《怎樣提高運算能力》+論文

1、怎樣提高運算能力黃漪卉1引言運算能力是數(shù)學(xué)能力的一個方面，它們之間的關(guān)系是整體與部分的關(guān)系。提高運算能力 是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項基本的、重要的內(nèi)容。運算能力的提高與發(fā)展與其他能力和因素密切聯(lián)系、 相輔相成。2運算與運算能力的概念及定義運算，是指在運算規(guī)律的指導(dǎo)下對具體式子進行變形的演繹過程。各種運算都有各自的 意義、法則、公式和有關(guān)運算律,都要求其結(jié)果具有存在性、唯一性和最簡性。運算過程中所 反映出的多種智力品質(zhì)和整體的素質(zhì)是由運算過程的復(fù)雜性，難易性和抽象程度所決定的。 運算中的智力品質(zhì)主要表現(xiàn)為在運算過程中，思維活動所表現(xiàn)出來的廣闊性、深刻性、靈活性、 敏捷性、批判性和創(chuàng)造性。整體的素質(zhì)主要體現(xiàn)

2、在運算時各種良好習(xí)慣的培養(yǎng)，是否具備較 強的邏輯推理能力，對復(fù)雜是事物處理能力，應(yīng)變能力。運算能力，是指不僅會根據(jù)法則、公式等正確地進行運算，而且也指理解運算的算理，能 夠根據(jù)題目條件尋求合理、簡捷的運算途徑，以及有較快的運算速度。3運算能力的特點運算能力的基本特點、有兩個31運算能力的層次性運算能力的層次性體現(xiàn)在由簡單的運到復(fù)雜的運算、由具體的運算到抽象的運算、由低 級的運算到高級的運算。例如：不掌握有理數(shù)的計算，就不可能掌握實數(shù)的計算；不掌握整式的計算，也就不可能 掌握分式的計算。不掌握有限運算，就不可能掌握無限計算。沒有具體運算的基礎(chǔ)，抽象運算 就難以實現(xiàn)。由此可見，運算能力是隨著知識面

3、的逐步加寬、內(nèi)容的不斷深化、抽象程序的不 斷提高而逐步發(fā)展的。如果說數(shù)學(xué)內(nèi)容的發(fā)展是無窮的，那么運算能力的提高也是永遠不會終 結(jié)的。3.1運算能力的綜合性運算能力既不能離開具體的數(shù)學(xué)知識而孤立存在，也不能離開其他能力而獨立發(fā)展。例 如：記憶能力是運算能力的“助手”，在解決具體問題中，對于最基本、最主要的內(nèi)容（公式及 其變形、常用數(shù)據(jù)等）達到牢固、長久地掌握程度有益于復(fù)雜運算的進行。此外，觀察力也十 分重要。觀察能力是運算能力的起始點。在這次實習(xí)批改作業(yè)中，常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在運算中的眾 多差錯的原因是缺乏觀察能力而導(dǎo)致錯誤的。善解題意這也是運算過程中的一個基本功。如 善于對公式進行“等價變形”有助于

4、運算靈活性的提高。此外，運算能力和理解能力、聯(lián)想 能力、表述能力等互相滲透的，它也和邏輯思維能力等數(shù)學(xué)能力相互支持著。因而提高運算能 力的問題，是一個綜合問題，在中學(xué)各科的教學(xué)過程中，努力培養(yǎng)計算能力，不斷引導(dǎo),逐漸積 累、提高。4運算能力的要求和培養(yǎng)運算能力的幾個階段根據(jù)運算能力的特點，對于中學(xué)數(shù)學(xué)運算能力的要求大致可分為三個層次。第一層：準(zhǔn)確性基本要求。例如：運算過程和結(jié)果都正確，并且每一步都有算理可循。第二層：運算的合理、簡捷、迅速較高要求。例如：運算時能夠依據(jù)題意，在保證運算正確的基礎(chǔ)上，選擇合理、簡捷的算法盡量的 提高運算速度。第三層：運算的技巧性、靈活性一一高標(biāo)準(zhǔn)要求。例如：運算時

5、善于觀察，利用經(jīng)驗或是創(chuàng)新的解法，合理、靈活地解決問題，充分體現(xiàn) 技巧性，和靈活性。如何發(fā)展運算能力培養(yǎng)和發(fā)展某一種運算的運算能力大致經(jīng)歷以下幾個階段：第一階段：理解有關(guān)運算的基本知識到形成這種運算的技能的階段。如：解一元次方程時,要按照解方程的步驟（去分母、去括號、移項、合并同類項、化未知數(shù)系數(shù)為 1）進行數(shù)式的運算，本著循序漸進的原則，開始不要跳躍，每一步運算應(yīng)有明確的依據(jù),運算過 程要規(guī)范、條理、面向全體學(xué)生來組織練習(xí)，完成從知識到技能的過渡。丄（兀+ 1）_3兀=丄兀例：54解：去分母，把等式的兩邊同乘20,得到4 （ x+1 ） - 60x=5x去括號得4x+4 - 60x=5x移項

6、得4x 一 60x - 5 x = - 4合并同類項得-61 x = 一 4系數(shù)化為一61第二階段：運算技能上升到運算能力的階段。在數(shù)學(xué)運算中，這個階段應(yīng)表現(xiàn)為題起點靈活，從不同角度來解決數(shù)學(xué)問題，另一方面應(yīng)表現(xiàn)出過程的靈活性，對各類公式、法 則運用自如，做到觸類旁通。例如：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。 “一定的方向”稱為平移方向，“一定的距離”稱為平移距離。°例 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點。為坐標(biāo)原點，二次函數(shù)丁 =對+伙一 5）兀-伙-4）的圖象交x軸于點a（西，0）點班兀2,0）,且（西+1）（兀2+1）=8。（1）求二次函數(shù)的解析式將上述二

7、次函數(shù)圖像沿x軸向右平移兩個單位，設(shè)平移 后的圖象與y軸交點為c,頂點為p,求apoc的面積。分析：拋物線的運動問題只需抓住頂點和開口方向這兩個要素的變化規(guī)律即可。一 般地總是先配方使之成為頂點式后再求解。關(guān)于平移的變化規(guī)律是：平移一頂點改變（“左加 右減，上加下減”）,開口不變。解：仃）由題意知州，勺方程"+伙-5）兀-伙-4）二0的根則西+吃=5 -kf ”2=_（k+4）由（州+i）（兀2+1）=_8 即】兀2+（州 + 勺）=_9 得-（k+4） + （5-k）=-9解k=5則所求二次函數(shù)解析式為，=%2_9由題意，平移后的函數(shù)解析式為 =（-2）2 -9則點c的坐標(biāo)為（0,

8、 -5）,頂點p的坐標(biāo)為（2,-9）所以apoc的面積s=2 x 5 x 2=5第三階段：在各種應(yīng)用中，進一步提高運算能力的階段。對于實際問題，數(shù)學(xué)僅作工具而起推算作用。在應(yīng)用過程中，運算的工具性和運算過程的思維性就更加突出。這 個階段的主線是知識技能與思維能力的結(jié)合。5學(xué)生的運算能力的狀況培養(yǎng)運算能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的之一，是“三基”的一項重要內(nèi)容，也是高考 的重要考查點，其重要性是顯而易見的。目前，中學(xué)生運算能力的狀況是很差的，在實習(xí)期間 指導(dǎo)老師告訴我說：“學(xué)生的計算能力太差了，連簡單的運算都過不了關(guān)，甚至數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好的 學(xué)生運算結(jié)果也常出差錯?！笨荚囍锌梢园l(fā)現(xiàn)很多學(xué)生客觀題的錯誤，

9、以及一些主觀提最后答 案的錯誤，歸根結(jié)底就是運算能力差，在計算上出錯。這些狀況的出現(xiàn)原因是多方面的。有些 學(xué)生只重視計算結(jié)果，而對計算過程的技巧性和規(guī)范性缺乏有意識的培養(yǎng)。有的學(xué)生不明算理, 對公式的的理解只停留在表面，機械地照搬公式。例如：化簡sin2acos2a （在實習(xí)期間批改作業(yè)時發(fā)現(xiàn)的）sin a cos a = sin 2a所有的學(xué)生都知道要用二倍角公式2,但是他們常常會在系數(shù)上出差sin 2a cos 2a = sin la錯，把結(jié)果算成2,這是沒有真正理解公式的一種體現(xiàn)，正確的答案是sin 2a cos 2a = sin4a2有的則是不顧運算結(jié)果，盲目推演，缺乏合理選擇簡捷運算

10、途徑的意識；也有的學(xué)生對提 高運算能力缺乏足夠的重視，他們總是把“粗心” “馬虎”作為借口。6提高學(xué)生運算能力的途徑與方法運算能力的特點決定了，運算能力的提高不是一朝一夕就能辦到的事，要循序漸進。提 高運算能力需要師生雙方長期的共同努力。在培養(yǎng)和提高運算能力的過程中教師首先要在思 想上重視它、采取適當(dāng)方法和有利的措施。6. 1思想上重視運算能力的提高從思想上重視運算基本功的提高，在實際訓(xùn)練中培養(yǎng)扎實過硬的運算基本功。在實際訓(xùn) 練中要做到多記、多練、多想、善于觀察、思維縝密，要在公式、規(guī)則、性質(zhì)、公理的指導(dǎo) 下去解決問題；不能盲目的亂搬公式亂套公式，應(yīng)理解公式的內(nèi)涵。思想上要重視。通過平時的練習(xí)

11、和作業(yè)讓學(xué)生吸取教訓(xùn)，充分認識到提高運算能力的重 要性，并能自覺的去培養(yǎng)和提高運算能力。在思想上的動員要靠平時的努力，要從小開始培 養(yǎng)。而不能等到考試時在去培養(yǎng)，因為運算能力的提高決非一朝一夕之功。例如：一些初中學(xué)生扌巴運算能力的鍛煉當(dāng)作額外的要求，平時對計算方面的培養(yǎng)沒有足 夠的重視。這就會導(dǎo)致運算基本功和運算的技巧的欠缺。等進入高中對運算能力又不加特別 訓(xùn)練，這樣會使學(xué)生的運算能力達不到要求，從而影響其他數(shù)學(xué)能力的發(fā)展和提高。因此， 平時應(yīng)重視這一能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，不僅注意解題思路，更應(yīng)追求解 題過程，要讓學(xué)生自己擺出解題過程，得到正確答案，提醒學(xué)生不要偷懶省事，并督促

12、他們 切實去做到。6. 2運算基本功的培養(yǎng)加強概念學(xué)習(xí)，培養(yǎng)扎實的運算基本功。數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)性在思維中的反映。數(shù)學(xué)運算必須 以有關(guān)概念為依據(jù)，同時運用一些基本概念本身就能解決一些基本運算問題并能找到解題的 途徑。注重加強基礎(chǔ)概念、公式和性質(zhì)教的教學(xué)，使學(xué)生真正理解和掌握數(shù)學(xué)概念是確保運 算正確、合理的基礎(chǔ)。理解和掌握數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式、法則是培養(yǎng)運算能力的前提。培 養(yǎng)學(xué)生解決問題的運算基本功，要求學(xué)生牢記公式，理解公式，能在運算規(guī)則的指導(dǎo)下解決問題，它是提高運算能力的重要基礎(chǔ)。因此要把培養(yǎng)學(xué)生的運算基本功當(dāng)作數(shù)學(xué)教學(xué)的一項 基本任務(wù)和重要職責(zé)。在制訂訓(xùn)練計劃時

13、，要結(jié)合學(xué)生的實際循序漸進，培養(yǎng)過硬的運算基 本功。例如：在學(xué)一元二次方程的解法時要求學(xué)生熟練掌握公式法：cix2+bx + c = 0在-b + j/? _ 4ac-b 一 >jb2 -4acox =x2 =少-4dc>o的情況下兩個根：2a ,2a。首先要熟記公式的形式，理解公式的意義，并能運用公式法解出一般的一元二次方程的根。再在熟練掌握公式法 的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)和掌握十字相乘法。cos(q ± 0) = cos a cos 0 干 sin q sin 0在學(xué)習(xí)兩角和與差的正弦公式，余弦公式時要求學(xué)生不僅要牢記公式sin(a ± 0) = sin a cos 0

14、 土 cos & sin 0的形式而且還要注意公式中的符號。并且能利用公式解決一些簡單的問題。如不通過查表求sin75°的值。解：首先可以把75°看成是30。+ 45。，根據(jù)公式得:sin (30。+ 45° ) =sin30 cos45 +cos30 sin45。1 v2 v3 v2xhx=2 2 2 2v2 + v6 4-培養(yǎng)和提高運算的合理性。運算時，不能從想當(dāng)然出發(fā)，從直觀出發(fā)，應(yīng)作到步步有根據(jù)，有充分理由，似是而非 含糊不清是不行的。例如：解不等式丁碗-4-厶-3 >0解一：依據(jù)根式的定義，先找到x i x> 3 1把不等式移項，平方

15、后得到x i x> 2 2去上式的兩個交集的x i 3 解二：為了突出根式的有意義的限制條件以及對不等式進行合理的變形，要求學(xué) 生將原不等式轉(zhuǎn)化為下列不等式求解3x-4>0< x-3>03x-4 > a/x-3進而3x-4>0v x-3>03x-4 > x-3兀n 4二 < x > 31x> 2從而x> 3所求的解為x i x> 3 o解法二不僅可以防止忽視對定義域思考，而且能使運算納入正確的的思維軌道。培養(yǎng)運算能力應(yīng)該加強和提高學(xué)生的記憶力。運算能力的提高與記憶能力密切相關(guān)，熟記一些常用公式、法則。這樣有利提高運算

16、速 度，和運算的準(zhǔn)確性。學(xué)習(xí)三角函數(shù)時學(xué)生應(yīng)該牢記特殊角三角函數(shù)值，以及各個三角函數(shù) 在四個象限中的符號。例如：不通過查表比較sin35°, cosl35:的大小。解：正弦函數(shù)在一二象限取正值血35°>0,余弦函數(shù)在第二象限取負值cosl35°<o.所以 sin 35 > cos 135°培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)展與觀察分析能力，是提高運算能力的一個方面。運算要注意觀察和分析，觀察是人們認識客觀事物的基本途徑，是發(fā)現(xiàn)和解決問題的前 提，也是發(fā)展學(xué)生智力、培養(yǎng)學(xué)生能力的基礎(chǔ)。因此，在解答問題的過程中，教師必須引導(dǎo) 學(xué)生認真地進行觀察。審清題意，明確已

17、知和未知，并抓住其特點，尋求解題的途徑?？b密的思維促進運算能力的提高，并能在一定程度上保證運算的正確性。縝密思維就是思維過程要符合邏輯思維規(guī)律注重思維的深刻性與嚴謹性.數(shù)學(xué)運算過程 當(dāng)然要合乎邏輯規(guī)律.在教學(xué)中，必須教育和訓(xùn)練學(xué)生，無論題目難易，都要認真仔細地審題, 真正理解題意弄清已知條件(包括隱含條件)和問題目標(biāo)，選擇合乎邏輯的運算方法，運算過 程要隨時校對，運算結(jié)束要進行檢查特別是對待那些似曾相識的問題，要克服“想當(dāng)然”，養(yǎng) 成縝密思維的習(xí)慣,確保運算的正確性。例如：求m的值,使方程» +(m-2) x-(m-3)=0的 兩個根的平方和最小。2誤解：設(shè)方程兩根為a . p ,由

18、根與系數(shù)的關(guān)系有ct+ p =-(m-2), cc 3 =-(m-3).則力+02 = （4 + 0）2 -2 ot p =（加 2）2 +2（m-3）=滬-2 m -2=（加 一1尸 一3,所以當(dāng) m =1時，有最小值_3。上述解答乍一看似乎是正確的，但稍作推敲就會發(fā)現(xiàn)其中忽略了方程兩根存在的條件, 必須有=(加-2)2+4(m-3)= -8 > 0,即或皿<-2血，而當(dāng)m=l時方程并沒有實 數(shù)根.究其錯誤的原因是由于推理違背了充足理由律正確解答是取m = 2d和m=-2v2時夕 + 0的較小值作為兩根平方和的最小值。6.3運算技巧方面的提高提高運算能力不僅在于加強計算能力，而且

19、包括分析問題、解決問題的能力，以及探求 創(chuàng)新的能力和靈活運用知識的能力。有些運算題看起來很復(fù)雜，用常規(guī)方法解決很困難，甚 至行不通，這就要求我們注意觀察，分析題目結(jié)構(gòu)，運算數(shù)的特征，努力探索，找出其中規(guī) 律和一些巧妙算法，化難為易，迅速解決問題。因此，根據(jù)具體問題的條件和要求，合理選擇 簡捷的運算途徑是提高和培養(yǎng)運算能力的關(guān)鍵。實施“簡捷算法”可從下面幾個渠道進行練 習(xí)。靈活把握概念，合理選擇簡捷運算途徑。這里主要指對概念的靈活把握。例如：已知方程處 +bx + c = 0的兩根分別是tan cc, tan p求tan ( cc +卩)的值。分析：這題可以用求跟公式求出tan ex , tan

20、 |3的值然后代入兩角和的正切公式。但是這 樣做的步驟繁瑣計算量很大。我們可以用利用根與系數(shù)的關(guān)系，和兩角和的正切公式展開的 特點。不直接求tana, tan |3 ,先求出tanot+tan (3 , tan a tan (3的值，然后代入兩角和的 正切公式即可求得tan ( oc + p )的值。解：根據(jù)跟與系數(shù)關(guān)系有：bctan a +tan 0 = a , tan a tan |3 = ° tan(»0)=湎”聞01 - tan tan 0haab=c-a適當(dāng)選擇公式。運算公式和法則是進行運算的基本依據(jù),在運用多種途徑解決問題時, 可選擇最優(yōu)的“變形公式”，這有助于

21、使運算合理和簡捷。特別是在解決有關(guān)三角函數(shù)的問題, 一定要注意公式的選擇。例如：已知sin a =0.3要求cos2 a的值。二倍角的余弦公式有三個，所以這時就要選擇適當(dāng)?shù)墓?，以求解題最簡單。根據(jù)已知條件我們會選擇公式：cos2o（=l-2sin26zo適當(dāng)換元、“代塊”實施簡捷運算。在不等式和方程的求解中，把非常規(guī)問題轉(zhuǎn)化為常 規(guī)問題，即把局部看作一個整體，看成一個“塊”，通過其中的塊來解決。例如：要解方程x4-3x2+2 = 0?當(dāng)然對于中學(xué)生來說他們沒有學(xué)過四次方程的解法。我2們經(jīng)過適當(dāng)“代塊”或能把它化為中學(xué)生熟悉的一元二次方程。我們假設(shè)y二兀并代入，那 么原方程變?yōu)閞-3y + 2

22、 = oo然后用十字相乘法可以解出r-3y + 2 = 0的兩個根。在由 就能求出x的根了。學(xué)會轉(zhuǎn)化方法提高運算能力。一些代數(shù)的運算問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決（數(shù)形結(jié)合）。例如：要求解不等式如果我們應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合的方法去解決這個問題，將會比用純代數(shù)的辦法解 容易得多。解：假設(shè)1那么）=兀+ 3它的圖象，如右圖所示，是拋物線的上半支。同時也假設(shè)力二2它的圖象, 是一條直線與拋物線交于p點。結(jié)合右圖就不難解出這個不等式了。?+3x -=8例如：解方程爐+3兀 。分析：按照常規(guī)解法這題將會非常復(fù)雜而且還會出現(xiàn)四次。如果我們進行一定處理后問 題將會簡單很多。2-辱=10-空2解：把原式變?yōu)樨?3兀10,經(jīng)過觀察可以得出這樣的結(jié)論廣+3兀=10或%2+3 = -2,解這兩個方程可以得到四個根西，兀2，兀3，兀4。然后再把這四個根代入方程檢驗。7總結(jié)總之運算能力的提高師生雙方共同努力的結(jié)果，提高運算能力是提高其他數(shù)學(xué)能力的的 基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)能力的提高與其他能力的提高密切相關(guān)，相