《等比數(shù)列前n項和》(長沙市六中-鐘輔君)

1、 1從在教材中的地位與作用來看從在教材中的地位與作用來看 等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n n項和項和是數(shù)列這一章中的一個重是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)學(xué)素養(yǎng) 2從學(xué)生的認(rèn)知角度來看從學(xué)生的認(rèn)知角度來看 學(xué)生很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前學(xué)

2、生很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n n項和從公式的項和從公式的形成、特點等方面進(jìn)行類比，這是認(rèn)知的形成、特點等方面進(jìn)行類比，這是認(rèn)知的有利因素有利因素認(rèn)知認(rèn)知的的不利因素不利因素有：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前有：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列前n n項和公式項和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對學(xué)生的思維定勢是一個突破，的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對學(xué)生的思維定勢是一個突破，另外，對于另外，對于q q=1=1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯是在后面使用的過程中容易出錯 3學(xué)情分析學(xué)情分析 教學(xué)對象是剛進(jìn)入高中的學(xué)生，雖然具有一定教學(xué)對象是剛進(jìn)

3、入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因而片面、不夠嚴(yán)謹(jǐn)卻缺乏冷靜、深刻，因而片面、不夠嚴(yán)謹(jǐn) 4重點、難點分析重點、難點分析 本節(jié)課的本節(jié)課的重點是公式的推導(dǎo)、公式的特點和公式的重點是公式的推導(dǎo)、公式的特點和公式的 運(yùn)用；難點是公式的推導(dǎo)方法及公式應(yīng)用中運(yùn)用；難點是公式的推導(dǎo)方法及公式應(yīng)用中q q與與1 1的關(guān)系的關(guān)系 這樣確定重點，既能夯實這樣確定重點，既能夯實“雙基雙基”，又凸現(xiàn)了掌握，又凸現(xiàn)了掌握知識的三

4、個層次：識記、理解和運(yùn)用而公式推導(dǎo)用到知識的三個層次：識記、理解和運(yùn)用而公式推導(dǎo)用到了多種重要的數(shù)學(xué)思想方法，所以既是重點又是難點了多種重要的數(shù)學(xué)思想方法，所以既是重點又是難點 1知識與技能目標(biāo)知識與技能目標(biāo) 理解并掌握等比數(shù)列前理解并掌握等比數(shù)列前n n項和公式的推導(dǎo)過程、項和公式的推導(dǎo)過程、公式的特點，在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用公式解決與之公式的特點，在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問題有關(guān)的問題 分析：這一目標(biāo)體現(xiàn)了基礎(chǔ)知識的落實、基分析：這一目標(biāo)體現(xiàn)了基礎(chǔ)知識的落實、基本技能的形成，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的首要環(huán)節(jié)，也正本技能的形成，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的首要環(huán)節(jié)，也正符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要

5、求 2過程與方法目標(biāo)過程與方法目標(biāo) 通過對公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透通過對公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，向?qū)W生滲透特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力向思維的能力 分析：因為數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的是通過思想方分析：因為數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的是通過思想方法的滲透以及思維品質(zhì)的鍛煉，從而讓學(xué)生在能力法的滲透以及思維品質(zhì)的鍛煉，從而讓學(xué)生在能力上得到發(fā)展上得到發(fā)展 3情感、態(tài)度與價值觀情感、態(tài)度與價值觀 通過對公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化學(xué)生

6、的通過對公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，滲透事物之間等價轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實際的思維品質(zhì)，滲透事物之間等價轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實際的辯證唯物主義觀點辯證唯物主義觀點 創(chuàng)設(shè)情境，創(chuàng)設(shè)情境，提出問題提出問題師生互動，師生互動，探究問題探究問題類比聯(lián)想，類比聯(lián)想，解決問題解決問題討論交流，討論交流，延伸拓展延伸拓展變式訓(xùn)練，變式訓(xùn)練，深化認(rèn)識深化認(rèn)識例題講解，例題講解，形成技能形成技能總結(jié)歸納，總結(jié)歸納，加深理解加深理解課后作業(yè)，課后作業(yè)，分層練習(xí)分層練習(xí)故事結(jié)束，故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)首尾呼應(yīng) 引入：印度國際象棋發(fā)明者的故事引入：印度國際象棋發(fā)明者的故事（西（西 薩）薩）設(shè)計意圖：設(shè)計意圖： 設(shè)計

7、這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性故事內(nèi)容緊扣本節(jié)課的主題與重點2 23 36 63 31 1+ +2 2+ +2 2 + +2 2 + + +2 2= =設(shè)問：同學(xué)們，你們知道西薩要的設(shè)問：同學(xué)們，你們知道西薩要的 是多少小麥嗎？是多少小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥粒總數(shù)為引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù)為 在實際教學(xué)中，由于受課堂時間限制，教師舍不得花時間讓學(xué)生去做所謂的“無用功”，急急忙忙地拋出“錯位相減法”，這樣做有悖學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律：求和就想到相加，這是合乎邏輯順理成章的事，教師為什么不相加而馬上相減呢？在整個教學(xué)關(guān)鍵處學(xué)生難以轉(zhuǎn)過彎來，因而在教學(xué)中應(yīng)舍得花時間營造知識形成過程

8、的氛圍，突破學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙同時，形成繁難的情境激起了學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生急于尋求解決問題的新方法，為后面的教學(xué)埋下伏筆.設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：2 2師生互動，探究問題師生互動，探究問題探討探討: : 發(fā)明者要求的麥粒總數(shù)是：發(fā)明者要求的麥?？倲?shù)是：S6464=1+2+2=1+2+22 2+ +2+263 63 上式有何特點？上式有何特點？ 如果如果式兩邊同乘以式兩邊同乘以2 2得得 2 2S6464=2+2=2+22 2+2+23 3+ +2+26363+2+264 64 比較比較、兩式，有什么關(guān)系？兩式，有什么關(guān)系？ 留出時間讓學(xué)生充分地比較，等比數(shù)列前n項和的公式推導(dǎo)關(guān)鍵是變“加”為“減”

9、，在教師看來這是“天經(jīng)地義”的，但在學(xué)生看來卻是“不可思議”的，因此教學(xué)中應(yīng)著力在這兒做文章，從而抓住培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力的良好契機(jī)設(shè)計意圖：設(shè)計意圖： S6464=1+2+2=1+2+22 2+2+23 3+ +2+263 63 2 2S6464= 2+2= 2+22 2+2+23 3+ +2+26363+2+264 64 錯位相減法錯位相減法反思：反思： 縱觀全過程，縱觀全過程，式兩邊為什么要乘以式兩邊為什么要乘以2 2 ？ 兩式上下相對的項完全相同，把兩式相減，就可以消去相同的項，得到 6 64 46 64 4s s= = 2 2- -1 1 學(xué)生學(xué)生經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述

10、解法，會驚呼：真是太簡潔了！讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：3 3類比聯(lián)想，解決問題類比聯(lián)想，解決問題問題：問題： 在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學(xué)生自己探究公式，從而體驗到學(xué)習(xí)的成功和愉快設(shè)計意圖：設(shè)計意圖： nnaaqs 1設(shè)等比數(shù)列,首項為 ,公比為 ， 如何求前n和 ？112111 nnqaqaqaasnnnqaqaqaqaqs111211 探討探討1 1：探討探討2 2： 結(jié)合等比數(shù)列的通項公式 , 如何把 用 表示出來？（引導(dǎo)學(xué)生得出公式的另一形式）1naaq、n-1n1a= a

11、 qns 對不對？ =1時 =？ (這里引導(dǎo)學(xué)生對 進(jìn)行分 類討論，得出公式，同時為后面的例題教學(xué)打下 基礎(chǔ)） n11nn11na - a q (1 - q)s = a - a q s =1 - q 由 得 nsqq 設(shè)計意圖：設(shè)計意圖： 通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對知識的認(rèn)識，完善知識結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認(rèn)識，從而進(jìn)一步提高分析、類比和綜合的能力這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管用時比較少，僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛的作用4 4討論交流，延伸拓展討論交流，延伸拓展思路思路1 1：saaq aqaqaqaaa 2 2n n- -1 1n n1 11 11 11 1

12、1 11 12 2n n- -1 1 = =+ + + + + = =+ + ( (+ + + +) ) 234n123n-1aaaa= qaaaa 思路思路2 2：設(shè)計意圖：設(shè)計意圖： 以疑導(dǎo)思，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，營造一個讓學(xué)生主動觀察、思考、討論的氛圍以上兩種方法都可以化歸到 , 這其實就是關(guān)于 的一個遞推式，遞推數(shù)列有非常重要的研究價值，是研究性學(xué)習(xí)和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學(xué)生的思維發(fā)展有促進(jìn)作用. .1 1n n1 1n n qsasn ns5 5變式訓(xùn)練，深化認(rèn)識變式訓(xùn)練，深化認(rèn)識1 1 111 1 11 例例1: 1: 求求等等比比數(shù)數(shù)列列, , 前前8

13、8項項和和. .2 4 8 162 4 8 16 63631 1 111 1 111 1、 等等比比數(shù)數(shù)列列,前前多多少少項項的的和和是是? ?2 4 8 162 4 8 1664641 1 111 1 112 2、 等等比比數(shù)數(shù)列列,求求第第5 5項項到到第第1010項項的的和和. .2 4 8 162 4 8 161 1 111 1 113 3、 等等比比數(shù)數(shù)列列,求求前前2n2n項項中中所所有有偶偶數(shù)數(shù)項項的的和和. .2 4 8 162 4 8 16 設(shè)計意圖：設(shè)計意圖： 采用變式教學(xué)題組，深化學(xué)生對公式的認(rèn)識和理解，通過直接套用公式變式運(yùn)用公式研究公式特點這三個層次的問題解決，促進(jìn)學(xué)

14、生新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成通過以上形式，讓全體學(xué)生都參與教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的參與意識和競爭意識6 6例題講解，形成技能例題講解，形成技能 解題時，以學(xué)生分析為主，教師適時給予點撥，該題有意培養(yǎng)學(xué)生對含有參數(shù)的問題進(jìn)行分類討論的數(shù)學(xué)思想 設(shè)計意圖：設(shè)計意圖：231.n+ a+ a + a + a 例例2 2：求求和和 1 17 7總結(jié)歸納，加深理解總結(jié)歸納，加深理解 提出問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧公式及其推導(dǎo)方法，鼓勵學(xué)生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學(xué)思想方法兩方面總結(jié) 以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力設(shè)計意圖：設(shè)計意圖： 8 8故事結(jié)束，首尾呼應(yīng)故事結(jié)束，首尾呼應(yīng) 把引入課題時的懸念給予釋疑，有

15、助于學(xué)生克服認(rèn)知疲勞，促進(jìn)積極思維設(shè)計意圖：設(shè)計意圖： 646419641-2= 2-11.84 101-27000S（粒粒）約約億億噸噸 9 9課后作業(yè)，分層練習(xí)課后作業(yè)，分層練習(xí) 出選作題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，為學(xué)有余力的學(xué)生提供思考的空間必做： P129練習(xí)1、2、3、4選作：設(shè)計意圖：設(shè)計意圖： 2323.n x +x +x + nx 思考題(1):求和（2）“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？” 這個問題的答案是多少？ 對公式的教學(xué)，要使學(xué)生掌握與理解公式的來龍去對公式的教學(xué)，要使學(xué)生掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的推導(dǎo)方法，理解公式的成立

16、條件，充分脈，掌握公式的推導(dǎo)方法，理解公式的成立條件，充分體現(xiàn)公式之間的聯(lián)系在教學(xué)中，我采用體現(xiàn)公式之間的聯(lián)系在教學(xué)中，我采用“問題問題探究探究”的教學(xué)模式，把整個課堂分為的教學(xué)模式，把整個課堂分為呈現(xiàn)問題、探索規(guī)呈現(xiàn)問題、探索規(guī)律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個階段律、總結(jié)規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律四個階段 利用多媒體輔助教學(xué)，直觀地反映了教學(xué)內(nèi)容，使利用多媒體輔助教學(xué)，直觀地反映了教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生思維活動得以充分展開，從而優(yōu)化了教學(xué)過程，大學(xué)生思維活動得以充分展開，從而優(yōu)化了教學(xué)過程，大大提高了課堂教學(xué)效率大提高了課堂教學(xué)效率 本節(jié)課通過三種推導(dǎo)方法的研究，使學(xué)生從不同本節(jié)課通過三種推導(dǎo)方法的研究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了等比數(shù)列前的思維角度掌握了等比數(shù)列前n n項和公式項和公式錯位相減：錯位相減：變加為減，等價轉(zhuǎn)化；變加為減，等價轉(zhuǎn)化；遞推思想：遞推思想：縱橫聯(lián)系，揭示本縱橫聯(lián)系，揭示本質(zhì)；質(zhì)；等比定理：等比定理：回歸定義，自然樸實學(xué)生從中深刻回歸定義，自然樸實學(xué)生從中深刻地領(lǐng)會到推導(dǎo)過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生