復(fù)變函數(shù) 2.3初等多值解析函數(shù)

1、第三節(jié)第三節(jié) 初等多值解析函數(shù)初等多值解析函數(shù)2.3.1 根式函數(shù)根式函數(shù)2.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)2.3.3 一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)2.3.4 具有多個(gè)有限支點(diǎn)的情形具有多個(gè)有限支點(diǎn)的情形2.3.5 反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)2.3.6 小結(jié)與思考小結(jié)與思考2定義定義2.8(單葉函數(shù)）單葉函數(shù)）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)有定義內(nèi)有定義,且對(duì)且對(duì)D內(nèi)任意不內(nèi)任意不同的兩點(diǎn)同的兩點(diǎn)z1及及z2都有都有f(z1)f(z2),則稱函數(shù)則稱函數(shù) f(z)在在D內(nèi)內(nèi)是是單葉的單葉的.并且稱區(qū)域并且稱區(qū)域D為為f(z)的的單葉性區(qū)域單葉性區(qū)域.顯然顯

2、然,區(qū)域區(qū)域D到區(qū)域到區(qū)域G的單葉滿變換的單葉滿變換w=f(z)就是就是D 到到G的一一變換的一一變換.f(z)=z2不是不是C上的單葉函數(shù)上的單葉函數(shù). f(z)=z3是是C上的單葉函數(shù)上的單葉函數(shù)32.3.0冪函數(shù)的變換性質(zhì)及其單葉性區(qū)域冪函數(shù)的變換性質(zhì)及其單葉性區(qū)域設(shè)有冪函數(shù)設(shè)有冪函數(shù): w=zn 令令z=rei , w= ei ,則：則：w=zn ei = rnein = rn, =n 于是得到冪函數(shù)有如下的變換性質(zhì)：于是得到冪函數(shù)有如下的變換性質(zhì)：z平面平面w平面平面射線射線 = 0射線射線 =n 0圓周圓周r=r0圓周圓周 = r0n 0 正正實(shí)實(shí)軸軸 0 正正實(shí)實(shí)軸軸4xozyu

3、owvW=znz平面平面w平面平面射線射線 = 0射線射線 =n 0圓周圓周r=r0圓周圓周 = r0n 0n 0角域角域0 0射線射線0 n 0)0 )0 nxozy)0 n5從原點(diǎn)起沿負(fù)實(shí)軸剪開的從原點(diǎn)起沿負(fù)實(shí)軸剪開的w平面平面G0z平面平面w平面平面W=zn角域角域 0 0角域角域0 1) 單葉性區(qū)域是頂點(diǎn)單葉性區(qū)域是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，張度不超過在原點(diǎn)，張度不超過2 /n的的角形區(qū)域角形區(qū)域的角形域的角形域, 但張角變成為原來的但張角變成為原來的 n 倍倍. 22: 0,1,1nkkTknnnnn 角角域域是冪函數(shù)的單葉性區(qū)域的一種分法是冪函數(shù)的單葉性區(qū)域的一種分法 總之：總之：把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)

4、的角形域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)22: 0,1,1nkkTknnnnn 角角域域72.3.1根式函數(shù)根式函數(shù) 定義定義2.9 若若z=wn,則稱則稱w為為z的的n次根式函數(shù)，記為：次根式函數(shù)，記為：nwz i.e. 根式函數(shù)根式函數(shù) 為冪函數(shù)為冪函數(shù)z=wn 的反函數(shù)的反函數(shù).nwz (1) 根式函數(shù)的多值性根式函數(shù)的多值性.000nzw 20|kinnnkkzwzz e 0,1,1kn arg zz 的的主主輻輻角角8 (2) 分出根式函數(shù)的單值解析分支分出根式函數(shù)的單值解析分支. 20kinnnnkkkizwzrere 1) 產(chǎn)生多值的原因產(chǎn)生多值的原因.

5、2arg2= 0,1,1kkzkknnn 12010nniiwrewre 22 22niwre 2 (1)11nnnniwre 2kknkiwre 產(chǎn)生多值的原因是產(chǎn)生多值的原因是:當(dāng)當(dāng)z取定后，其輻角不固定，可取定后，其輻角不固定，可以連續(xù)改變以連續(xù)改變2 的整數(shù)倍，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值連續(xù)改變到的整數(shù)倍，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值連續(xù)改變到下一個(gè)值下一個(gè)值9 2) 解決的辦法解決的辦法. 限制限制z的輻角的變換，使其輻角的該變量的輻角的變換，使其輻角的該變量argz2 理論上的的做法：理論上的的做法： 從原點(diǎn)從原點(diǎn)O起到點(diǎn)起到點(diǎn)任意引一條射線將任意引一條射線將z平面割破，該平面割破，該直線稱為割線，在割破了的平

6、面直線稱為割線，在割破了的平面(構(gòu)成以此割線為邊構(gòu)成以此割線為邊界的區(qū)域，記為界的區(qū)域，記為G)上，上， argz2 ，從而可將其轉(zhuǎn)化，從而可將其轉(zhuǎn)化為單值函數(shù)來研究為單值函數(shù)來研究 常用的做法：常用的做法： 從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平平面割破：面割破：zxozyG10 ( ) 2( )zkinnnkkwzr z e 結(jié)論：結(jié)論： 從從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將將z平面割破平面割破,即可將根式函數(shù)即可將根式函數(shù):nwz 分成如下的分成如下的n個(gè)單值函數(shù)：個(gè)單值函數(shù)： 定義域?yàn)槎x域?yàn)?2: nkkkTnnnn 值值域域:22kGkk wk在在Gk上解析上解析,且且 1

7、nknkkzwznz 113wz 例例: : xozyG13 xozyG0- - T03 3 T1T253 uwvoxozyG23 5 23 0,1,2kinkwrek 30inwre 231inwre 432inwre 30inwre 0: -33T 值值域域0:G 定定義義域域2331iwre 10: 3T 值值域域1:23G 定定義義域域4332iwre 225: 3T 值值域域2:345G 定定義義域域122.3.2 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)1. 定義定義: (0) , Lnwez zwzwz 若若則則稱稱 為為 對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù) 記記為為: : 說明：說明：w=Lnz是指數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)ew

8、=z的反函數(shù)的反函數(shù)Lnz一般不能寫成一般不能寫成lnzLn zez 2.計(jì)算公式及多值性說明：計(jì)算公式及多值性說明： ,izewuiv 13=ln= wu iviwzezere = ,2()uer vkkE=ln (),2()urvkkEArgz實(shí)實(shí)對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)Lnln(2)()wzrikkELnln| |zziArgz由于由于Argz的多值性導(dǎo)致的多值性導(dǎo)致w=Lnz是一個(gè)具有無窮多值的多值函數(shù)是一個(gè)具有無窮多值的多值函數(shù)規(guī)定：規(guī)定：lnlnlnarg .zriziz 為對(duì)數(shù)函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz的主值的主值于是：于是：Lnln2()wzzk i kE z的的主主輻輻角角14. Ln , , 的

9、的一一個(gè)個(gè)分分支支稱稱為為上上式式確確定定一一個(gè)個(gè)單單值值函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)固固定定的的zk特殊地特殊地, .,lnln Ln , 0 是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的主值的主值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xzzxz 15例例4 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及與它們相應(yīng)的主值以及與它們相應(yīng)的主值求求 20因因?yàn)闉?arg arg, ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以112LnLn()lnk i )()12(為整數(shù)為整數(shù)kik 注意注意: 在實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)中在實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)中, 零和負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)零和負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù), 這一點(diǎn)這一點(diǎn) 在復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)中不再成立在復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)中不再成立.222 Ln Lnln

10、,k i 1因因?yàn)闉?arg arg(- ), 11Ln. Ln. ()lnii16例例5解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因?yàn)橐驗(yàn)?31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k17例例6解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k18.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)

11、33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln192. 性質(zhì)性質(zhì),LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且處處可導(dǎo)處處可導(dǎo)和其它各分支處處連續(xù)和其它各分支處處連續(xù)主值支主值支的復(fù)平面內(nèi)的復(fù)平面內(nèi)包括原點(diǎn)包括原點(diǎn)在除去負(fù)實(shí)軸在除去負(fù)實(shí)軸 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 20證證 (3) , iyxz 設(shè)設(shè),0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,arglim0 zy,arglim0 zy. ln , ,處處連續(xù)處處連續(xù)在復(fù)平面內(nèi)其它點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)其它點(diǎn)除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸除原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸所以所以z , ln arg是單值的是單值的

12、內(nèi)的反函數(shù)內(nèi)的反函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域zwzezw wezzwdd1dlnd 證畢證畢.1z 21(3)(4)錯(cuò)了錯(cuò)了例：例： 22(1)zz 22(2)LnLnzz (4)2Ln2Lnzz (5)LnLnzz錯(cuò)了，同志錯(cuò)了，同志哥！哥！ Ln( 1)(21) 0, 1, 2, Ln(1)2 0, 1, 2,ki kk ik 因因?yàn)闉闆Q不會(huì)相決不會(huì)相等！等！原因原因Bernoulli悖論悖論 (3)LnLnLnLnzzzz Lnz是集合是集合記號(hào)，應(yīng)該記號(hào)，應(yīng)該理解為兩個(gè)理解為兩個(gè)集合相加集合相加A=0,1A+A=0,1,22A=0,2A+A 2A223. 分出分出w=Lnz的單值解析分支的單值解析

13、分支從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面割破，就可將平面割破，就可將對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)w=Lnz分成如下分成如下n個(gè)單值解析分支：個(gè)單值解析分支： Lnln(2) 0, 1, 2, 3,kkwzrikk 定義域?yàn)槎x域?yàn)? 2Im2kBkvzk 值值域域:222kGkkk wk在在Gk上解析上解析,且且 1Lnkkwzz 232.3.3 一般冪函數(shù)與一般指函數(shù)一般冪函數(shù)與一般指函數(shù)1. 一般冪函數(shù)一般冪函數(shù)Ln11=(0,) zaazDefweza為為復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)稱為稱為z的一般冪數(shù)函數(shù)的一般冪數(shù)函數(shù)2. 一般指數(shù)函數(shù)一般指數(shù)函數(shù)Ln12=(0,) zazaDefwea 為為復(fù)復(fù)常常數(shù)

14、數(shù)稱為稱為z的一般指數(shù)函數(shù)的一般指數(shù)函數(shù)Ln zez 都是多值函數(shù)，適當(dāng)割破都是多值函數(shù)，適當(dāng)割破z平面平面，都可轉(zhuǎn)化為單值函數(shù)，都可轉(zhuǎn)化為單值函數(shù)24注意注意: :ln(arg2)azzizkz 由由于于 Ln Ln 是是多多值值的的, , 因因而而 也也是是多多值值的的. .(1)a 當(dāng)當(dāng) 為為整整數(shù)數(shù)時(shí)時(shí), ,aaLnzze= =ln(arg2)azizke 1. 一般冪函數(shù)一般冪函數(shù)Ln11=(0,) zaazDefweza為為復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)稱為稱為z的一般冪數(shù)函數(shù)的一般冪數(shù)函數(shù)Ln zez 25(lnarg ) 2azizka ie ln,aze .具有單一的值具有單一的值ba ,0)

15、 ,( )2(時(shí)時(shí)為互質(zhì)的整數(shù)為互質(zhì)的整數(shù)與與當(dāng)當(dāng) qqpqpb)2arg(ln kaiaqpbea)2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp , 個(gè)值個(gè)值具有具有 qab .)1( , 2 , 1 , 0 時(shí)相應(yīng)的值時(shí)相應(yīng)的值即取即取 qk26特殊情況特殊情況: ,)( )1時(shí)時(shí)正整數(shù)正整數(shù)當(dāng)當(dāng)nb Lnannea LnLnLnaaae ) (項(xiàng)項(xiàng)指數(shù)指數(shù) n LnLnLnaaaeee ) (個(gè)個(gè)因子因子 n.aaa ) (個(gè)個(gè)因子因子 n ,)( 1 )2時(shí)時(shí)分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)當(dāng)當(dāng)nb Ln11annea nkainkaean2args

16、in2argcos ln127 nkainkaan2argsin2argcos 1,na . )1( , 2 , 1 , 0 nk其中其中; , bzwza 就得到一般的冪函數(shù)就得到一般的冪函數(shù)為一復(fù)變數(shù)為一復(fù)變數(shù)如果如果. , 1 1nnnnzzwwzzwnnb 的反函數(shù)的反函數(shù)及及數(shù)數(shù)就分別得到通常的冪函就分別得到通常的冪函時(shí)時(shí)與與當(dāng)當(dāng)28例例7 7 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中答案答案課堂練習(xí)課堂練習(xí).3)( 5

17、 計(jì)算計(jì)算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik29例例8 8 . )(1 的輻角的主值的輻角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的輻角的主值為的輻角的主值為故故ii 302. 冪函數(shù)的解析性冪函數(shù)的解析性 , )1(的的在復(fù)平面內(nèi)是單值解析在復(fù)平面內(nèi)是單值解析冪函數(shù)冪函數(shù)nz .)(1 nnnzz . , )2(1個(gè)分支個(gè)分支具有具有是多值函數(shù)是多值函數(shù)冪函數(shù)冪

18、函數(shù)nzn它的它的 各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的, nnzz1 zneLn1.111 nzn31它的它的 各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的, ,) 1 ( (3)也是一個(gè)多值函數(shù)也是一個(gè)多值函數(shù)兩種情況外兩種情況外與與除去除去冪函數(shù)冪函數(shù)nnbzwb .)(1 bbbzz ., 是無窮多值的是無窮多值的為無理數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)為無理數(shù)或負(fù)數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)b322.3.4 反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1. 反三角函數(shù)的定義反三角函數(shù)的定義.cosArc , ,cos zwzwwz 記作記作的反余弦函數(shù)的反余弦函數(shù)為為那么稱那么稱設(shè)設(shè),2cos iwiweewz 由由, 012 2 iwiwzee得得