專題06空間幾何體的面積與體積解析版

1、專題06空間幾何體的面積與體積知識(shí)沃背J夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技能/、柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S 側(cè)=2 nhV = Sh= n在求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一側(cè)面分別求解后再相加，對(duì)于組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理. 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和在求解一些不規(guī)則的幾何體的體積以及兩個(gè)幾何體的體積之比時(shí)，常常需要用到分割法在求一個(gè)幾何體被分成兩部分的體積之比時(shí)，若有一部分為不規(guī)則幾何體，則可用整個(gè)幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的 體積求出其體積 解決空間幾何體表面上的最值問題的根本思路是“展開”，即將

2、空間幾何體的“面”展開后鋪在一個(gè) 平面上，將問題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問題h圓錐S 側(cè)=nlV = 3sh= 3 n2h = gn勺 l2- r2圓臺(tái)S 側(cè)=n（1 + r2）lV = （S 上+ S 下 + 寸S上S下）h= 右1 +r2+ r1r2）h直棱柱S 側(cè)=ChV= Sh正棱錐1S 側(cè)=Ch'1V=護(hù)正棱臺(tái)1S 側(cè)=2（C + C ' ）h 'V = 3（S 上 + S 下+ S 上 S下）h球S球面=4 dR2V=如果已知的空間幾何體是多面體，則根據(jù)問題的具體情況可以將這個(gè)多面體沿多面體中某條棱或者兩個(gè)面的交線展開，把不在一個(gè)平面上的問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上如果是

3、圓柱、圓錐則可沿母線展開，把曲面上的問題轉(zhuǎn)化為平面上的問題本題的易錯(cuò)點(diǎn)是，不知道從哪條側(cè)棱剪開展平，不能正確地畫出側(cè)面展開圖缺乏空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化意識(shí)方法與技巧1. 棱柱、棱錐要掌握各部分的結(jié)構(gòu)特征，計(jì)算問題往往轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中進(jìn)行解決旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”忘特點(diǎn)，弄清底面、側(cè)面及展開圖形狀2. 要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.3. 求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解4. 一些幾何體表面上的最短距離問題，常常利用幾何體的展開圖解決技能點(diǎn)獄】 融合知識(shí)方法，塑造解題能力2 n例1、（2018揚(yáng)州期末）若圓錐的側(cè)面展開圖是面積為3n且圓心

4、角為 2的扇形，則此圓錐的體積為 【答案】.232 n312 n2 n【解析】：設(shè)圓錐的底面半徑為 r，高為h，母線為I，則由 12= 3 n,得I = 3，又由 l = 2 n r,得 r= 1，從而有 h = * I2 r2= 22,所以 V =1 n r2 h= 2、3 2 n . 33變式1、（2017無錫期末） 積等于.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°且面積為3 n的扇形，則該圓錐的體12【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h,母線長(zhǎng)為I則解得 r = 1，故 h = I2 r2=I = 3,2所以圓錐的體積 V= gx n2X h = gx nX 12x

5、2 = 22 n.解后反思 解決立體幾何問題的基本思想是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，在解題過程中要注意明確展開圖中 各個(gè)元素和幾何體中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系變式2、（2019鎮(zhèn)江期末）已知一個(gè)圓錐的底面積為n，側(cè)面積為2 n，則該圓錐的體積為 【答案】3n3【解析】思路分析 先求出圓錐的底面半徑和高.n r2 = n ,r = 1,設(shè)圓錐的底面半徑、高、母線長(zhǎng)分別為r, h, I,則解得所以h = 3圓錐的體積 Vn rI = 2 n ,I = 2.例2、（2019南京學(xué)情調(diào)研）如圖，在正三棱柱 ABCA 1B1C1中，AB = 2, AA 1= 3,則四棱錐 A1B1C1CB的體積是.【答案】2 3【

6、解析】如圖，取BiCi的中點(diǎn)E,連結(jié)AiE,易證AiE丄平面BBiCiC,所以AiE為四棱錐A1B1C1CB的高,1i所以 V 四棱錐 AiBiCiCB = 3S矩形 BBiCiCX AiE = 3x （2 X 3）X 3= 2 3.變式I、（20I6南京、鹽城、連云港、徐州二模）如圖 ，正三棱柱 ABCAiBiCi中，AB= 4, AAi = 6.若E, F 分別是棱BBi, CCi上的點(diǎn)，則三棱錐AAiEF的體積是 .【答案】 8 3【解析】因?yàn)樵谡庵鵄BCAiBiCi中，AAi/ BBi,AAi?平面AAiCiC,BBi?平面AAiCiC,所以BBi/平面AAiCiC,從而點(diǎn)E到平面

7、AAiCiC的距離就是點(diǎn) B到平面AAiCiC的距離，作BH丄AC,垂足為點(diǎn)H,Li由于 ABC是正三角形且邊長(zhǎng)為 4,所以BH = 2 3,從而三棱錐 AAiEF的體積VAAiEF = VEAiAF = 3必AiAF BH = ；X；X 6 X 4X 2 3 = 8 3.解題反思 一般地，三棱錐的體積求解都需要通過換底來求解，基本原則是換底以后的三棱錐的底面積和高均容易求解.變式2、（20i9南京、鹽城一模）如圖， PA丄平面ABC , AC丄BC, PA= 4, AC = . 3, BC = i, E, F分別 為AB , PC的中點(diǎn)，則三棱錐 BEFC的體積為 .a【答案】6【解析】：V

8、BEFC = VFBEC = 2VpBEC = 2 - (1 - $ BE PA) = 1 X 3 呼X 4 羊變式3、（2017徐州、連云港、宿遷三檢）如圖，在正三棱柱棱CC，則三棱錐P ABA的體積為 .ABC ABiG 中，已知 ABAA3，點(diǎn)P在【答案】.12面 AAB1B , CC1 面 AA1B1B ,4P到平面AA1B1B的距【解析】：因?yàn)檎庵?ABC AB1C1中，AA/CC，因?yàn)锳A所以CC1 /面AABB，因?yàn)辄c(diǎn)P在棱CC1上，所以點(diǎn)C到平面AABB的距離就是點(diǎn)離作CD AB，垂直為點(diǎn) D，因?yàn)檎庵?ABC ABC1中，AA1 面ABC , CD 面ABC，所以CD

9、AA1，而 AB面AA1B1B ,AA1面AA1B1B ,ABAA1A1，所以 CD面AA1B1B 因?yàn)檎?319三棱柱ABC ABG中，AB AA 3，所以CD , ABA的面積S 3 3,所以三棱錐2229 339.3P ABA的體積V S CD -33 224例3、（2019蘇州期末）如圖，某種螺帽是由一個(gè)半徑為2的半球體挖去一個(gè)正三棱錐構(gòu)成的幾何體，該正三棱錐的底面三角形內(nèi)接于半球底面大圓，頂點(diǎn)在半球面上，則被挖去的正三棱錐體積為【答案】.2譏【解析】：正三棱錐的底面正三角形的邊長(zhǎng)為a= 2 3,面積S= 43a2= 3 3,高h(yuǎn)= 2所以正三椎錐的體積 V=；Sh= 2 3.變式1、

10、（2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)） 設(shè)P, A , B, C為球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA, PB, PC兩兩垂直,且PA= 2 m, PB = 3 m, PC = 4 m,則球 O的表面積為 m2【答案】29 n【解析】:根據(jù)題意，可知三棱錐 PABC是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，如圖所示，該長(zhǎng)方體的外接球就是經(jīng)過C四點(diǎn)的球，因?yàn)?PA= 2, PB= 3, PC = 4,所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為PAS= 4 n R2= 4 n X '' 29即外接球的直徑 2R= 29,可得R = ；9P,2+ PB2+ PC2= 29,22 =29變式2、（2018無錫期末）直三棱柱 ABCAiBiC

11、i中，已知AB丄BC, AB = 3, BC = 4, AA 1= 5,若三棱柱 的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為 【答案】.50 n【解析】： 根據(jù)條件可知該直三棱柱的外接球即三棱錐Bi ABC的外接球，也就是以 BA , BC, BBi為棱的長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)其半徑為R,貝U 2R= BA2+ BC2+ BB2= 32 + 42 + 52，得R=篤2,故該球的表面積為 S= 4 n R2= 50 n .實(shí)跌演練同步即學(xué)即練，實(shí)時(shí)鞏固新知1、（2019揚(yáng)州期末）底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3的圓錐的體積是 【答案】2 |n 【解析】圓錐的高為 h = 3丁 = 2勺2，圓錐的體積 V =

12、 1 X nX 12X 2於髻衛(wèi).33cm3.2、（2019宿遷期末）設(shè)圓錐的軸截面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2 cm的正三角形，則該圓錐的體積為【答案】j n3【解析】圓錐的底面半徑 R = 1，高h(yuǎn) = 22- 12= 3，故圓錐的體積為 V = 1X n X 12X 3 = 33 n .3、（2019泰州期末）如圖，在直三棱柱ABCA 1B1C1中，點(diǎn)M為棱AA 1的中點(diǎn)，記三棱錐 A1MBC的體積V1V1,四棱錐A1BB1C1C的體積為V2,則;7的值是V 2a【答案】*【解析】：解法1（割補(bǔ)法） 設(shè)厶ABC的面積為S,三棱柱的高為h，則Vi = VAiABC Vmabc = Ish-331 11

13、2Vi Sh 3 1?h= 6Sh, V2= VABCA 1B1C1 VA1ABC = Sh sSh= gSh,所以 = 6 ° 2Sh= 4.11解法 2（等積轉(zhuǎn)換）V1 = VBA 1MC = 2VBA 1AC = 2VA1ABC ,V2= 2VA1BC1B1 = 2VBA 1BQ1= 2VA1ABC ,所以V1= 1V24.4、（2018常州期末） 已知圓錐的高為6，體積為8.用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺(tái)體積是 7,則該圓臺(tái)的高為.【答案】.31【解析】：設(shè)截得的小圓錐的高為 h1,底面半徑為1,體積為V1 = 3兀r1h1;大圓錐的高為h = 6，底面半徑為r,體

14、積為12r1h1V1V = 3 n r2h= 8.依題意有-=,V1= 1, =1 n r2h11 23 n rhh1 31 18，得h1 = 3，所以圓臺(tái)的高為 h h1= 3.5、（2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研） 在棱長(zhǎng)為2的正四面體P ABC中，M , N分別為PA , BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D是 線段PN上一點(diǎn)，且PD 2DN，則三棱錐 D MBC的體積為 .【答案】 9【解析】：思路分析：解決空間幾何體的體積計(jì)算問題常常有兩個(gè)途徑：一是直接利用體積公式求解，另一 種是利用等體積轉(zhuǎn)化的思想進(jìn)行計(jì)算 .解題過程：連結(jié)MB , MC , MN，過點(diǎn)D作DH MN于H，因?yàn)锽A BP , M為PA勺中點(diǎn)，所

15、以PA BM，同理PA CM，又因?yàn)锽M CM M，所以PA 面MBC，又因?yàn)镸N 面MBC , 所以PA MN ,又因?yàn)镈H MN ,所以DH / PA，從而DH 面MBC ,故DH為點(diǎn)D到平面MBC 的高.在 MBC中，MB MC , N為BC勺中點(diǎn)，則MN MB2 NB2 . 2 , MBC的面積1 1 _ _ 1 1S BC MN 222，在 NPM 中，因?yàn)?DH / PM , PD 2DN 所以 DH - PM -,2 2'33f從而三棱錐 D MBC的體積V1 S DH 1 n -2 .VD MBCS MBC DH引 23 3396、（2017南京三模）如圖，在直三棱柱A

16、BC A1B1C1 中，AB= 1 , BC= 2,BB1= 3,Z ABC= 90° 點(diǎn)D為側(cè)棱BBi上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)AD+ DC1最小時(shí)，三棱錐 D ABCi的體積為 一一Ci【解析】：將側(cè)面展開如下圖，所以由平面幾何性質(zhì)可得:AD DCi ACi，當(dāng)且僅當(dāng)A,DQ三點(diǎn)共線取到此時(shí)BD i,所以Svabd 丄AB2BD1 一.在直三棱柱 ABC Ai Bi Ci中有2BBi CB，又 ABCB，易得CB 平面ABD，所以CiBi平面ABD，即CiBi是三棱錐G ABDABDC1 B1SVABD的高，所以Vd ABCi7、（20i9蘇北四市、蘇中三市三調(diào)）已知直角梯形 ABCD中，AB

17、/ CD, AB丄 BC, AB=3 cm, BC=i cm, CD=2cm 將此直角梯形繞 AB邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，由此形成的幾何體的體積為 cm3.【答案】7_3【解析】：所求幾何體的體積為 V V圓錐+V圓柱=3 i2 七8、（ 2016無錫期末）如圖，在圓錐VO中，O為底面圓心，半徑OA丄OB,且OA = VO = 1,貝U O到平面VAB的距離為【答案】333【解析】思路分析在立體幾何求點(diǎn)到平面的距離問題中，往往有兩種途徑:（1）利用等體積法，這種方法一般不需要作出高線；（2）利用面面垂直的性質(zhì)作出高線，再進(jìn)行計(jì)算.解法1因?yàn)閂O丄平面 AOB , OA?平面AOB,所以VO丄OA

18、,同理VO丄OB ,又因?yàn)?OA丄OB ,_1r 3VO = OB = 1,所以 VA= VB= AB= 2,所以 Gvab= ?VAX ABsin60 =設(shè) O 到平面 VAB 的距離為11133Vvaob= Vovab,得3$aobX VO = 3G vabX h,得？OAX OB X VO= ? h,解得 h = 3 .解法2取AB中點(diǎn)M ,連結(jié)VM,過點(diǎn)O作OH丄VM于H.因?yàn)镺A= OB, M是AB中點(diǎn)，所以O(shè)A =h,由OM丄vox OMVMAB ,因?yàn)閂O丄平面 AOB, AB?平面AOB ,所以VO丄AB,又因?yàn)?OM丄AB, VOA OM = O ,所以AB丄平 面VOM ,又因?yàn)?AB?平面VAB,所以面 VAB丄平面 VOM,又因?yàn)?OH丄VM , OH?平面VOM ,平面VAB A 平面VOM = VH,所以O(shè)H丄平面VAB,所以O(shè)H為點(diǎn)