探根求源方為學(xué)教學(xué)有方斯為教

1、探根求源方為學(xué) 教學(xué)有方斯為教探根求源方為學(xué)教學(xué)有方斯為教關(guān)于估算的木體性知識探究【摘要】“估算”是數(shù)學(xué)新課程中新增加的內(nèi)容。有關(guān)這一內(nèi)容，實(shí)際教學(xué)中存在三個(gè) 令人深思的問題：“估一估”等同于“估算”嗎？“人約”等同于“估算”嗎？以 “結(jié)果是否與精算最接近”為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)合理嗎？通過解讀與估算相關(guān)的本體性知識，本文 旨在對這三個(gè)問題進(jìn)行深入解答?！娟P(guān)鍵詞】估算；本體性知識；連續(xù)量；離散量；“估算”是數(shù)學(xué)新課程中新増進(jìn)的內(nèi)容，在估算的教學(xué)過程中出現(xiàn)了如下的一些教學(xué)現(xiàn) 象。比如：【現(xiàn)象一】在一次教研活動(dòng)中，筆者聽到某位教師對“估一估”作出如下解釋：估一估 般多指估算，除了計(jì)算屮有估算外，在空間與圖形測

2、量教學(xué)屮也有估算,，【現(xiàn)象二】在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)屮，常聽到有老師這樣教學(xué)生：“問題屮有'人約'的要估 算；問題中有'大約'而且信息中也有'大約的不用估算?！薄粳F(xiàn)彖三】某次聽課時(shí)，筆者觀察到任課教師設(shè)計(jì)了如下的對比練習(xí)。教師出示 469一6這道題，請孩子們估一估。學(xué)生估成：4694-64204-6=70 469十64806二80教師接著問道：“請你比-比哪-種估的方法對？ ”學(xué)生冋答：“把469看成480這種方法對！因?yàn)?69與480只差11,而469與420的差 是49,所以把469看成480這種方法是對的！”接著教師把469*6=420一6二70這種方法隱

3、去。由以上三種現(xiàn)象，可以引出下面幾個(gè)問題：“估一估”等同于“估算”嗎？"大約”等 同于“估算”嗎？以“結(jié)果是否與精算最接近”為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)合理嗎？對這三個(gè)問題的解答 涉及到與估算相關(guān)的本體性知識。所謂數(shù)學(xué)教師的本體知識是指，數(shù)學(xué)教師所具有的特定 的數(shù)學(xué)學(xué)科知識。近段時(shí)間筆者帶著這三個(gè)問題，本著“探根求源方為學(xué)”的思想探究與 估算相關(guān)的本體性知識?，F(xiàn)將自己的拙見具體闡述如2一、“估一估”等同于“估算”嗎？ 關(guān)于“估”的含義理解?！肮?估”等同于估算嗎？ “估一估”的“估”指的是“估計(jì)”的意思。估計(jì)按形式 分可以分為數(shù)量估計(jì)（或估數(shù)）、測量佔(zhàn)計(jì)（或估測）、計(jì)算估計(jì)（或估算）。三者分別 落實(shí)在

4、“數(shù)的認(rèn)識”、“數(shù)的運(yùn)算”以及“量-與計(jì)量”三個(gè)教學(xué)吟擰j估計(jì)數(shù)量佔(zhàn)計(jì)（估數(shù)y測量彳古計(jì)“古測l計(jì)算估計(jì)“古算'教材三二年級大約有多少人參加學(xué)校運(yùn)幼會(huì)?內(nèi)容z中。三者z間的關(guān)系相輔相成，它們的共同目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)牛的數(shù)感。用圖表解讀 三者關(guān)系如卜圖：關(guān)于估數(shù)。估數(shù)也就是估計(jì)某個(gè)數(shù)u人約有多少。如：一年級下冊第31頁（如上 圖）的看小羊圖訃孩子們估一估羊的數(shù)忖；四、五年級萬以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識、億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識 的教學(xué)時(shí)讓孩子們找-個(gè)數(shù)的近似數(shù)等都是估數(shù)教學(xué)。而平時(shí)我們認(rèn)為的估算方法 “四舍五入法”、“去尾法”、“進(jìn)一法”其實(shí)都是在估數(shù)時(shí)所采用的方法。關(guān)于估測。估測指蘊(yùn)含于測量教學(xué)中的估計(jì)。如：教學(xué)米

5、、分米、厘米、毫米的認(rèn)識 時(shí)，建立單位長度概念后，讓孩子估一估實(shí)物的長度；在教而積單位這一知識點(diǎn)時(shí)，讓孩 子們估計(jì)教室的人小等等都是估測教學(xué)。關(guān)于估算。估算是在日常生活中無法進(jìn)行精確計(jì)算，或沒有必要算出精確結(jié)杲時(shí)所采 用的一種計(jì)算方式，它能對數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行合理的概算或推斷。從現(xiàn)實(shí)來看，估 算能力是現(xiàn)代化社會(huì)生活的需要，是衡量人們計(jì)算能力的重要標(biāo)準(zhǔn)z。教材從二年級開 始安排了人量的估算教學(xué)?！艾F(xiàn)象一”中正是因?yàn)檫@位教師的本體性知識缺失，對佔(zhàn)算作出了錯(cuò)謀的解讀，并將 “估一估”與“估算”等同起來。所以，數(shù)學(xué)教師只有明確了 “估”的含義，在教學(xué)中才 能避免只垂視佔(zhàn)算教學(xué)而輕視估測和估數(shù)教學(xué)的

6、現(xiàn)象。教師也能自覺地在佔(zhàn)數(shù)和佔(zhàn)測教學(xué) 中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，從而讓學(xué)生能較輕松地掌握估算。二、“大約”等同于“估算”嗎？ 關(guān)于“連續(xù)量和離散量”的理解。“現(xiàn)象二” 中教師為什么會(huì)教學(xué)生“問題中有'大約'的要估算，問題中有'大約'而且信息中也有 '大約'的不用估算”呢？因?yàn)樵谌私躺绲慕滩闹泻芏嘁荒昙塺p3i數(shù)數(shù)地方都用“人約” 一詞來描述給出的信息和問題，如下所舉例子。1 ."八不o #大夕勺九65米彳也從家*2大th 冬九8分葉° 他戻$巨呼#死大約冇多選？2. 毎鈴詫坐2個(gè)人.叨蚣祈買皋200倉詫索 村共可以業(yè)各少人？3 . 陽

7、疋j、悄痂個(gè)年劉i和是136人.全按16個(gè)牛夕zl 卄有齊少人？1 . 均毎ti大約裝多：-個(gè)？124 - 120120千340 卡朗摩人大約適40 u&o個(gè)-t fx jr-26o< 仕 240.作 2boe教材四孕叔叔_他們?nèi)似絪勺祥人大約；注多-y 46?124“教材一中第二題需要估算嗎？為什么？ ”“教材二中提示孩子們用估算完成第一個(gè)問 題這個(gè)問題用精確計(jì)算行嗎？ ” “教材三和四屮的“人約”和教材一、二中的“大約”表 達(dá)的含義有什么不同呢？ ”這一系列問題就涉及到估算教學(xué)背后教師的木體性知識對 連續(xù)量和離散量這兩個(gè)數(shù)學(xué)概念的理解和表達(dá)?！按蠹s”所表達(dá)的兩層含義。1連續(xù)

8、量是指隨著時(shí)間連續(xù)變化的物理量。它具有連續(xù)的特征，具有近似屬性。連續(xù)量 對通過測量或計(jì)算得到，與止實(shí)數(shù)相對應(yīng)。身高、體垂、溫度、時(shí)間、平均速度等都是連 續(xù)量。本文以病人的體溫變化為例加以說明。某位病人6時(shí)和12時(shí)所記錄的體溫分別是 39. 5°c和 38°c,但這并不表示病人8時(shí)的時(shí)候沒冇體溫。從統(tǒng)計(jì)圖中可知，8時(shí)的時(shí)候病人的體溫介丁 39. 5°c和38c之間。由此可以對教材一中的“人約吐絲1500米”作岀分析?！叭思s吐絲1500米”是個(gè)連續(xù)量，無論在“1500米”前面有沒有“大約”這個(gè)詞語,“1500米”都是一個(gè)近似數(shù)。因?yàn)椴豢?能每條蠶吐絲的數(shù)量都正好是15

9、00米，“1500米”是用求平均數(shù)的方法得到統(tǒng)計(jì)量。用± “人約”這個(gè)詞語只是為了能夠更加嚴(yán)密地描述統(tǒng)計(jì)量，體現(xiàn)出連續(xù)量的近似屬性 將“1500米”視同準(zhǔn)確數(shù)使用，所以這里的“大約”沒有讓學(xué)生進(jìn)行估算的意思。那么教材二中小男孩提示學(xué)生：“第一個(gè)問題可以用估算?！钡菍W(xué)生如果直接計(jì)算出 65x8=520在這里可不可以呢？可以從以下兩方而分析:一是這部分內(nèi)容已經(jīng)安排在復(fù)習(xí)整 理階段，65x8讓學(xué)生進(jìn)行口算己經(jīng)沒有什么難度；二是小軍每分鐘人約走65米,是一個(gè) 通過測量得到的連續(xù)量,取值時(shí)已經(jīng)是近似數(shù)，在5. 一個(gè)尺鼻経耳村x 3金膠耳大均舗鶴$少jk i?湖邊件對4檜祚甘. 冇 62

10、71;» 矣 藥夕鼻?67.-篡丈*400字.小 丁蕊執(zhí)平均鬲分艸 和53金字8分斤能 打定嗎？小學(xué)階段我們視它為準(zhǔn)確數(shù)使丿i。這里的“大約”應(yīng)該是為了表達(dá)出連續(xù)量的近似屈 性。由此看來解決這個(gè)問題不需要用估算!教材編排這道題的n的是為了讓教師在教學(xué)時(shí) 復(fù)習(xí)整理三年級上冊所學(xué)的乘法估算，但是索材的選擇上值得商榷，因此教師在教學(xué)時(shí)可 以更換成其他史能體現(xiàn)估算價(jià)值的情景。由以上兩個(gè)例了可見，教材中一部分地方用到“大約”是為了嚴(yán)密性地描述連續(xù)量，體 現(xiàn)連續(xù)量的近似屬性現(xiàn)實(shí)世界中的連續(xù)量一定是近似的。考慮到小學(xué)生的年齡特征與 知識水平，約定俗成地將其視為準(zhǔn)確數(shù)使用了。2離散量是指按時(shí)間點(diǎn)采樣

11、的物理量，具冇精確性的特征，與口然數(shù)和對應(yīng)。人數(shù)、座 位數(shù)、單價(jià)、門票數(shù)等都是離散量。在一定的情景中，離散量需要用近似數(shù)來描述，這個(gè) 時(shí)候就需要估算了。以離散量的函數(shù)圖像為例。tl和12這兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)都有對應(yīng)的數(shù)量，而 介于tl和t2之間的時(shí)間點(diǎn)上就沒冇對應(yīng)的數(shù)量了。教材三和教材四中，水杲的箱數(shù)和小朋友的人數(shù)都是離散量，也就是準(zhǔn)確數(shù)。在教材所設(shè)置的情景中，需要我們將這兩個(gè)準(zhǔn)確數(shù)描述成整|、整百數(shù)來解決問題，這里的“人約”就有估算的意思。由此町見，此“人約”非彼“人約”，這里“人約”表 達(dá)了在一定情景屮需要找離散量的近似數(shù)這個(gè)意思，即估算的意思。綜上所述，教材屮的“大約”表達(dá)了兩層意思：一是為了嚴(yán)

12、密地描述連續(xù)量，體現(xiàn)連續(xù) 量的近似屬性；二是在一定情境中需要找離散量的近似數(shù)即需要估算。因此，“人約”不 等同于“估算”，現(xiàn)象二中教師的教學(xué)方法顯然是錯(cuò)誤的，教師対估算木體性知識的不理 解是造成這種現(xiàn)彖的內(nèi)在原因。但是客觀上教材對于“人約”的這兩個(gè)意義詮釋的不完整 也誤導(dǎo)了教師對教材的解讀。(-)教材中存在的矛盾之處。教材對于“大約”的這兩個(gè)意義詮釋的不完整，甚至存在一些錯(cuò)誤，主要體現(xiàn)在兩個(gè)不 統(tǒng)一 z處。(1) 海龜?shù)膲勖蠹s是青蛙的多少倍?(2) 你還能提出哪些問題？每秒游11米毎鈔跳18來 每杪胞31米叭20秒大約跑多少米？ £30秒大約跳多少米？亠、1分鐘大約游多少米?1 例

13、題和練習(xí)不統(tǒng)一。估算教學(xué)的例題基木上沒有岀現(xiàn)“大約”這個(gè)詞語，都是川再現(xiàn)生活情境的方式讓學(xué)生 體會(huì)“在一定的情景中，離散量需要用近似數(shù)來描述”的含義（即估算的含義）。在實(shí)際 生活情景中學(xué)生十分容易理解為什么要佔(zhàn)算。但是在安排練習(xí)的時(shí)候，不可能所有的題冃 都再現(xiàn)生活情境，于是不得不用上"大約”這個(gè)詞語來表達(dá)“在一定的情景中離散量需耍 用近似數(shù)來描述”這個(gè)意思。在這種情況f,如果教師木體性知識不夠豐富，很容易被誤 導(dǎo)為看到“大約”就要估算。學(xué)生如果沒有系統(tǒng)構(gòu)建“人約”的意義，很容易誤以為“人 約”就一-定是估算。2教材本身對“大約”使用不統(tǒng)-。如以上教材，動(dòng)物活的時(shí)間和動(dòng)物跑動(dòng)的速度都應(yīng)

14、該是連續(xù)量，教材在描述這兩個(gè)量的 時(shí)候卻出現(xiàn)了不統(tǒng)一的現(xiàn)象。在第八題的信息和問題中都用上“人約”，意在體現(xiàn)連續(xù)量 的近似屬性。而在第七題已知信息中沒有出現(xiàn)“大約”，約定俗成地視動(dòng)物跑動(dòng)時(shí)間為準(zhǔn) 確數(shù)，然而在問題屮出現(xiàn)“人約”就有了提示學(xué)生進(jìn)行佔(zhàn)算的意思。因此，對連續(xù)量描述 的不統(tǒng)一讓教師不知道在表達(dá)連續(xù)量的吋候究竟要不要用上“大約”，也謀導(dǎo)著學(xué)生看到 “大約”就要估算。教材中這樣的問題還有很多，因此教師本體性知識是否豐富就顯得非常重要。教師只有 理斛了 “人約”表達(dá)的這兩層意義，才能止確地理解教材；才能自覺地幫助學(xué)生構(gòu)建“人 約”的意義。其實(shí)在統(tǒng)計(jì)教學(xué)和測量教學(xué)中連續(xù)量的近似屬性表現(xiàn)得更為明顯

15、。因此，教 師要從-年級起就重視測量教學(xué)和統(tǒng)計(jì)教學(xué)，利用這兩塊內(nèi)容幫助孩子構(gòu)建“人約”的意 義，為估算學(xué)習(xí)打好扎實(shí)的基礎(chǔ)。三、以“結(jié)果是否與精算最接近”為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)介理嗎？關(guān)于“絕對誤差和相對謀差” “區(qū)間概念”的建立。評價(jià)估算結(jié)果是否正確時(shí)，可以把估算分為兩種情況：一種是根據(jù)實(shí)際問題進(jìn)行的估 算；一種是脫離實(shí)際問題的純算式佔(zhàn)算。評價(jià)第一種估算的時(shí)候，學(xué)心能夠根據(jù)實(shí)際問題選擇合理的估算策略，并11結(jié)果合 理，教師就可評價(jià)這一估算是正確的。現(xiàn)象三中教師對純算式的估算進(jìn)行評價(jià)時(shí)，采用了 “結(jié)果是否與精算最接近”為評價(jià) 標(biāo)準(zhǔn)。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)合理嗎？下而以“48x86”為例展開討論。針對“48x86”這道題，

16、學(xué)生 可能會(huì)出現(xiàn)以下幾種估算方法：乘法被估算式估法最后值絕對步原式48x8641280單估法50x86佔(zhàn)小數(shù)（四舍五入法估 數(shù)）440017248x90估大數(shù)（四舍五入法估 數(shù)）4320192雙估法50x90兩數(shù)均估（四舍五入法估數(shù)）450037250 x 8040x90兩數(shù)異向調(diào)整4000360012852840 x 80兩數(shù)同向調(diào)整3200928乘法被估算式估法最后值原式48x86一4128單佔(zhàn)法50 x 86估小數(shù)（四舍五入法估數(shù)）440048x90估大數(shù)（四舍五入法估數(shù)）4320雙估法50x90兩數(shù)均佔(zhàn)（四舍五入法估數(shù)）450050x8040x90兩數(shù)異向調(diào)整4000360040x80

17、兩數(shù)同向調(diào)整3200如何評價(jià)這么多結(jié)果呢？這里就涉及到與估算相關(guān)的木體性知識 “絕對誤差和相 對誤差”、“區(qū)間”這三個(gè)數(shù)學(xué)概念。絕對誤差反映的是測量值偏離真實(shí)值的人小，即為準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的差似絕對值。相對 謀差指測量值的絕對誤差與測量值z間的比，即百分誤差。以第一種估算結(jié)杲為例： 48x8650x86=4400這種估法的絕對謀差是| 4400-4128| =172 ,相對誤差是： 17244003. 91%0引用某位專家教師的觀點(diǎn)：結(jié)合生活實(shí)際，大數(shù)比小數(shù)多的百分?jǐn)?shù)小 于30%。可以用“差不多”來描述大數(shù)與小數(shù)的大小關(guān)系。即大數(shù)與小數(shù)的百分誤差小于 30%,這兩個(gè)數(shù)描述為“差不多”。觀察48x

18、86這道題，每一種估法的百分誤差都小于 30%,所以這里每種估計(jì)結(jié)果對另外三種運(yùn)算，即加、減和除，也可以簡單地進(jìn)行列舉。 就會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生估算的結(jié)果與精確值的相對誤差均不人。即便看上去絕對誤差較人，但計(jì)算 相對誤差均較小，這和我們小學(xué)階段多采用“四舍五入”估數(shù)法不無關(guān)系。因此，在進(jìn)行評價(jià)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)建立區(qū)間概念，也就是學(xué)生的估算結(jié)呆只要落在某個(gè)區(qū) 間內(nèi)，就應(yīng)視為合理。而這個(gè)區(qū)間也就是算式的取值范圍。如“48x86”的取值范圍在 3200至4500之間，只要學(xué)生佔(zhàn)的結(jié)果落在這個(gè)區(qū)間即可視其合理。（如圖）當(dāng)然對不同年齡的學(xué)生，要有不同的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。對剛接觸估算的低年級學(xué)生，估的結(jié)果 相對應(yīng)的區(qū)間范圍可以相對大些。隨著學(xué)生年級增高，教師就應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不斷反思和 調(diào)整，從而使學(xué)生的估算結(jié)果能落在更準(zhǔn)合理的位子上。如：“48x86”這個(gè)式子（如 圖），三年級下冊的時(shí)候估算結(jié)果落在黃色區(qū)，經(jīng)老師指導(dǎo)學(xué)牛:學(xué)會(huì)調(diào)整，四年級的時(shí)候再估 算可能就落在藍(lán)色區(qū)域，四