淺談高等幾何對(duì)初等幾何的相關(guān)指導(dǎo)作用

1、淺談高等幾何對(duì)初等幾何的相關(guān)指導(dǎo)作用學(xué)生姓名:耿麗數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院指導(dǎo)老師:何俊杰學(xué)號(hào):20085031196數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)職稱:講師刪除的內(nèi)容：四刪除的內(nèi)容：;刪除的內(nèi)容：;刪除的內(nèi)容:related instruction function to刪除的內(nèi)容:thesisj廠，刪除的內(nèi)容:，'帶格式的:字體：小四,非 加粗刪除的內(nèi)容:higher geometry related instniction function to elementary geometry刪除的內(nèi)容：（he二一 一:批注微軟中國(guó)1:亜新翻 譯！、一刪除的內(nèi)容：,mixed into than, ger

2、many sage than theorem from: £刪除的內(nèi)容：；i刪除的內(nèi)容:，刪除的內(nèi)容：，刪除的內(nèi)容:；摘 要：本文主要從仿射幾何、射影幾何.交比調(diào)和比.德薩格定理理個(gè)方面論述 了高等幾何對(duì)初等幾何的指導(dǎo)作用.關(guān)鍵詞：高等幾何4初等幾何4變換discussion on the related instruction function of highergeometry jon elementary geometryabstract:in this raperjve mainly introduce the elated inslruction function of h

3、igher geometry's on elementary geometry form the follow four aspeclsffine geometry, projective geomelrycrossalio and harmonic raliodesnrgues lheorem.key words: higher geometryelementary geometryjransform刖吞初等兒何是以靜止的觀點(diǎn)研究一些簡(jiǎn)單而乂有規(guī)則的圖形，高等兒何則是以變動(dòng) 的觀點(diǎn)研究變動(dòng)的圖形和比較而言，它們雖然同屬兒何學(xué)科，但其觀點(diǎn)層次的髙低不 同高等幾何是在初等幾何乃至高等代數(shù)

4、等課程的基礎(chǔ)上研究幾何問(wèn)題的，它使學(xué)生 在較高層面上認(rèn)識(shí)兒何空間的棊本特征、研究方法、內(nèi)在聯(lián)系，確認(rèn)兒何學(xué)的本質(zhì), 從而發(fā)展了幾何空間概念，并為進(jìn)一步學(xué)習(xí)近代數(shù)學(xué)創(chuàng)造條件.通過(guò)學(xué)習(xí)高等兒何，可以居高臨下地認(rèn)識(shí)初等兒何的內(nèi)涵，高等兒何不僅為初等 兒何提供了理論依據(jù)，更為它拓展了解題途徑，豐富了研究方法.因此，高等兒何對(duì)初 等幾何具有現(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)作用，很有研究、探討z必要，而口內(nèi)容非常豐富，甚至是無(wú)止 境的.1 更加全面地認(rèn)識(shí)幾何兒何學(xué)的研究，有靜的觀點(diǎn)和動(dòng)的觀點(diǎn)兩種，公理法建立兒何學(xué)是研究?jī)汉蔚撵o 的觀點(diǎn)，變換群下對(duì)應(yīng)的幾何學(xué)研究幾何動(dòng)的觀點(diǎn)，這兩種觀點(diǎn)是貫穿現(xiàn)行高等幾何 教材內(nèi)容的兩條主線.1.

5、1射影幾何、仿射幾何、歐式幾何之間的聯(lián)系按照klein的觀點(diǎn)，幾何學(xué)是研究在相應(yīng)的變換群下圖形保持不變的性質(zhì)和量的 科學(xué).也就是說(shuō),每一種幾何學(xué)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)變換群，圖形在該變換群下保持不變的那 些性質(zhì)和暈,就是這種兒何的研究對(duì)象.由變換群序列，射影群=仿射群二正交群，它 們所對(duì)應(yīng)的兒何學(xué)從研究范圉而言，射影兒何=）仿射幾何=）歐式幾何,從研究的內(nèi)容 （圖形的性質(zhì)）來(lái)說(shuō)，根據(jù)普遍性被包含于特殊性z中，則恰有相反的關(guān)系，即射影幾何 u仿射幾何u歐式幾何.射影兒何學(xué)是專門(mén)研究圖形在射影變換下的不變性的一個(gè)數(shù)學(xué)分支.所謂平面上 的射影變換，我們可以直觀地把它理解為連續(xù)施行有限次中心投影所得到的平面到自

6、 身的一個(gè)變換射影變換的一個(gè)特例繪仿射變換，我們可以直觀的把它理解為連續(xù)施行 有限次平行投影所得到的變換，仿射變換下不變形的研究，構(gòu)成仿射兒何學(xué)，因此它是 射影兒何學(xué)的一章仿射變換的一個(gè)特例是正交變換，我們可以直觀地把它理解為連續(xù) 丿施行平移和旋轉(zhuǎn)或若再施行一個(gè)軸反射所得到的變換正交變換下不變性的研究，構(gòu)成 歐式兒何學(xué)，因此它是仿射兒何學(xué)的一章.平面射影兒何只研究平而圖形屮那些與點(diǎn)和 直線的結(jié)合相關(guān)的性質(zhì),實(shí)際上比歐式兒何學(xué)研究的內(nèi)容更為基本.了解歐式兒何、仿 射幾何、射彩幾何三者之間的關(guān)系，也就擴(kuò)大了關(guān)于幾何學(xué)的眼界站得高,才能看得遠(yuǎn), 了解了歐式幾何在幾何學(xué)中所處的地位，這就有助于我們從幾

7、何學(xué)的全局與整體上來(lái) 理解和把握初等幾何教材.1.2歐式幾何和非歐氏幾何的關(guān)系兒何學(xué)的思維其源于非歐氏兒何.因此唯有從非歐氏兒何的觀點(diǎn)來(lái)看才能得以闡 明在中學(xué)所研究的歐式兒何學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu).只懂得一種歐兒里得兒何，就不能充分了解 幾何學(xué)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)幾何學(xué)之所以能夠提高到現(xiàn)代的觀點(diǎn),不過(guò)是在研究了非歐幾何以 后的事惜.羅巴切夫斯基兒何在其中過(guò)已知直線的外任一點(diǎn)至少可以引兩條直線 m已知直線平行，和黎曼幾何在其屮過(guò)已知直線的外任一點(diǎn)沒(méi)有任何直線與已知 直線平行，統(tǒng)稱為非歐幾何學(xué).歐式幾何、羅氏幾何、黎氏幾何這三種幾何學(xué)表面上互 相矛厲，互相排斥，但它們?cè)谏溆皟汉巫憬y(tǒng)一的，都是射影兒何的子兒何.了解它們

8、z間 的關(guān)系，對(duì)初等幾何教材的理解和把握就會(huì)加深一步.用公理法研究?jī)汉螌W(xué)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，了解兒何學(xué)的發(fā)展歷史，以 及對(duì)幾何中許多問(wèn)題的透徹理解都是極為有利的.不同的公理體系可以建立不同的幾 何學(xué)，從而說(shuō)明任何兒何學(xué)和兒何公理都是相對(duì)于某種公理體系而言的.例如，若將歐 式兒何的希爾伯特公理體系的平行公理?yè)Q成羅巴切夫斯基一伯利亞公理，而保持其余 公理不變，便得到了羅氏幾何.歷史上，從公元前320年歐幾里得幾何原本問(wèn)世后, 到公元1826年非歐幾何誕生為止，圍繞歐式第五公設(shè)的一場(chǎng)持續(xù)兩千多年的爭(zhēng)論，要 解決的就是這樣一個(gè)問(wèn)題確立了上述觀點(diǎn)，依據(jù)公理化方法，就能對(duì)兒何中的許多問(wèn) 題做出透

9、徹的理解.例如，射影幾何中為什么成立対偶原理而在歐式幾何中卻不成立？ 苴原因是在射影幾何中三組公理的對(duì)偶命題成立，而在歐式幾何中，結(jié)合公理的第一條 “通過(guò)任意給定的兩點(diǎn)有一直線”的對(duì)偶命題是不成立的，如果離開(kāi)了公理化體系，這 個(gè)問(wèn)題是很難解決的學(xué)握公理化還能對(duì)幾何中的一些概念做出準(zhǔn)確的解釋.例如，在 學(xué)習(xí)公理化z前，往往不容易區(qū)分像“兩線段的大小”和“線段的長(zhǎng)度”的概念，但學(xué) 習(xí)了希爾伯特公理體系z(mì)后,便會(huì)淸醒地認(rèn)識(shí)到，用介于關(guān)系只能對(duì)兩線段的大小進(jìn)行 比較而不能給出線段氏度的概念,建立線段氏度的概念還必須依賴連續(xù)公理這樣就將 兩個(gè)概念從思想上嚴(yán)格地區(qū)分出來(lái)，從而避免了犯混淆概念的錯(cuò)誤.2.高

10、等幾何對(duì)初等幾何的指導(dǎo)作用的具體實(shí)例分析由于射影幾何包含初等幾何，因此射影幾何的性質(zhì)必然是初等幾何的性質(zhì),所以可 以運(yùn)用射影幾何理論來(lái)解決初等幾何問(wèn)題.從而為初等幾何解題方法尋求了更廣泛的 途徑.2.1利用仿射幾何變換法證明初等幾何題刪除的內(nèi)容：電線放射兒何是烏等兒何的重要組成部分，是連接射影兒何與歐式兒何的紐帶,是應(yīng)用 高等幾何只是解決初等幾何問(wèn)題的一條重要通道.在初等幾何里,有大量的命題是研究 圖形的仿射性質(zhì)的，即不涉及到距離、角度、面積的具體度量，而僅涉及至i垃線結(jié)合關(guān) 系、直線的平行性、共線與平行線段之比、封閉圖形面積之比以及線段重點(diǎn)等概念. 對(duì)于這類的命題，我們可以充分地利用仿射幾何

11、的有關(guān)理論，由特殊到-般,化繁為簡(jiǎn) 地加以解決，從而達(dá)到事半功倍的效果.這方面問(wèn)題的解決，常常可以借助于仿射變換 與仿射坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn).2.1.1仿射變換的應(yīng)用在仿射兒何里，兒何圖形在任意仿射變換下都貝有保持同索性、結(jié)合性和二直線刪除的內(nèi)容:放射刪除的內(nèi)容:放射的平行性及共線三點(diǎn)的單比、共線或平行二線段長(zhǎng)度之比、二封閉圖形面積之比不變 的_仿射不變性質(zhì)和一仿射不變量.因而，當(dāng)我們要研究初等幾何中圖形的仿射性質(zhì)吋，可 以在已知條件下做出它的一個(gè)比較容易研究的仿射對(duì)應(yīng)圖形，由研究圖形的相關(guān)性質(zhì) 轉(zhuǎn)而得出圖形的性質(zhì).例1 （國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）證明g為mbc重心的充要條件是= s&gc =圖1證明

12、 如圖1,在正mbc中，若g是正mbc的重心，則g也為內(nèi)心，即g到三邊 距離 gdgegf 相等做 smgb=szgc二*bgc反之若sg = s“gc = s、rgc，因?yàn)閍b = bc=ac,故g到三邊的距離gd, ge,gf相等，即g是正abc的內(nèi)心，從而g也是重心.根據(jù)仿射性質(zhì)的特點(diǎn)，命題対止三角形成立，所以對(duì)一般的三角形也成立.例2求證：“正方形abcd的一組鄰邊上有e,f兩點(diǎn)，且efiiac.則aaeb和cfb而積相等“（見(jiàn)圖2）刪除的內(nèi)容:射圖2證明 將此命題作一仿射對(duì)應(yīng)，迪對(duì)應(yīng)后的記號(hào)不變，使正方形a bc d對(duì)應(yīng)平行川邊形abcd, e對(duì)應(yīng)e, f對(duì)應(yīng)f.在正方形abc d

13、（見(jiàn)圖2）顯然有aae b mac e b由于兩個(gè)多邊形面積z比為仿射不變量，所以在平行四邊形abcd中,aaeb和acfb面積相等.丁是可得另一命題“平行四邊形abcd的一組鄰邊上有兩點(diǎn)，且efhac, 則aeb和acfb面積相等”.例3已知l,m,n分別為分mbc的三邊ab,bc,ca成相同比例的兩個(gè)線段 的三等分點(diǎn)，求證:aabc和厶mn有相同的重心.證明 經(jīng)適當(dāng)仿射變換將aabc變成正三和形ab c （如圖3）.刪除的內(nèi)容：反射設(shè)止三角形abc的重心為gun "別為l,m,n在仿射變換下的象 因仿射變換保持單比不變.故可得al'm'n是正三角形,h.gl=gm

14、 =gn因此g是alm n的重心，即abc和lmn有相同的重心，乂仿射變換保持三角形重心不變，故m3c和厶mn重心相同.2.1.2仿射坐標(biāo)系的應(yīng)用在初等兒何屮，對(duì)僅涉及到圖形的有關(guān)仿射性質(zhì)命題的研究，還可以通過(guò)仿射坐標(biāo)系這個(gè)重要工具與橋梁，運(yùn)用代數(shù)的方法加以解決.相對(duì)于笛氏坐標(biāo)系，仿射坐標(biāo)系的 處標(biāo)軸和單位長(zhǎng)度的選取具有任意性，我們可以根據(jù)問(wèn)題的具體條件而按需要適當(dāng)?shù)?建立，因而用此方法處理問(wèn)題，常nj以避免繁瑣的兒何與三角問(wèn)題，解題思路簡(jiǎn)單，計(jì)算 非常方便.例4從三角形一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊三等分點(diǎn)作線段，過(guò)第二頂點(diǎn)的中線被這些分成 連比x:y：zx> y>z.求兀：y：z的值.圖4解

15、如圖4所示，建立仿射坐標(biāo)系，取(0,0),£)(1,0),e(2,0), c(3,0),4(0,1).31i易知hf*)，直線bf的方程為 尸 討直線ad的方程為y =-兀+ 1,直線ae的 方程為y = -* + 1.于是直線bf與ad的交點(diǎn)為g(-,-)，直線bf與ae的交點(diǎn)為/(-,-).4 45 5設(shè)竽=2,由有向線段定比分點(diǎn)公式有 一從而得2 = 2,即竽=2乂gh1 + 243 gh 3設(shè)竺=2，同樣由定比分點(diǎn)公式可得a'=-,bp hf2 hf 2所以，得 x:y：z = bg:gh:hf=5:3:22.2射影幾何在初等幾何中的一些應(yīng)用射影幾何對(duì)初等幾何教學(xué)的指

16、導(dǎo),不僅衣現(xiàn)在提高數(shù)學(xué)思想與觀點(diǎn)上，述直接衣現(xiàn) 在對(duì)初等兒何圖形的射影性質(zhì)的研究中.刪除的內(nèi)容：1山射彩幾何、仿射幾何和歐式幾何三者的關(guān)系，我們知道，歐式幾何為仿射幾何及 射影兒何的子兒何,在其屮可以討論仿射兒何的對(duì)象（仿射不變性質(zhì)和仿射不變暈） 和射影對(duì)象（射影不變性質(zhì)和是射影不變量），因而可以用射影幾何去指導(dǎo)與研究初 等幾何中的一些問(wèn)題.例5 設(shè)三直線prqqarr?交于一點(diǎn)s ,片馬,q，&凡分別交兩直線oxvox2于點(diǎn)a，q,尺與巴,02,忌求證直線a02與的交點(diǎn),q&2與02尺的交點(diǎn)rp?與rf的交點(diǎn)在一條直線上，且所在宜線通過(guò)0.圖5圖5'證明 將直線os投

17、影到無(wú)窮遠(yuǎn)，這只需在直線oxpojg所在平面兀外任取一點(diǎn) w ,取平面龍平行于v與os所定的平而，則以v為投影中心建立龍向龍的中心投彩將 os投影到71的無(wú)窮遠(yuǎn)直線0$ （如圖5）設(shè) xpx2,/>,e；,/?;,/>*,e2，/?2 分別是 x】,x2，r,q,r“p2，q2，r2 在中心投影下的象. 在圖5中，顯然直線pq2與p2q的交點(diǎn),qr2與q2r的交點(diǎn)，尺出與r2p；的交點(diǎn)在一 條直線上,且所在的直線平行于r,a,尺所在的直線或p2,q29r2所在的直線.由于中心投影保持結(jié)合性不變，所以在圖5里有片02與巴q的交點(diǎn)，0尺2與& 的交點(diǎn)，&鬥與r*的交點(diǎn)在

18、一條直線上，口點(diǎn)0也在這三點(diǎn)所在的直線上.例6命題：“已知behcf ,bc交be,cf分別于b,c,圓與b e,bc,cf分別相切于e,d,f,bf交ec于t,則dt/be/cf ”（見(jiàn)圖6）.圖6圖6證明此命題顯然為真.因?yàn)閍bet = afct,于是ct cfte be'又因?yàn)閏d 二cf ,bd = be,故ct _ cd te bd從而dt/be/cf,即得證嘰d如圖6所示，mbc的旁切圜切邊bc 丁切邊ab和ac的延長(zhǎng)線丁乜和 f ,bf交ec于7作一射影變換，若各點(diǎn)在射彫變換后的記號(hào)不變，使射影變換后 mbc的旁切圓為一圓,ef變?yōu)閳A的直徑,a為乖直于直徑ef的直線相對(duì)應(yīng)

19、的無(wú)窮 遠(yuǎn)點(diǎn).（見(jiàn)圖6）.于是可得另一命題“ aabc的旁切i員【切邊bc于d沏邊ab和ac的延長(zhǎng)線于e和f ,設(shè)t是直線bf與ce的交點(diǎn)，則點(diǎn)a,dj共線.”由原命題得此命題亦為真.2.3交比、調(diào)合比在初等幾何中的應(yīng)用交比、調(diào)合比是射影幾何的兩個(gè)基木不變量，它們可用來(lái)解決許多初等幾何問(wèn)題, 是溝通高等兒何和初等兒何的有效方式.利用交比、調(diào)合比可以證明初等兒何屮共點(diǎn)、 共線、線段相等的問(wèn)題是非常簡(jiǎn)便的,而且計(jì)算交比的方法也適用于所有的二階曲線,這樣就口然地將蝴蝶定理推廣到橢圓、拋物線、雙卅線上.例7 （蝴蝶定理）在圖7中，過(guò)弦bc的中點(diǎn)a的任何兩弦pq,rs,設(shè)ps,r q分別交bc于.求證：

20、am = an .圖7證明連sb,sc,q3,qc,則s(bp,rc) = q(bp,rc)再市直線bc截這兩組等交比的直線，則(3m,ac) = (ba,nc)由此可知bamc bnacbc mc bc an 由已知b4 = ac得mc _ bn所以mc-ma 二 bn an maan -又因?yàn)閙c-ma = ac f.bn 一 an = bn所以ma = an例8求證："一個(gè)角的兩邊與這個(gè)角的內(nèi)外角平分線調(diào)和共扼”.圖8圖8'證明 在圖8中，c,d順次為z(o,b)的內(nèi)外角平分線,作直線z與d平行,則/丄c 若/交a,b,c于a,b,t,于是aaob為等腰三九形，兇此at

21、 = tb.令/與d的所交的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為pg,則所以(ab,cd) = -l.如圖8'所示,c順次為上(a,b)的內(nèi)外角平分線，直線z與a,b,c9d分別交于a,b,t,p.由于(ab,cd) = (ab,tp)又因bp = -pb所以atpb = btap即at apbt pb于是可得初等兒何屮的角平分線性質(zhì)定理一一在abc屮，ad平分za,交邊 bc于d,則也=型.ac cd例9如圖9所示，直線7交aabc的三邊或其延長(zhǎng)線于l,m,n,ham,bn,cl交成-個(gè)三角形pqr,求證:三直線共點(diǎn).圖9圖9'證明 利用屮心射影將l,m,n所在的宜線&投射到無(wú)窮遠(yuǎn)宜線，作圖9

22、的對(duì)應(yīng) 圖形9'.因?yàn)椋海琺q ng是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以ab /qr bc iipr, ca/pq故四 邊形abcr與bc ap都是平行四邊形.所以p a = bc = ar：即得a是pr的 中占i 八、同理町得，b是p0的中點(diǎn)，c'是07?'的中點(diǎn)，即aqbrcp是pqr三邊上的屮線，且交于一點(diǎn)s',故由中心射影同素性和接合性知交于一點(diǎn)s.例10求證三角形的三條外角平分線和對(duì)邊相交，所得三點(diǎn)共線.e(ei)圖10證明 如圖10,aabcm,設(shè)zc的外角平分線交ab t點(diǎn)的外角平分線 交bc于點(diǎn)、f,zb的外角平分線交4c于點(diǎn)g,za,zb,zc的內(nèi)角平分線aa.,bb、,cc,相交于一點(diǎn)p,ab與£色，bc與b.cac與a,c,分別交于厶/,g.由德薩 格定理可得厶，百,g共線.又因(34, c£) =a.f) = -1,(ac, bq) = -1在完全四點(diǎn)形caf即人根據(jù)調(diào)和性質(zhì)得(ba,c、ej = -1故(ba，ge) = (ba,c、ej即可得e與厶重合，同理可得f與片,g與q重合.所以,e,f,g三點(diǎn)共線.2.4德薩格定理及其逆定理在初等幾何中的應(yīng)用例11試證三角形的三