關(guān)于矢量的總結(jié)

1、1.2 矢量1.2.1 矢量、矢量基與基矢量(1)幾何矢量定義(2) 幾何矢量的運(yùn)算(3)幾何矢量的運(yùn)算性質(zhì)(4)一些有用的公式(5)矢量基(簡稱基)矢量基的定義與基矢量的右旋正交性基的矢量列陣的表達(dá)，矢量列陣的運(yùn)算1.2.2 矢量的代數(shù)描述(1) 矢量在某基下的代數(shù)表達(dá)、坐標(biāo)陣與坐標(biāo)方陣(2) 矢量坐標(biāo)陣的矩陣表達(dá)形式(3) 矢徑的定義；矢量與矢徑間的關(guān)系(4)幾何矢量的運(yùn)算與在同一個基下的坐標(biāo)陣運(yùn)算間的關(guān)系。1.2.3 矢量的導(dǎo)數(shù)(1) 矢量對時間導(dǎo)數(shù)的定義，矢量在某基下對時間導(dǎo)數(shù)的定義(2) 在某基下矢量導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與其坐標(biāo)陣導(dǎo)數(shù)運(yùn)算間的關(guān)系幾何矢量定義矢量 是一個具有方向與大小的量。它的

2、大小稱為模，記為，或簡寫為a。模為 1 的矢量稱為單位矢量。模為0的矢量稱為零矢量，記為。矢量在幾何上可用一個帶箭頭的線段來描述，線段的長度表示它的模，箭頭在某一空間的指向?yàn)樗姆较?。利用這種方式描述的矢量又稱為幾何矢量。幾何矢量的運(yùn)算矢量相等模相等、方向一致的兩矢量 與 稱為兩矢量相等，記為(1.2-1)標(biāo)量與矢量的積標(biāo)量 a 與矢量 的積為一個矢量，記為 ，其方向與矢量 一致，模是它的a 倍，即(1.2-2)矢量的和(平行四邊形法則)(a)(b)圖1-1 幾何矢量運(yùn)算兩矢量 與 的和為一個矢量，記為 ，即(1.2-3)它與兩矢量 與 的關(guān)系遵循如圖1-1a的平行四邊形法則矢量的點(diǎn)積(標(biāo)積)

3、兩矢量 與 的點(diǎn)積(或稱為標(biāo)積)為一個標(biāo)量，記為a，它的大小為(1.2-6)其中q 為兩矢量與 的夾角。如果已知兩矢量的點(diǎn)積，可以由上式計(jì)算兩矢量夾角，即特殊情況，此時a =0，有，即矢量自身的點(diǎn)積為其模的平方。有時也簡寫為。矢量的叉積(矢積)兩矢量 與 的叉積(或稱為矢積)為一個矢量，記為 ，即(1.2-8)它的方向垂直于兩矢量 與 構(gòu)成的平面，且三矢量 、 的正向依次遵循右手法則(見圖1-1b)。定義矢量 的模為(1.2-9)其中a 為兩矢量 與 的夾角。幾何矢量的運(yùn)算性質(zhì)加法運(yùn)算遵循結(jié)合律與交換律矢量的和運(yùn)算遵循結(jié)合律與交換律，即有結(jié)合律：(1.2-4)交換律：(1.2-5)矢量的點(diǎn)積的

4、交換律矢量的點(diǎn)積有交換律，即(1.2-7)矢量的叉積無交換律矢量的叉積無交換律，但有(1.2-10)矢量的點(diǎn)積與叉積的分配律矢量的點(diǎn)積與叉積有分配律，即(1.2-11)(1.2-12)一些有用的公式由矢量的基本運(yùn)算可以得到如下常用的較復(fù)雜的運(yùn)算關(guān)系式：(1.2-13)(1.2-14)式(1.2-13)左邊稱為三矢量的兩重叉積，式(1.2-14)左邊稱為三矢量的混合積。矢量基的定義與基矢量的右旋正交性圖1-2 矢量基與基矢量矢量的幾何描述很難處理復(fù)雜的運(yùn)算。通常采用比較多的是矢量的代數(shù)表達(dá)方法。為此首先需要構(gòu)成一個參考空間，即用過點(diǎn)O 的三個正交的單位矢量依次按右手法則(見圖1-2)構(gòu)成一個坐標(biāo)

5、系，稱之為矢量基(簡稱基)。點(diǎn)O 稱為該矢量基的基點(diǎn)。這三個正交的單位矢量稱為這個基的基矢量。根據(jù)三個基矢量的正交性，有如下的關(guān)系式(1.2-15)(1.2-16)其中，dab 稱為克羅內(nèi)克(L. Kronecker )符號，即(a, b=1,2,3)(1.2-17)而 eabg 稱為李奇 (Ricci) 符號，即(a, b, g =1, 2, 3，且 )(1.2-18)基的矢量列陣的表達(dá)，矢量列陣的運(yùn)算將基矢量 構(gòu)成一個矢量列陣，即（1.2-19）它來表示這個矢量基。對于不同的基，在上加上標(biāo)進(jìn)行區(qū)分。例，基與基分別表示基b與基r，即 , 矢量列陣是標(biāo)量列陣的拓展。矢量陣運(yùn)算的定義在形式上與一

6、般的矩陣運(yùn)算定義一致，只是在運(yùn)算中將一個矢量作為一個標(biāo)量元素處理。例如對于矢量陣與矢量，以下算式成立：矢量與矢量陣的點(diǎn)積運(yùn)算：， （1.2-20）矢量與矢量陣的叉積運(yùn)算： （1.2-21）矢量陣與矢量陣的點(diǎn)積運(yùn)算： （1.2-22）矢量陣與矢量陣的叉積運(yùn)算：（1.2-23）需要注意的是以上的算式中點(diǎn)積與叉積的運(yùn)算符不能遺漏，對于叉積運(yùn)算的次序不能交換?？紤]到3個基矢量的歸一性和右旋正交性，（1.2-22）與（1.2-23）分別可化簡為（1.2-24）（1.2-25）矢量在某基下的代數(shù)表達(dá)、坐標(biāo)陣與坐標(biāo)方陣圖1-3 矢量在基上的分矢量與坐標(biāo)在某個矢量基上，根據(jù)矢量和的定義，任意矢量可通過如圖1-

7、3所示三個矢量的和表示，其矢量運(yùn)算表達(dá)式為（1.2-26）其中、與分別為與基矢量方向一致的三個矢量，稱它們?yōu)槭噶吭谙鄳?yīng)基矢量上的三個分矢量，或簡稱為分量。三個標(biāo)量系數(shù) a1, a2, a3 分別稱為矢量在三個基矢量上的坐標(biāo)。它們分別為三個分矢量的模。這三個坐標(biāo)構(gòu)成一個標(biāo)量列陣稱為矢量在該矢量基上的坐標(biāo)陣，記為 （1.2-27）三個坐標(biāo)還可定義一個反對稱方陣，記為（1.2-28）稱此方陣為矢量在該矢量基上的坐標(biāo)方陣。不難驗(yàn)證，此坐標(biāo)方陣成立（1.2-29）例題1.圖示一長方體，其中，。圖中給出了基。寫出矢量在該基上的坐標(biāo)陣與坐標(biāo)方陣。例1.2-1圖解：由圖可知，矢量可表為圖中三矢量之和。由于，故

8、有因此，矢量在該基上的坐標(biāo)陣為坐標(biāo)方陣為矢量坐標(biāo)陣的矩陣表達(dá)形式利用矩陣乘的運(yùn)算形式，有據(jù)此，表達(dá)式可寫成矢量 的坐標(biāo)陣與基的矩陣積，即(1.2-30)不難驗(yàn)證矢量的坐標(biāo)陣a有如下的表達(dá)式(1.2-31)因此，矢量的坐標(biāo)陣a可簡寫為 (1.2-31')應(yīng)該指出，根據(jù)定義矢量在幾何上是一客觀存在的量，與矢量基的選取無關(guān)。而矢量的坐標(biāo)陣與矢量基有關(guān)。例如，有兩個不同的矢量基與。矢量在這兩個基上的坐標(biāo)陣分別記為與(見圖1-5)。有圖1-5 同一個矢量在不同基上的坐標(biāo)陣(1.2-32)或(1.2-32')矢徑的定義，矢量與矢徑間的關(guān)系圖1-4 矢徑的分量與坐標(biāo)起點(diǎn)在基點(diǎn)O指向空間點(diǎn)P的

9、矢量，稱為點(diǎn)P的矢徑，記為。如果空間點(diǎn)P在基上的三個坐標(biāo)分別為r1, r2, r3，由圖1-4可知，矢徑坐標(biāo)陣的三個元素就是空間點(diǎn)P的三個坐標(biāo)，即特殊情況，基矢量、與在其的基下的坐標(biāo)陣分別為，矢量的運(yùn)算與坐標(biāo)陣運(yùn)算間的關(guān)系首先令矢量、與在基下的坐標(biāo)陣分別記為a，b與c。由矢量的矩陣表達(dá)式，有(1.2-33)(1.2-34)(1.2-35)則由兩矢量相等得到可見相等的兩矢量 與 的在同一個基上的坐標(biāo)陣相等，即 a = b ；反之亦然。將矢量的矩陣表達(dá)式分別代入矢量的數(shù)乘公式、矢量相加公式、矢量點(diǎn)積公式和矢量叉積公式，得到相應(yīng)的矩陣運(yùn)算公式，即，上述各表達(dá)式的左邊為一些矢量的基本運(yùn)算，各表達(dá)式的最

10、右邊為這些基本運(yùn)算在同一基下對應(yīng)的坐標(biāo)陣運(yùn)算式?，F(xiàn)列于表1.2-1中。根據(jù)表1.2-1讀者可很容易寫出較復(fù)雜的矢量運(yùn)算對應(yīng)的坐標(biāo)陣運(yùn)算式。矢量對時間導(dǎo)數(shù)的定義，矢量在某基下對時間導(dǎo)數(shù)的定義圖1-6 矢量對時間的導(dǎo)數(shù)上節(jié)已經(jīng)提到，矢量是一與參考基無關(guān)的數(shù)學(xué)量，故它隨時間的變化也與參考基無關(guān)。如圖1-6所示，在時刻t，該矢量的大小與方向?yàn)?，到時刻t+Dt，該矢量的大小與方向?yàn)?，定義矢量在時刻t對時間的導(dǎo)數(shù)是另一個矢量，記為，且(1.2-36)從幾何上考察或進(jìn)行矢量導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算極不方便。下面將討論矢量導(dǎo)數(shù)與其坐標(biāo)陣導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。盡管矢量對時間的導(dǎo)數(shù)與參考基無關(guān)，但在不同的參考基上考察同一個矢量的變化，其

11、結(jié)果將不同?，F(xiàn)在某一參考基上考察一個矢量。定義 為矢量在參考基上對時間的導(dǎo)數(shù)。在基上考察它自身的三個基矢量(i=1,2,3)，顯然在該基上它們不隨時間變化，有(i=1,2,3)(1.2-37)將矩陣對時間導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式推廣到矢量陣，故上式可簡寫為如下矩陣表達(dá)式： (1.2-37')由矢量的矩陣表達(dá)式，有(1.2-38)同理，(1.2-38')由此可得到如下結(jié)論，矢量在基上對時間的導(dǎo)數(shù)為一矢量，它在該基的坐標(biāo)陣等于矢量在基的坐標(biāo)陣對時間的導(dǎo)數(shù)。顯然，對于標(biāo)量a，對時間求導(dǎo)的左上標(biāo) r 無意義，即。對于矢量求導(dǎo)，如果所定義的參考基為公認(rèn)或在約定的情況下，為了書寫方便有時矢量求導(dǎo)的表達(dá)式也作如下的簡寫，即。讀者應(yīng)該注意識別。求矢量在基上對時間的導(dǎo)數(shù)解： 矢量在基的坐標(biāo)陣為。由式(1.2-38)，該矢量在基上對時間的導(dǎo)數(shù)為在某基下矢量導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與其坐標(biāo)陣導(dǎo)數(shù)運(yùn)算間的關(guān)系由矢量對時間導(dǎo)數(shù)的定義與矩陣對時間導(dǎo)數(shù)的公式，不難得到一些矢量運(yùn)算在某基下對時間導(dǎo)數(shù)的矢量運(yùn)算式，現(xiàn)列于表1.2-2的左列。根據(jù)矢量在某基下對時間的導(dǎo)數(shù)式，或表1.2-2左列的矢量運(yùn)算式對應(yīng)的坐標(biāo)運(yùn)算式為表1.2-2右列所示。例如，對于表1.2-2