形有關(guān)的問題時(shí)，將圖形信息轉(zhuǎn)換成代 數(shù)的信息，利用數(shù)量特征，將其化為代數(shù)問題；解決與數(shù)量有關(guān)的問題時(shí)，根據(jù) 數(shù)量的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，即化為幾何問題。從而利用數(shù)形 的辯證統(tǒng)一和各口的優(yōu)勢(shì)盡快的得到解題途徑，這對(duì)提高分析和解決問題的能力 有極大

2、的幫助。關(guān)鍵詞數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合解題方法技巧abstractshuoxingjiehe law is the rmmber of relations will translate into graphics or the graphic nature of the relationship between the number ofthe use of graphics to relationship, with the a simplified method of is an important methodconversions for a way; shuoxingjiege is t

3、hrough enhance the number of intuitive awareness of the number and shape, exposing nature of the problem, problem solving process; shuoxingjiehe not only of probl em sol ving, but al so an impottaint way of thinking, in secondary schools occupy an important position.shuxingjiege is to solve the prob

4、lem-solvin£ and geometry-related issues, graphic information will be converted into algebra, the number of features into its algebra problems to solve and the number of related issues, according to the number of structural features, constructed the corresponding geometry, that is, as the geomet

5、ric problem. to shape the use of the dialectical unity and their respective strengths to get the problem-solving approach, which improved analysis and problem-solving abilities extremely helpful. key words shuxingjiege thinking shuxingjiege solution methods ski 11s數(shù)形結(jié)合的主要方法有：圖象法、幾何法、坐標(biāo)法等。數(shù)形結(jié)合的主要途徑：1

6、、通過坐標(biāo)系；2、轉(zhuǎn)化，比如把止數(shù)a轉(zhuǎn)化 為距離，把a(bǔ)（或ab）轉(zhuǎn)化為面積，把（或abc）轉(zhuǎn)化為體積，把戸審轉(zhuǎn)化為勾股定理或平 面上兩點(diǎn)間的距離，把a(bǔ)2+b2+ab轉(zhuǎn)化為余弦定理等；（3）、構(gòu)造，比如構(gòu)造一個(gè) 兒何圖形，構(gòu)造一個(gè)圖表等。本文筆者將從兩個(gè)方面說明數(shù)形結(jié)合法在中學(xué)數(shù)學(xué) 解題中的應(yīng)用。1 “形”中覓“數(shù)”很多數(shù)學(xué)問題，需要根據(jù)圖形尋求數(shù)量關(guān)系，將幾何問題代數(shù)化，以數(shù)助形, 使問題獲解。例1、已知y=x'+2kx+(k - 2)是關(guān)于x的二次 函數(shù)(1)試證明它的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)。(2)如果有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于2,另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2,試確定k 的取值范圍。解：(l

7、)x的方程y=x'+2kx+(k 一 2)的判別式a =(2k)2 - 4xlx(k 2) = 4k' - 4 k+8 = (2k - l)2+ 7 >0此二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根此二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)。(2)如圖 1-1,拋物線的開口向上，兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)一個(gè)小于2,而另一個(gè)大于2,此二次函數(shù)在x = 2吋函數(shù)值小于零，即 4+4k+k -2<0,說明：木例利用數(shù)形結(jié)合聯(lián)系轉(zhuǎn)化法解木例(2)的解答根據(jù)已知條件， 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想由二次函數(shù)在x= 2時(shí)的函數(shù)值小于零建立不等式是解決問題 的關(guān)鍵。例2、(九年級(jí)課木下冊(cè)b第5題)如圖，點(diǎn)e、f、g、h分別

8、位于正方形abcd的四條邊上，四邊形efgh 也是正方形當(dāng)點(diǎn)e位于何處時(shí)，正方形efgh的面積最小？解：設(shè)正方形efgh的而積為y,正方形abcd的邊長(zhǎng)設(shè)為a,是定長(zhǎng)；ae 的長(zhǎng)為x,則be= a - x ,四邊形abcd與efgh都 是正方形azdab=zhef=90°.zl + z2=z2+z3=90°az1=z3根據(jù)aas易證得 aeh竺a bfe；同理可證得，a aeh9 a bfe9 a cgf9 a dhhg bf=cg=dh=ae=x , cf=dg=ah=be= a - x：s正方形hgfe二s正方形abcd - 4saaeh2dgs2皿為為如苗中比jelf

9、jb aw hbstft/h. 施小值為說明：本例由圖形面積的最值問題聯(lián)想到二次函數(shù)的最值問題，即將形的問 題與代數(shù)的問題進(jìn)行聯(lián)系，使問題得到解決。這充分體現(xiàn)了形與數(shù)的辯證關(guān)系。2 “數(shù)”上構(gòu)“形”很多數(shù)學(xué)問題，本身是代數(shù)方面的問題，但通過觀察可以發(fā)現(xiàn)它具有某種 幾何特征，由于這種幾何特征可以發(fā)現(xiàn)數(shù)與形之間的新關(guān)系，從而將代數(shù)問題化 為幾何問題，使問題獲解。例1、當(dāng)2wxw3時(shí)，化簡(jiǎn)如鏟+鏟得an 2x-1b、-2x+lc、 1d、5解析：+ 屁錄二|x+2| + | x-3 i,如圖2-1,畫出數(shù)軸，在2wxw3上任一點(diǎn)x到2與3的距離z和從圖中便可得到，其和為5,應(yīng)選d。 注：由x+220

10、,x3w0去掉絕對(duì)值符號(hào)，也可求得結(jié)杲。例2、求證：lx+21 + lx31=5有無數(shù)個(gè)解。證明：如圖2-2,數(shù)軸上的點(diǎn)a、b分別對(duì)應(yīng)數(shù)2、3, p為數(shù)軸上的點(diǎn)， 對(duì)應(yīng)數(shù)x , lx + 2 i的兒何意義是線段ap的長(zhǎng)度，丨x3 i的兒何意義是線段pb的 長(zhǎng)度。線段ab的長(zhǎng)度等于5。當(dāng)點(diǎn)p是線段ab上的任意一點(diǎn)時(shí)，都有線段 ap與線段pb的長(zhǎng)度和等于線段ab的長(zhǎng)度。故滿足2wxw3的x的值都 是 給定方程的解，因此方程有無數(shù)個(gè)解。說明:例、例2都是利用數(shù)軸上有 線線段的長(zhǎng)度公式來研究絕對(duì)值問題。例3、(lliffi省1997年中考試題)直線y=- x - 2與直線y = x + 3的交點(diǎn)在a、

11、第一象限 b、第二象限c、第三象限d、第四象限分析：木例可聯(lián)立兩直線的解析式， 通過解方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)，而后再判斷 此交點(diǎn)所在第兒象限內(nèi)。而在同一坐標(biāo)系 內(nèi)畫出兩條直線后，便可直接觀察出兩條 一直線的交點(diǎn)在第幾象限。解:如圖2-3,在同一坐標(biāo)系中畫出已知兩條直線，便可知它們的交點(diǎn)在第二象限。應(yīng)選b。說明：本例釆用了直接圖彖法的解法，避免了解方程組及由交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的符號(hào)判斷交點(diǎn)所在象限的過程。例4、一次函數(shù)y=kx+b的圖彖經(jīng)過點(diǎn)(m, 1)和點(diǎn)(l,m), mvl,則k和b滿 足的條件是()。a、 k<0,b>0b、k<0,b<0c、 k>0, b>0

12、d、 k>(),b<()解析：取m二2,滿足m<- 1 ,此時(shí)一次函數(shù)y=kx+b的圖彖經(jīng)過點(diǎn)(2 ,1)和點(diǎn)(1,-2),在直角坐標(biāo)系中畫出過這兩點(diǎn)的直線，如圖2-4所示，從圖中可直觀得出kvo,b< 0的結(jié)論，應(yīng)選bo例5、(山東省1997年中考試題)已知直線y = -4 - 2x與y = 3x + b相交于第 三象限內(nèi)一點(diǎn)，b的取值范圍是()a、b> 4b、b<6c、4<bv6d、 b為任意實(shí)數(shù)分析：在同一坐標(biāo)系中畫定直線y = 42x與動(dòng)直線y = 3x + b ,通過研究動(dòng)直線的變化 情況來確定b的取值范圍。解:如圖2-5,在坐標(biāo)中畫出直線y

13、 =-4-2x ,它與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為a(-2 ,0), b(0,4),當(dāng)動(dòng)直線y=3x+b過點(diǎn)a時(shí)，則它與y軸的交點(diǎn)是c( 0,6)。由圖象可以觀察得，要使直線y= 3x+b與直線y=-4-2x的交點(diǎn)在第三象限, 動(dòng)直線與定直線的交點(diǎn)應(yīng)在a、b兩點(diǎn)之間，此時(shí)動(dòng)宜線與y軸的p應(yīng)在b、c 之間，則有4<b<6,故應(yīng)選c。例6、試討論方程x - 2x - 1 =k ( -l<x<2,k<l)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。解：令 y, =x2 - 2x - 1 , ( -1<x<2)y2 二k , (k<l)分別作出函數(shù)力、y2的圖象,如圖2-6,由圖形可知:當(dāng)

14、k21或k<-2時(shí)，兩函數(shù)圖像無交點(diǎn)，即方程無實(shí)數(shù)解； 當(dāng)lwk<l時(shí)，兩函數(shù)圖像有一個(gè)公共點(diǎn)，原方程有一解； 當(dāng)-2<k<1時(shí)，兩函數(shù)圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，原方程有兩解; 當(dāng)1<=2吋，兩函數(shù)圖象有一個(gè)切點(diǎn)，原方程冇兩個(gè)相等的解。說明：利用圖象法討論方程解的個(gè)數(shù)問題是 一種行z有效的方法，要點(diǎn)是首先把方程現(xiàn)兩邊的 代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式(有吋可能須作適 當(dāng)?shù)恼{(diào)整，以便于作圖)然后作出兩個(gè)函數(shù)圖彖， 從兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)去討論原方程的解的個(gè)數(shù)。例7、(廣州1998年中考試題)已知函數(shù)y = x2 -2 x - 3(1) 求出這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 結(jié)

15、合這個(gè)函數(shù)圖象，確定當(dāng)x取什么值時(shí)，y=0;y>0 分析：用配方法求出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象確定所需的 x的取值(或取值范圍)。h7解：(l)y = x2 - 2x - 3 =(x - 1 )2 - 4這個(gè)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處標(biāo)是(1 ,4)。(2)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象如圖2-7, 依據(jù)圖象知：當(dāng)x = - 1或x=3時(shí),y = 0.當(dāng)xv1或x >3時(shí)，y>0.說明：利用函數(shù)圖象解方程或解不等式宜觀性強(qiáng)，但要求圖象要作的準(zhǔn)確, 準(zhǔn)確找出“零點(diǎn)”是問題解決的關(guān)鍵。證明：作線段ab如圖2-8,取ac= a, bc=b , 則ab=a + bo以ab為直徑作圓

16、，過c作ed丄ab,交00 于 d、e,貝lj ed=dc+ce,ce=ade=2*/當(dāng)c不是圓心時(shí)，ed<ab,即2圧<a+b例 9、已知 ahb,求證：|- jl«2 |<la-bl。分析：根據(jù)式子，聯(lián)想勾股定理，將分別看作兩直角 三角形的斜邊，利用 幾何方法加以證明。證明：根據(jù)式了構(gòu)造圖形如圖2-9,設(shè)rt apoa中，p0=l, oa=a,貝ipa二o rt a pob 中，ob二b,則 pb=v1+41,顯然在 pab 中，ipa -pbiviabi,<la-bl說明：圖屮畫的是a>b的情形，英實(shí)當(dāng)a<b時(shí),結(jié)論顯然也是成立的，構(gòu)造圖形后

17、，此不等式證明避開了運(yùn)算。例10、試證，對(duì)于任何a>0,b>0,c>0都有問亠2當(dāng)且僅當(dāng)石二石°石時(shí)等號(hào)成立。分析：觀察題目特點(diǎn)，從二"想到余弦定 理，可以構(gòu)造三角形，同理從另兩個(gè)根式也可構(gòu)造三角形，利用幾何方法加以證 明。證明：根據(jù)式子構(gòu)造圖形如圖2-10,其中ab=a , bc=c ,bd=b , zabd=zdbc=60° 由余弦定理dc=,ac=.ad+dc2ac./a1 -a* +fta+c 2 p + «+ca當(dāng)且僅當(dāng)a、d、c三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立。此時(shí)s aabc =saabd + sacbd9912op=opaoe = ob+acjii g= + 丄.v tf c例11、八年級(jí) 課木屮證明整式乘法公式，如完全平方分式：(a + b)2 =+2 a. b + bj o解析:木例除了根據(jù)乘方的意義及多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo)z外，還可